1、111 第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习课一、空间点、线、面间的位置关系【例题 1】如图所示，已知空间四边形 ABCD，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G ，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG= BC，CH= DC，求证：31（1）E，F，G ，H 四点共面；（2）三直线 FH，EG，AC 共点.【答案】如图（1）连接 EF， GH，由 E，F 分别为 AB，AD 中点，EF BD，由 12CG= BC，CH= DC， HG BD，EFHG 且 EFHG ，EF，HG 可确定平面31 13，E,F,G,H 四点共面；（2）由（1）知 EFHG 为平面图形，且 EFHG，EFH
2、G. ，四边形 EFHG 为梯形，设直线 FH直线 EG=O，点 O直线 FH，直线 FH 面 ACD，点 O平面 ACD，同理点 O平面 ABC，又面 ACD面 ABC=AC，点 O直线 AC（公理 2） ，三直线FH，EG，AC 共点.【变式训练 1】如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，判断下列命题是否正确，并说明理由；（1）直线 AC1 平面 CC1B1B；（2）设正方形 ABCD 与 A1B1C1D1 的中心分别为 O，O 1，平面 AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）点 A，O，C 可以确定一个平面；（4）由点 A，C 1，B 1 确定的平面是 ADC1B1；（5）
3、由 A，C 1，B 1 确定的平面和由 A，C 1，D 确定的平面是同一平面；【变式训练 2】如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，F，G 分别在 AB，BC，CD 上，且满足 AE:EB=CF:FB=2:1，CG: GD=3:1，过 E，F，G 的平面交 AD 于 H，连接 EH.（1）求 AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD 三线共点.二、直线、平面平行的判定与性质【例题 2】如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,点 E、F 分别是棱 CC1、BB 1上的点，点 M 是线段 AC 上的动点，EC=2FB=2.(1)当点 M 在何位置时，MB平面 AEF;(2)若 MB
4、平面 AEF，判断 MB 与 EF 的位置关系，说明理由，并求 MB 与 EF 所成角的余弦值.【答案】(1)如图，当 M 是线段 AC 中点时，MB 平面 AEF.取 AE 中点 N，连接NF,MN，则 MNCEBF, ， ， MN=BF ，MN BF ，MNFB1NCE2BF=是平行四边形，MBBF，又 平面 AEF， 平面 AEF，MB平面 AEF；M(2)MB 与 EF 是两条异面直线.EF 平面 BB1CC1 ,B平面 BB1CC1,B 直线 EF,M 平面BB1CC1，MB 与 EF 是异面直线由(1)知 MBNF,EFN 就是异面直线 MB 与 EF 所成的角，由平面 ABC平面
5、AA1CC1，BMAC,知 MB平面 AA1CC1，又 NFMB,FN平面 AA1CC1FNAE，而 N 是 AE 的中点,EF=AF= ，NF=BM= ，在 RtEFN 中,cosEFN= .即所求角的余弦535NFE值为 .1【变式训练 3】如图所示，在棱长为 的正方体 中， ， ， ，a1ABCDFP分别是 ， ， ， 的中点QBC1D1AB(1)求证： 平面 P/(2)求 的长(3)求证： 平面 EF/1BDA1APQBEC1C1【变式训练 4】如图，四边形 ABCD 为矩形，M，N 分别是 EC 与 AB 的中点，求证：MN平面 ADE./MDN BCEA【例题 3】如图，四边形 E
6、FGH 为四面体 ABCD 的一个截面，截面与棱 AB，CD 都平行.(1)求证：四边形 EFGH 为平行四边形；(2)若 AB=4，CD=6，求四边形 EFGH 周长的取值范围。DBCEGFAH【答案】(1)AB 面 EFGH，AB 面 ABC，面 ABC面 EFGH=EF，ABEF ，同理ABGH，EFGH，又 CD面 EFGH，同理 EHFG，四边形 EFGH 为平行四边形；(2)设 ，由(1)知 EFAB， ，即 ，EF=4x，又(01)FxBCEFCAB4xGHCD， ，即 ，EH=6(1-x)，四边形1EHABFDC16HEFGH 的周长为 l=2(4x+6-6x)=4(3-x)，
7、0x1，8l12.【变式训练 5】如图，四边形 EFGH 为四面体 ABCD 的一个截面，截面为平行四边形.(1) 求证：截面 EFGH 与棱 AB，CD 都平行；(2)当对棱 AB， CD 满足什么位置关系时，平行四边形 EFGH 为矩形？说明理由；(3)若 AB=4， CD=6，当平行四边形 EFGH 为矩形时，求它面积的最大值，并求此时点E、F、G、H 的位置。DBCEGFAH三、直线、平面垂直的判定与性质【例题 4】如图，ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD ,M、N 分别为 AB、PC 的中点，(1) 证明：AB MN; (2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 角，证明：平面
