圆锥曲线知识点+例题+练习含答案解析(整理).doc

1、 圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的21,F|21F轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21Fa21|21Fa（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴 上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程)0(12bayx )0(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1B1B2 xOF1F2PyA2B2B1顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2焦 点 ),(,(21cF),(,0(21cF焦 距

2、 )|1bac离心率 （离心率越大， 椭圆越扁）0(ea通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）2ba3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于 两点，)0(12bayx 21,F1BA,则 的周长= 2ABF（2）设椭圆 左、右两个焦点 为 ，过 且垂直于对称轴的直线交)(byax 21,1椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQA1二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点21,F|21F的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF2|1aPF2|

3、12|21F表示两条射线； 没有轨迹；|22a|（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴 上y标准方程)0,(12bayx )0,(12baxy图 形xOF1 F2P yA2A1xOF1PB2B1F2顶 点 )0,(,21aA ),0(,21aB对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦 点 ),(,21cF),(,21cF焦 距 )0|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）(ea渐近线 xbyxby通 径 2ba（3）双曲线的渐近线：y求双曲线 的渐近线，可令其右 边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到 。12byax 02byax0xya

4、b与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 ；2byax 2byax（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2t2（4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交双曲线的同)0,(12bayx 21,F1一支于 两点，则 的周长= BA,F（2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直),(2byax 21,1线交双曲线于 两点， 则 的坐标分别是 QP, |PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p焦点在 轴上，x开口向右焦点在 轴上，x开口向左焦

5、点在 轴上，y开口向上焦点在 轴上，y开口向下标准方程pxy2pxy2pyx2pyx2图 形xO FPylOFP y lxOFPylxOFPylx顶 点 )0,(O对称轴 轴x 轴y焦 点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率 1e准 线 xxyy通 径 p2焦半径 |0pxPF2|0pyPF焦点弦焦准距 p四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 AkxxkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 的系数2x求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x

6、 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ，,0CBxA),(1yxA),(2BABx21；（3）代入弦长公式计算。Cx21法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 则相应的弦,02CyA长公式是： |)1(4)()1|)1(| 22121222 AkkykAB 注意（1）上面用到了关系式 和|)(| 212121 Axxx|4)(212121 Ayyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条 线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面 积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线

7、与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ；（3）设中点,0CBxA),(1yxA),(2BABx21，由中点坐标公式得 ；再把 代入直线方程求出 。),(0yxM00x0y法（二）：用点差法，设 ， ，中点 ，由点在曲线上，线段的中点),(1yxA),(2B),(0yM坐标公式， 过 A、B 两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等 变形，求出 。0,yx六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e 时，要注意椭圆离心率

8、取值范围是 0e1，而双曲 线离心率取 值范围是 e1)例 1：设点 P是圆 24xy上的任一点，定点 D的坐标为（8，0），若点 M满足2MD当点 P 在圆 上运动时，求点 M 的轨迹方程解 设点 M的坐标为 ,xy，点 P的坐标为 0,xy，由 2PD，得 0,28xy，即 0316， 3因为点 P 在圆 24xy上，所以 204xy即 221634xy，即21639xy，这就是动点 M的轨迹方程例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（ 2,0）且过点 53(,)2，求椭圆的标准方程解法 1 因为椭圆的焦点在 x轴上，所以 设它的标准方程 为21(0)xyab，由椭圆的定义可知： 22

9、2253532(0(a） （ ） ） （ ）10a又 22,6cbc所以所求的标准方程为 2106xy解法 2 22, 4a，所以可设所求的方程为24a，将点53(,)2代人解得： 10a 所以所求的标准方程为 2106xy例 3.例 4. 高二圆锥曲线练习题 11、F1，F2是定点，且 |F1F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( )(A)椭圆 (B)直 线 (C)圆 (D)线段2、已知 的周长是 16， ，B , 则动点的 轨迹方程是( )ABC)0,3(A)(A) (B) (C) (D)1652yx )(1652yx1256yx)0(1256yx

