1、热传导问题的求解实例 1 半无限介质中的温度场2006-10-9 高等传热学 2 控制方程和定解条件 t t = = = 2 2 0 0 0 0 tt ax x xtt tt2006-10-9 高等传热学 3 在有限空间的情况 t t = = = = 2 2 0 0 0 0 tt axL x xtt xLtt tt2006-10-9 高等传热学 4 变量替换 qq t q q tq = = =- =- 2 2 0 0 0 00 0 axL x x xLtt tt tt q =- 0 为了将问题齐次化，令2006-10-9 高等传热学 5 分解成两个子问题 qq t q q = = =- 2 1
2、1 2 1 10 0 00 axL x x xLtt qq t q q tq = = = = 2 22 2 2 2 2 0 00 0 0() axL x x xL fx 为了将另外一个边界条件齐次化，令 qqq =+ 122006-10-9 高等传热学 6 第一个子问题的解 qq t q q = = =- 2 11 2 1 10 0 00 axL x x xLtt ( ) q =- 10 x tt L2006-10-9 高等传热学 7 第二个子问题的完整描述 ( ) qq t q q tq = = = =- 2 22 2 2 2 20 0 00 0 01 () axL x x xL x tt
3、L () qq =-=- 10 001 ()(,)(,)() x fxxxtt L2006-10-9 高等传热学 8 分离变量法分离变量法 qtt =G 2 (,)()() nnn xXx () () () () n n n n a Xx Xx x t lt t l G +G= += 2 2 0 0 在有限区域的情况下， ，可以分离成以下的形式 0 xL 2006-10-9 高等传热学 9 分离求解的结果分离求解的结果tlt G=- ()exp() n Aa lll l lll =-+- 12 12 12 0 0 0 ()exp()exp() () ()cossin n n n XxBxBx
4、XxBxB XxBxBx bb =+ 12 ()cossin nnn XxBxBx2006-10-9 高等传热学 10 特征值和特征函数 n n L p b = 对于第一类边界条件，特征值为 特征函数为 qttbbt = =G=- 2 2 11 (,)()()sinexp() nnnnn nn xXxCxa b = ()sin nn Xxx 最终的解为2006-10-9 高等传热学 11 待定系数的确定方法 ( ) qb p = = = 2 1 0 0 2 (,)()sin ()sin nn n L n xfxCx n Cfxxdx LL 利用初始条件和特征函数的正交性，可以得 到2006-1
5、0-9 高等传热学 12 解的 表达 式 ( ) ( ) p p =- =- 0 0 0 2 1 2 ()sin L n n xn Cttxdx LLL Ctt n ( ) qtbbt p = =- 2 20 1 2 (,)sinexp() nn n xttxa n2006-10-9 高等传热学 13 从 有限区域 到 半无限区域 ( ) pp qtt p = =- 2 20 1 2 (,)sinexp n Lnn xttxa LnLL 整 理 以 后 ，得 到 , n n LL pp bb =D= 考虑到 ， 上 式变为 ( ) qtbbtb pb = =-D 2 20 1 21 (,)si
6、nexp n xttxa2006-10-9 高等传热学 14 区域半无限 大时 qtbbbbt p =- 2 2 00 2 (,)()sinsinexp xdfxxxdxa 当 ,0 L L p b D= 和式变成 积 分 即 ( ) qtbbtb pb =- 2 20 0 21 (,)sinexp xttxad2006-10-9 高等传热学 15 积 分结果 ( ) ( ) ( ) t qthh p qt t =- =- 2 4 20 0 20 2 4 (,)exp (,)erf x a xttd x xtt a2006-10-9 高等传热学 16 有限区域中的最终解 ( ) qtbbt p
7、 = =- 2 20 1 2 (,)sinexp() nn n xttxa n ( ) qt =- 10 (,) x xtt L ( ) qbbt p = =-+- 2 0 1 2 sinexp() nn n x ttxa Ln2006-10-9 高等传热学 17 无限区域中的最终解 ( ) qq t =- 20 4 erf x tt a ( ) qt =- 10 0 (,) x xtt L L t - = - 0 0 4 erf tt x tt a 导致 即2006-10-9 高等传热学 18 2.6 有 内 热 源 的热传导问题 非 齐次方程的求解2006-10-9 高等传热学 19 2.
