1、1高数 A(二)复习试卷解答所以?f(x)dx?t?f(x)dx 00t13设 f(x)在?0,1?上可导，且满足 f(1)?2?120xf(x)dx，证明在?0,1?内至少有一点 ?，使?f?(?)?f(?) ?1? 证明：因为 f(x)在?0,1?上可导，所以 xf(x)在?0,?上连续，所以至少存在一点?1， ?2? 使 f(1)?2?1201xf(x)dx?2?1f(?1)?(?0)?1f(?1),2?1?0,? 2?1? 令 F(x)?xf(x)，则在?1,1上 F(x)满足Rolle 定理条件，所以至少存在一点?， 使 F?(?)?0,?(?1,1) 而 F?(x)?f(x)?xf
2、?(x)，所以?f?(?)?f(?)，其中0?1?1，证毕 五、 定积分应用 1求一条垂直于 x 轴的直线，它将曲线 x2?4y?4?0 和直线 x?y?2?0 所围成的平面图形分成面积相等的两部分。 ?x2?4y?4?0?x?6?x?2?解：?，? ?x?y?2?0y?8y?0?2x2?4x2?4?6(2?x)?4dx?x0(2?x)?4d2x x02x2x2)dx?(3?x?)dx ?(3?x?6x044x0x2x3x2x3?)?(3x?) (3x?212?6212x0x02xxx010x0?0)?18?(3x0?0) (3x0?21232122323 (x0?2)(x0?4x0?44)?
3、0 所以 x0?2 或?2?43 或?2?43，因为后两个落在?6,2外，故舍去， 所以 x0?2，所求直线为 x?2。 2设平面区域 D 由 x2?y2?2x 与 y?x 确定，求 D 分别绕x 轴、y 轴的体积。 2 6 ?x2?y2?2x 解：?y?x 绕 x 轴： Vx?V 球?4? 3?x?0?,?y?0?x?1 ?y?1 绕 y 轴： 10143Vy?1?(1?1?y2)2dy?1?(1?1?y2)2dy?0?y2dy?2 32 3y?x 绕 x 轴旋转一周所得在?0,a?上旋转体体积记作V(a)，求 limV(a)? 2a?1?xaax112dx?d(x)? ?220(1?x2)
4、202(1?x)a 解：V(a)?y2dx?01?21?x2?a?0?1?limV(a)?, ?a?221?a22? 4半径为 R 的半球形水池充满了水，将水从池中抽出，当已抽出的水所作的功为将全部水抽完所作的功的一半时，问水面的高度下降多少？ 解：如图建立坐标系，则半球截面方程为 3y?R2?x2 功元素 dw?y2dx?x?x(R2?x2)dx 将水全部抽完所作的功 W?R0R4?x(R?x)dx? 422h22h4R4R?，所以 h?4 由题意，得?x(R?x)dx?04825一块抛物线弓形的平板竖直地放在水下，其尺寸及位置如图所示，求它的每一面所受的水压力，又欲使压力加倍，水面应升高多
5、少米。 解：如图建立坐标系，则抛物线方程为 5 x?y2 9 压力元素为 dP?2ydx?(x?2)? 6?(x?2)xdx5 所以它的一面所受的水压力 7 P?12065(x?2)xdx? tcosu?x?1udu1?t?6计算曲线?在的一段弧长。 tsinu2?y?du1u?dxcostdysint?,? 解： dttdtt? 弧长 s?21cost2sint21()?()dt?2dt?lnx1ttt?21?ln 2?六、 判别级数的敛散性： 1?2n?3 2n?1n?n?52n?3n2?n?5vn?1n? 解： un? un2n2?3n lim?lim2?2?(0,?) n?vn?n?n
6、?5n?2n?31 又因为 ?发散，所以?2 也4发散 nn?1n?n?5n?1?2?n?1?lnnn43 lnn43lnx11lnn?lim?0 解： limn?lim1 而lim1?lim51x?x?x?n?1n?616x6xx6n676n61x 所以limn?lnnn16?0 因为?n?1?1n76 收敛（p?级数，p?7?1 ） 6 所以?n?1?lnnn43 收敛。 an?bn3?na?bn(a?b,a?0,b?0) bn1?()an?bna?1?0 解：不妨设 a?b?0，则limun?limn?limnn?n?a?bn?b1?()na 所以原级数发散。 如 0?a?b，同理，发散
7、 8 4?(?1)n?1(1?n?1?1?1) n 解： ?(?1)n?1?n?1?1(1?1)?(?1)n?1un ， nn?1n?1?(?1)?n?1un?n?1?(1?1?1) n1?因为limn?1?111n?lim?(0,?) n?1211?1nn?11n?1 而?发散，所以?(?1)un?(1?1) 发散，所以原级数不是绝对收敛 nn?1nn?1n?1?又（1）un?1?11?1?1?1?un?1 nn?11?1)?0 n （ 2）limun?lim(1?n?n?所以原级数收敛，且是条件收敛。 5?sin(?n2?1)n?1? ? 解：?sin?(n?1)?(?1)?sin?(n?