10、3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 则椭圆的离心率等于（ ）A B C D1312324、设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 26若曲线 上的点到椭圆 的两个1C51x21C焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 的标准方程 为（ ）2A B C D243xy2135xy2134xy213xy5、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）.2109xya320xya（A）4 （B）3 （C）2 （D）16、双曲线 的实轴长 是（ ）82yx（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 27、双曲线 =1 的焦点到 渐近线的距离为（ ）4x21yA B2 C D123 38、以双

11、曲线 的右焦点 为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）2196xyA B20 2106xyC D1xy 99、过椭圆 =1（ab0）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 为右焦点，若21F2F，则椭圆的离心率为（ ）1F2P60A B C D3121310. “ 0mn”是“方程 2mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 （ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴 的和为 18，焦距为 6; .(2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03(3)椭圆的两个 顶点

12、坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; )03(31(4)离心率为 ，经过点(2， 0); 212、与椭圆 轴长为 2 的椭圆方程是： 且 短有 相 同 的 焦 点yx14913、在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 过xOyC12,Fx2的直线 交 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为： 1FlC,AB2FC14、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若12，2159xy1AB，则 2A15、 已知 、 是椭圆 C： （ ）的两个焦点，P 为椭圆 C上一点，且1F221xyab0，若 的面积是 9，则 12PF12P16、求心在原点，焦点在坐

13、标轴上，且经过 P（ 4， ），Q （ ）两点的椭圆方程。33,2圆锥曲线练习题 21抛物线 的焦点到准 线的距离是（ ）xy102A B C D525102若抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 的坐标为（ ）。28P9PA B C D(7,14)(,4)(7,214)(7,214)3以椭圆 的顶点 为顶点，离心率 为 的双曲线 方程（ ）269xyA B C 或 D以上都不对1482127yx14862yx2197x4以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ ）02A 或 B 23xy2x3xyC 或 D 或9y2xy95若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点

14、的距离，则点 的坐标为（ ）x2PPA B C D1(,)412(,)8412(,)412(,)846椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为（ ）29yxP1F2 21FPA B C D02847若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时，使 取得最A(3,2)Fxy2MMAF小值的 的坐标为（ ）MA B C D0,1,8与椭圆 共焦点且 过点 的双曲线方程是（ ）42yx(2,1)QA B C D1242yx132yx12yx9若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长为_.2xmy310双曲线的渐近线方程为 ，焦距 为 ，这双曲线的方程为_。20xy1

15、11抛物线 的准线方程 为.y6212椭圆 的一个焦点是 ，那么 。5kx),(k13椭圆 的离心率为 ，则 的值为_。2189y214双曲线 的一个焦点 为 ，则 的值为 _。2kx(0,3)k15若直线 与抛物线 交于 、 两点，则线段 的中点坐标是_。yxy42ABAB16 为何值时，直线 和曲线 有两个公共点？有一个公共点？kk26y没有公共点？17在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。24yx45yx18双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求其方程。13627yx(15,4)19设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，12,F1692yxP0126FP求 的面积。P

16、高二圆锥曲线练习题1、F1，F2是定点，且 |F1F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( D )(A)椭圆 (B)直 线 (C)圆 (D)线段2、已知 的周长是 16， ，B , 则动点的 轨迹方程是( B )ABC)0,3(A)(A) (B) (C) (D)1652yx1652yx1256yx 0(1256yx3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， 则椭圆的离心率等于（ D ）A B C D32324、设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 26若曲线 上的点到椭圆 的两个1C51x21C焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 的标准方程 为

17、（ A ）2A B C D243xy2135xy2134xy213xy5、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ C ）.209a0a（A）4 （B）3 （C）2 （D）16、双曲线 的实轴长 是（C ）82yx（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 27、双曲线 =1 的焦点到 渐近线的距离为（ A ）4x21yA B2 C D123 38、以双曲线 的右焦点 为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ A ）2196xyA B20 2106xyC D1xy 99、过椭圆 =1（ab0）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 为右焦点，若21F2F，则椭圆的离心率为（ B ）1F2P6