8、MND 平面45PDC.AB CDPMN【答案】证法一：(1)如图，连接 AN 与 BN，PA 平面 ABCD，PAAC，PA BC，又BCAB ，BC 平面 PAB，BCPB，BN= PC，又PAAC，AN= 12PC， BN=AN，ABN 为等腰直角，又M 为 AB 中点，MNAB12AB CDPMN(2)PA平面 ABCD，PACD，又CDAD，CD平面 PAD，PDA 为平面PDC 与平面 ABCD 所成的角， PDA=45 ，PA=AD=BC ，又AM=MB，PAM=CBM=90，PAMCBM，PM=CM，又N 为 PC 中点，MNPC，由(1) 知 MNAB ，又ABCD ，MN
9、CD，PC 与 CD 相交，MN平面 PCD。证法二：(1)取 PD 中点 Q 连接AQ、NQ，AM CD，NQ CD，AM NQ，四边形 AMNQ 为平行四边形， 12 12 易证 AMPA ，又AMAD，AM平面 PAD，AMAQ，又MNAQ，MNAM，即 MNAB；AB CDPMNQ(2) PA平面 ABCD，PACD，又CDAD，CD平面 PAD，PDA 为平面PDC 与平面 ABCD 所成的角， PDA=45 ，PA AD，AQPD，又MNAQ，MNPD ，由(1)MNAB，又由 ABCD，MNCD，CD 与 PD 相交，MN平面 PCD，平面 MND平面 PCD。【变式训练 6】如
10、图所示，已知三棱锥 P-ABC 中，PC 底面 ABC，AB=BC ，D、F 分别是AC、PC 的中点，DEAP 于 E，(1) 求证：AP平面 BDE；(2)求证：平面 BDE平面BDF；DAEPFCB【例题 5】如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE. （1）求证：AE平面 BCE； （2）求二面角 BACE 的余弦值； （3）求点 D到平面 ACE 的距离.DFECBA【答案】(1)证明：BF 平面 ACE，BFAE，二面角 DABE 为直二面角，且CBAB，CB平面 ABE，CBAE，AE平面 BC
11、E.DFECBAG(2) 连接 BD 交 AC 于 G 点，ACGB，又BF平面 ACE，BFAC，AC平面BGF， ACGF，BGF 为二面角 B-AC-E 的平面角，由(1)知 AE平面BCE， AEEB，又AE=EB ，AB=2，EB= ，FB= ，BF 22=3+平面 ACE，BFGF，在 RTBGF 中，BG= ，GF= ，cosBGF=；3GFB(3)BD 的中点 G 在平面 ACE 上，D 点到平面 ACE 与 B 到平面 ACE 的距离相等，又BF 平面 ACE，BF 长为 B 到平面 ACE 的距离，所求距离为 23【变式训练 7】如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心
12、，PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点。2,PAB求证：（1）PA平面 BDE （2）平面 PAC 平面 BDE（3）求二面角 E-BD-A 的大小。四、空间位置关系的简单证明【课标要求】能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。【例题 6】如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB=2EF=2，E FAB,EF平面 BFC,BFC 为等腰直角三角形，BF=FC,H 为 BC 的中点，(1)求证：FH平面 EAC；(2)求证：面 EAC面 ABCD；(3)求证：BD平面 EAC； (4)求四面体 BDEF 的体积；CB AEFDHG(1)证明：设 AC 与
13、 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点. 连 EG，GH，由于 H 为 BC 的中点， GH AB 又EF AB，EF GH 四边形 EFHG 为平行四边形，EGFH，而 12 12EG 平面 EDB，FH平面 EDB.(2)证明： EF平面 BFC， EFFH，EFAB， ABFH，又 BF=FC， H 为 BC 的中点，FHBC， FH平面 ABCD，FHEG，EG平面 ABCD，又EG 平面 EAC，面EAC面 ABCD；(3)由(2)知 EG平面 ABCD,EGBD, 又四边形 ABCD 为正方形，BDAC，EGAC=G， BD平面 EAC.(4) EF平面 BFC，EFBF，又
14、BFC 为等腰直角三角形，BF=FC，BFFC， BF平面 CDEF， BF 为四面体 B-DEF 的高. 又 BC=AB=2, BF=FC= ，2BDEFV.1.2.313【归纳拓展】空间几何综合题涉及的知识点比较多，不但要多注意平行关系，垂直关系各自内部的相互转化，还要分析平行与垂直之间的横向联系，灵活运用所学知识解题；【变式训练 8】如图，四边形 ADEF 是正方形，四边形 ABCD 为等腰梯形，BCAD，CD=1，AD= ，BC= ，平面 ADEF平面 ABCD；2(1)求异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值； (2)证明 CD平面 ABF；(3)求二面角 B-EF-A 的正切值。F EDCBA