8、1?n?)?(?1)5n?sin2n2n?1n?1n?1?12n?1?n? ?(?1)unnn?1? 1?un?sinn?1n?1?1n?1?n2? n?1?n 因为 limn?1n2?limn?nn2?1?n?2，而?1 发散，n?1n?所以?un?sinn?1n?1?1n?1?n2?发散，即原级数不是绝对收敛 又（1）un?sin1n?1?n2?11(n?1)?1?(n?1)2?un?1 （2）limun?limsinn?n?n?1?n2?0 所以原级数收敛，且是条件收敛。 七、 求幂级数的收敛区间： 9 (x?3)n1? nn?1n?3?(x?3)ntn 解：令 x?3?t，则? ?nn
9、n?3n?3n?1n?1?liman?1n?an11n?3n1n1(n?1)?3n?1 ?lim?lim?lim?n?n?(n?1)?3n?113n?n?13n?3n 所以R?3，t?3 ，即 x?3?3，所以 0?x?6 ?(?1)n3n(?1)n 当 x?0 时，原级数化为?，收敛； ?nnn?1n?3n?1?3n1 当 x?6 时，原级数化为?，发散. 所以收敛区间为0,6) ?nnn?3n?1n?1?3n?(?2)n2?(x?1)n nn?1?3n?(?2)n3n?(?2)nnn 解：令 x?1?t，则?(x?1)?t nnn?1n?1?a3 ?limn?1?limn?an?nn?1?
10、(?2)n?1n?1?n3n?(?2)n21?(?)n?16n3?lim?3 n?n?1112n?(?)333 所以 R?1?11421，t?，即x?1?，所以?x? 333332n()?3n?(?2)n1n(?1)n43?(?)?，收敛； 当 x?时，原级数化为?3n3nnn?1n?12(?)n3?(?2)112?()n?3，发散 当 x?时，原级数化为?3n3nn?1n?1n?nn?42 所以收敛区间为?,?) 33(?1)n?12n3?x n?1n(2n?1)? 10 百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆! 上海大学高数 A（二）复习试卷解答 一、
11、求下列导数与极限 （1）F(x)?cosxsinxcos?t2dt 求：F?(x) 解: F?(x)?sinxcos(?cos2x)?cosxcos(?sin2x) （2）?(x)?x2xlnsinxdx 求：?(x) 解: ?(x)?2xlnsinx2?lnsinx （ 3）设 f(x)为连续的偶函数，且 g(x)?x0f(t)dt?x1f(t)dt 求：g(x) 解: g(x)?f(?x)?f(x)?f(x)?f(x)?0 （4）limx?0?sin(x2)0ln(t?1)dtt 1?cosx 解: 7limx?0?sin(x2)0lnsin(x2)?1ln(t?1)?cos(x2)?2x
12、dt22xcos(x2)lnsin(x2)?1sin(x)t?lim?lim 1?cosxsinxsin(x2)sinxx?0x?022xsinx()?lim?23xx?01（5）limx?x?3xt21?t120dt u0 解: limx?x?3xtx20221301?tdtx?ulimu?0?t21?tu32dtu2111?u2 ?lim?lim?2u?0u?033u231?u（6）求：f(x)? 解: (1?t)arctantdt 的极值点。 f?(x)?(1?x2)arctax2n?2x?2x(1?x2)arctax2n?0x1?0,x2?1,x3?1x2n?2x(?x)arctax2
13、n?2x(1?x2) f?(x)?2(1?x2)arcta?2(1?2x)arctaxn?f?(0)?0,f?(?1)?2211?(x)22?2x 4x2(1?x2)1?x4?2,f?(1)?2 1 又当?1?x?0 时，f?(x)?0 ，当 0?x?1 时，f?(x)?0 所以x1?0,x2?1,x3?1 都是极值点。 （7）利用定积分定义求：limn(n?111?) n2?12n2?22n2?n2 解：limn(n?1111?)?lim(n?nn2?12n2?22n2?n2111?) 1222n21?21?21?2nnn ?1?1dx?arctaxn? 01?x2041 二、 估计积分成立