18、0A B C D3121310. “ 0mn”是“方程 21mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 （ C ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 解析:将方程 21xny转化为 21xymn, 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必须满足10,m所以 ，11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴 的和为 18，焦距为 6; ) 或 ; .1625yx125yx(2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03( 32(3)椭圆的两个 顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; 或 ; )03(1192yx1892yx(

19、4)离心率为 ，经过点(2， 0); 或 .23142yx642yx12、与椭圆 轴长为 2 的椭圆方程是： 且 短有 相 同 的 焦 点yx149 162yx13、在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 过xOyC12,Fx2的直线 交 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为：（ ）1FlC,AB2FC22168y14、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若12，2159xy1AB，则 8 2FABA15、 已知 、 是椭圆 C： （ ）的两个焦点，P 为椭圆 C上一点，且1F221xyab0，若 的面积是 9，则 3 12PF12P16、求

20、心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P（ 4， ），Q （ ）两点的椭圆方程。3,2解：设椭圆方程为 ，将 P，Q 两点坐标代入，解得12byax 15,0ba故 为所求。1520yx圆锥曲线练习题 21抛物线 的焦点到准 线的距离是（ B ）xy2A B C D521502若抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 的坐标为（ C ）。28P9PA B C D(7,4)(,4)(7,214)(7,214)3以椭圆 的顶点为顶点，离心率为 的双曲线方程（ C ）1625yxA B 481279yxC 或 D以上都不对162yx1279yx4 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且 ，则 的面积为

21、（ C 21,F2A02145FA12AF）A B C D742755以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ D ）09622yxA 或 B 23xy2x3yC 或 D 或9y2xxy6若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为（ B ）x2PPA B C D1(,)412(,)8412(,)412(,)847椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为（ D ）29yxP1F2 21FPA B C D02848若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时，使 取得最(3,)Fxy2MMA小值的 的坐标为（ D ）

22、MA B C D0,1,2,9与椭圆 共焦点且 过点 的双曲线方程是（ A ）42yx(2,1)QA B C D1242yx132yx12yx10若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长为_ _.2xmy ,或11双曲线的渐近线方程为 ，焦距 为 ，这双曲线的方程为_ _。0xy12105xy12抛物线 的准线方程 为 .y623213椭圆 的一个焦点是 ，那么 1 。5kx),0(k14椭圆 的离心率为 ，则 的值为_ _。2189y254,或15双曲线 的一个焦点 为 ，则 的值为 _ _。2kx(0,3)k116若直线 与抛物线 交于 、 两点，则线段 的中点坐标是_ _。2yxxy42AB

23、AB(4,2)17 为何值时，直线 和曲线 有两个公共点？有一个公共点？kk236y没有公共点？解：由 ，得 ，即236yx22()x2()160kx222143748kk当 ，即 时 ，直 线和曲线有两个公共点；27806,3k或当 ，即 时 ，直 线和曲线有一个公共点；24k,或当 ，即 时，直线和曲线没有公共点。278063k18在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。24yx45yx解：设点 ，距离为 ，2(,)Ptd2241717tt当 时， 取得最小 值，此 时 为所求的点。1t(,)P19双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求其方程。3627yx(5,4)解：椭圆 的焦点为 ，设双曲线方程为136y(0,)3c2219yxa过点 ，则 ，得 ，而 ，(5,4)22519a24,6a或 2，双曲 线方程为 。2a4yx20设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，12,F1692xP0126FP求 的面积。P2解：双曲线 的 不妨设 ，则12yx3,5ac12F12a，而2201 12os6FP120c得 2()PFP0121264,sin613PFSPF您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去， 让我们共同进步。