8、6.1 数学描述 t t tr = = =+ = = 2 2 0 0 00 00 0 (,) , , xxL x ttqx axL c x tt t2006-10-9 高等传热学 20 2.6.2 求解的 切入点 t t dttt tr = = =+- = = 2 2 0 0 00 00 0 (,) (), , xxL PPqx axL c x PP P 其 中 tt dtt tt = -= 1 0 () 考虑 一个 瞬 间 脉冲 热 源 的问题 t tt dttt rr =- 0 (,)(,) () qxqx d cc2006-10-9 高等传热学 21 瞬 间热 源 的 作 用分 析 tt
9、 - 0 考虑到 和 时 热 源 为 零 瞬 间热 源 为 后续 温度变化 提供 了一个 初始条件， 因此 问题 转 换为 tt t t + = + = = = 2 0 2 0 0 0 00 , , (,)() xxL PP axL x PP Pxfx2006-10-9 高等传热学 22 初始条件 与 热 源 的 关 系 ？ ttt ttt t ttdttt tr t tt r t t r + - +- + =+- -=+ = 000 000 2 2 00 0 0 (,) () (,) (,)(,) (,) (,) PPqx dadd c x qx PxPx c qx Px c 考虑到2006
10、-10-9 高等传热学 23 辅助 问题的解 ttbttb = -=- 2 1 (,)exp()sin nnn n PxCax t b r = 0 2 (,) sin L nn qx Cxdx Lc2006-10-9 高等传热学 24 2.6.3 问题的最终解 t tttt =- 0 (,)(,) txPxd 这 实质 上就是迭加原理！热传导问题的求解实例 2 瞬 间 点 热 源产生 的温度场2006-10-9 高等传热学 26 问题的等 效 形式 tt t ddd r - = =+ = =- 0 222 222 000 00 , ()()() xyzxyz v tttt a xyz tt q
11、 txxyyzz c2006-10-9 高等传热学 27 控制方程和定解条件 t t ddddtt r - = =+ +- = = 222 222 0000 0 00 0 , ()()()() v xyzxyz tttt a xyz q xxyyzz c tt t2006-10-9 高等传热学 28 对 应 的子问题 tt t d - = = = =- 0 2 2 0 00 () yy yy yy y tt a y tt tyy tt t d - = = = =- 0 2 2 0 00 () zz zz zz z tt a z tt tzz tt t d r - = = = =- 0 2 2
12、0 00 () xx xx xx v x tt a x tt q txx c2006-10-9 高等传热学 29 子问题 与原 问题的 关 系 tt tttt ddd r - = =+ +=+ = =- 0 2 22 222 222222 000 00 , ()()() y xz yzxzxy y xz yzxzxy xyzxyz xyzxyz v xyz t tt t tttttt t tt ttt aatttttt xyzxyz tttttt q tttxxyyzz c (,)(,)(,)(,) xyz txyztxtytz tttt =2006-10-9 高等传热学 30 子问题的解 t
13、t t d r - = = = =- 0 2 2 0 00 () xx xx xx v x tt a x tt q txx c t rt pt - =- 2 0 1 4 4 () (,)exp v x qxx tx ca a2006-10-9 高等传热学 31 原 问题的解 t t pt - =- 2 0 1 4 4 () (,)exp Y yy ty a a t t pt - =- 2 0 1 4 4 () (,)exp z zz tz a a ( ) 222 000 3 ()()() 1 (,)exp 4 4 v qxxyyzz txyz ca a t rt pt -+-+- =- 根据乘
14、积 解的 关 系 (,)(,)(,)(,) xyz txyztxtytz tttt =2006-10-9 高等传热学 32 对解的 验证 000 (,) ()()() v vv ctxyzdxdydzq qxxyyzzdxdydzq rt ddd - - = -= 以下的 积 分可以 证明 解 是 正确的， 前者是任意时刻 温度场中的 能 量， 而后者是瞬 间 加 热系 统 的 能 量 。2006-10-9 高等传热学 33 瞬时线 热 源产生 的温度场 ( ) 222 000 3 ()()() 1 (,)exp 4 4 v qxxyyzz txydz ca a t rt pt - -+-+-
