1、1.3 简单的等差数列新知导航在加减法的混合计算中,存在一种情况:多个加数(或减数)按照固定的规律依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王国中最著名的故事“高斯求和”等差数列求和。一、等差数列的认识【基础过关】热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下了这样的一个题:1 +2+3+4+5+6+7+8+9+10 的结果是多少?分析:观察发现:本题中的数按从小到大的顺序依次排列,可以使用首尾对应求和的方式变加法为乘法计算。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9
2、)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11+11+11+11+11=115=55老师点睛当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的差相同,这组数被称之为“等差数列”。若求这组等差数列的和,可以按照首尾对应相加的方式使用乘法计算。二、等差数列的求和计算【综合提升】例题 1:10+11+12+13+19分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对应求和的方法。10+11+12+13+19=(10+19)+(11+18)+(14+15)=29+29+29+29=29(102)=29102=2902=145老师点睛在连续自然数组成的等差数列求和计算中,可
3、以将加法改为乘法计算:和=(第一个数+最后一个数)数的个数2。但首先要找到这组等差数列中数的个数,才能完成计算。【巩固训练】(1)1+2+3+20 (2)3+4+5+12(3)1+2+3+40 (4)5+6+7+24例题 2:3+6+9+60分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数,因此在找数的个数时,可以借用倍数的特殊性。3+6+9+12+60=31+32+33+34+320=(3+60)(202)=6310=630老师点睛由某个数的连续倍数构成的等差数列求和计算中,应通过借用这个数的倍数找这组数的个数。【巩固训练】(1)2+4+6+20 (2)5+10+15+100(3)4+
4、8+12+40 (4)100+90+80+10例题 3:2000-5-10-15-20-100分析:通过观察可得:所有的减数一起构成等差数列,因此可以先利用等差数列求和的方法求出所有减数的和,再求差。2000-5-10-15-20-100=2000-(5+10+15+20+100)=2000-(51+52+53+54+520)=2000-(5+100)(202)=2000-1050=950老师点睛在一组减法算式中,若所有的减数组成一个等差数列,可以先求等差数列的和,再求差。【巩固训练】(1)200-1-2-3-4-18 (2)730-10-20-30-40-100(3)3343-200-180
5、-160-20 (4)(2+4+6+80)-(1+3+5+79)例题 4:小明想在 20 天内存够 500 元钱,他计划第一天存入 4 元,第二天存入 8 元,第三天存入 12 元,依次类推,直到第二十天存人 80 元。那么小明达到目标了吗?分析:根据题意可得:小明每天存入的钱构成一个等差数列,可以求等差数列的和来判定他是否达到目标。4+8+12+80=(4+80)(202)=8410=840840500答:小明达到了目标老师点睛应用题中出现一些数按照等差数列的特征排列,若求总数,则可以使用等差数列求和,但一定按照前面的方法找出等差数列中有多少个数。【巩固训练】1.光头强计划在 60 天内砍树
6、 500 棵,他第一天砍了 1 棵,第二天砍了 2 棵,第天砍了 3 棵,以此类推,最后一天砍了 60 棵。光头强的目标达到了吗?2.奶奶家外的公路边有一堆砖,兄弟两人一起计算这堆砖的总数,哥哥是一块块的数,弟弟发现这堆砖第一层有 8 块,第二层有 16 块,第三层有 24 块,以此类推,最后一层有 72 块。小朋友们,你们能够快速计算出这堆砖的总数吗?*3.小老鼠带上 2000 颗花生去旅游 30 个城市,它的计划是到达第一个城市就吃 2 颗,到达第二个城市就多吃 4 颗,到达第三个城市就再多吃 4 颗,以此类推,到达最后一个城市应该吃 118 颗。那么小老鼠旅游结束后还剩下多少颗花生?通过今天的学习,乌龟和兔子都学会了利用等差数列求和的方法,它们一起分享了自己今天的收获：(1)通过数的排列规律认识等差数列的特征；(2)利用首尾对应求和的方法变加法为乘法；(3)先找等差数列中数的个数才能找到乘法中的另一个因数。