14、 12e?121?1?212e?xdx?2 82 解：?212e?x2dx?2?20e?xdx 因为 e?x 在0,?(12)222120上是单减的， 12 所以当 0?x?12 时，有 e1?12?e?x2?e，即e1?e?x2?1 所以12e?12120?20edx?e?x2dx?201dx?12 证毕 三、 计算定积分、广义积分： （1）?(1?cos2x?xsinx)dx ?解：=?1?cos2xdx?0?xsinxdx?2?20?01?cos2xdx?0 =22?（2）?21cosxdx?22(?cosxdx?cosxdx)?42 2?x2?1dx xx?setc? 解：1?03?s
15、e2ct?123?3? 3tantdt?3(se2csetctantdt?0t?1)dt?(tatn?t)|0?0setc3?（3）?302dx(2x?1)1?x2 ?解：x?tant2sectdtsectdtsectdtcostdtdsint66666?0(2tan2t?1)sect?02tan2t?1?02sec2t?1?02?cos2t?01?sin2t ?16i?narctan ?arctant()s 02 2 9?（4）?121?2xarcsinx1?x1202dx sint?tdxarcsinx?t2?6?costdt?2?6tsintdt?2?6td(cost) 0cost003
16、? 6?解：?2?xarcsinx1?x2?06?6cot ?2(tcots0?sd)t?1?（5）?0xsin6xdx ?0 解：I?0xsin6xdxx?t?(?t)sin6(?t)dt?(?t)sin6tdt ?00? ?sin6xdx?xsin6xdx?sin6xdx?I 00? 所以I?10?2?0?sinxdx?6?531?5?2?02sin6xdx?2 2642232?（6）?dx 2x?3x?21b1dxdx11?lim?lim(?)dx? 解：?0(x?1)(x?2)b?1?0(x?1)(x?2)b?1?0x?2x?1bx?2ln ?limb?1?x?1?lim(ln?0b?
17、1b?2?ln2)? b?1 所以原反常积分发散。 ?1dx （7）?2xln2xb111 解：?lim?dx?limd(lnx)?lim(?) b?2xln2xb?2ln2xb?lnx2bb ?lim(b?111?)? ln2lnbln2?（8）?40xdx 1?cos2x?40 解：?x1414tanxdx) 4?dx?xd(tanx)?(xtanx0?202022cosx?1? ?(?lncosx24?40)?1?2(?ln) 242 3 （9）?0dxx(4?x)10 ?1 解：?dxx(4?x)?1dxx(4?x)?lim?a?01adxx(4?x)?lim?b?b1dxx(4?x)
18、 ?limarctan? a?0x2?limarctanb?ax2b?1 101ab1?lim(arctan?arctan)?lim(arctan?arcta)n?b?a?0?22222（10）?1?1(x?5)2?x2dx 1?1 解：?x2?x2dx?52?x2dx?0?10?11102?x2dx? ?41? x?2sint20?04cos2tdt?10?04(1?cos2t)dt?10(t?sin2t)?5(?1) 220?（11）设 f(x)?x211sintdt，求：?xf(x)dx 0tsinx22sinx2?2x?解：f?(x)?， f(1)?0 2xx111121121122s
19、inx22dx ?xf(x)dx?f(x)d(x)?xf(x)?xdf(x)?x002022020x1 ?（12）?01111122222xsinxdx?sinxd(x)?cosx2?02?0210?1(co1s?1) 2xsinxdx 1?cos2x0 解：Ix?t? ?I?0?sint?(?t)sinttsintdt?dt?dt? ?222001?cost1?cost1?costsintdt?I 21?cost? 2?0sint?dt?21?co2st?2?01d(cots)21?cost?2arctant()co?s0? 42?1?1?x（13）已知 f(x)?1?1?ex20x?0x?0 求：?f(x?1)dx 01111dt?01?tdt? ?11?et0 解：?f(x?1)dxx?1?t?f(t)dt?1 4