15、 =- 22 00 ()() 1 (,)exp 44 v qxxyy txy caa t rptt -+- =- 2 1 (,)exp 44 v q r tr caa t rptt =- 2 00 1 (,)2exp2 44 v v q r ctrrdrcrdrq caa rtprp rptt =-= 换成 圆柱坐标2006-10-9 高等传热学 34 瞬时面 热 源产生 的温度场 22 00 ()() 1 (,)exp 44 l qxxyy txdy caa t rptt - -+- =- 2 0 () 1 (,)exp 4 4 s qxx tx ca a t rt pt - =- 2006
16、-10-9 高等传热学 35 连续作 用的 线 热 源 2 00 1 (,)(,)exp 4()4() l c q r trtrdd caa tt ttttt rptttt =-=- - 2 4() r a h tt = - 2 2 4()() r ddd a h htt tttt = - () dd tt th h - = () exp (,)() 44 ll i qq trdE h h thh plhpl - =-=- 令 则有2006-10-9 高等传热学 36 关 于 欧拉积 分 ( ) 22 exp ()ln 22!33! i EdC h h hh hhhh h - -=+-+ LL
17、 gg 0.57721 C =2006-10-9 高等传热学 37 线 热 源强 度 与 温度的 关 系 (,) 1 () 4 l i tr q E t h pl = - (,) 14 ln0.29 2 l tr q a r t t pl = - 在半 径较小 ， 时 间 较长 的情况下，下式 是 个 很好 的 近似Duhamel定 理 的 应 用 周期 性边界条件下的热传导2006-10-9 高等传热学 39 Duhamel定 理 的 回顾 t t t t = = = = = 2 2 0 0 00 0 0 , ,() b xxL tt axL x ttt t2006-10-9 高等传热学 4
18、0 Duhamel定 理 的 回顾 0 () (,)() h b t txtd t tt ttt t - = 2006-10-9 高等传热学 41 辅助 问题 t t t = = = = = 2 2 0 0 00 0 0 , ,() hh hh xxL h x tt axL x tth t 10 () 00 h t t t = 2006-10-9 高等传热学 42 周期 性边界条件下的温度场 t wtj t = =- = = 2 2 0 0 0 0 00 cos() tt ax x xtt xt t2006-10-9 高等传热学 43 辅助 问题的解 ( ) t t t thh p =- =-
19、 2 4 1 4 2 (,)erf (,)exp h x h a x tx a txd2006-10-9 高等传热学 44 原 问题的求解 0 () (,)() h b t txtd t tt ttt t - = ( ) 0 0 (,)cos()1erf 4 x txtd a t twtjt t tt =- - 2006-10-9 高等传热学 45 原 问题的解 3 2 2 () exp 4() 4() h t xx a a tt ttt ptt - =- - - 3 2 2 0 0 (,)cos()exp 4() 4() xx txtd a a t twtjt tt ptt =- - - 2
20、006-10-9 高等传热学 46 积 分式的 处理 3 2 2 0 0 (,)cos()exp 4() 4() xx txtd a a t twtat tt ptt =- - - () () () 2 2 2 2 0 2 4 2 2 0 2 0 2 2 0 4 2 0 2 ,() 4 4() 2 (,)cosexp 4 2 (,)cosexp 4 2 cosexp 4 x a x a xx dd a a t x txd a t x txd a t x d a t t httttth hh tt twtjhh h p twtjhh h p wtjhh h p =-=- - =- =- - 2006-10-9 高等传热学 47 积 分结果 ( ) 11 22 0 2 2 4 2 0 (,) cosexp 22 2 cosexp 4 x a tx xx taa x d a t tww wtj wtjhh h p =- - 在 时 间 较长 的情况下， 后面 的 积 分 趋向 于 零 ， 所 以最终 得 到 在 周期 性边界条件的情况下半无限介质中的温度变 化 规律 11 22 0 (,) cosexp 22 tx xx taa tww wtj =-
