1、圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径（2）圆的有关性质圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论：在同圆
2、或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径三角形的内心和外心：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（3）圆心角与
3、圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角知识点复习：1在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。2. 垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且平分弦所对的两条_。3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是_）的直径_这条弦，并且平分弦所对的两条_4. 圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的_等于这条弧所对的_的一半。_所对圆周角相等。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的_相等。直径所对的圆周角是_，_的圆周
4、角所对弦是直径。5圆的切线 判定：经过直径_，并且与这条直径_的直线是圆的切线。 性质：圆的切线垂直于_的直径。6三角形的外心_确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_的交点。7三角形的内心与三角形的三边都_的圆叫做三角形的_圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条_的交点。和圆有关的位置关系8点和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为 r， _的距离为 d，则点在圆内_；点在圆上 _；点在圆外_。9直线和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_的距离为 d，则直线和圆没有公共点 直线和圆_ d_r；直线和圆有惟一公共点
5、 直线和圆_ d_r；直线和圆有两个公共点 直线和圆_ d_r.与圆有关的计算：11. 弧长公式：l_（已知弧所对的圆心角度数为 n，所在圆的半径为 R）设扇形的圆心角度数为 n，所在圆的半径为 R，弧长为 l，则扇形的周长为 C _；面积 S _设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l。 则 l2r 2h 2；圆锥侧面积S 侧 _;全面积 S 全 _设圆柱的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l。 则 lh；圆柱侧面积 S 侧_;全面积 S 全 _圆的练习一、选择题1.下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（ ）A.
6、 B. C. D. 2.下列命题中，正确的个数是（ ）直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等的两个圆是等圆 ； 一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.如果两个圆心角相等，那么（ ）A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D. 以上说法都不对4.O 中，AOB= 84，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ ）A.42 B.138 C.69 D.42或 1385.如图，已知 A、B、C 是O 上的三点，若ACB=44 则AOB 的度数为（ ）A44B46C68D
7、886.如图，如果 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为E，那么下列结论中， 错误的是（ ）A.CE=DEB.C. BAC=BADD.ACAD7.如图，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ）A.4B.6C.7D.88.如图，A、B、C 三点在 O 上，AOC=100，则ABC 等于（ ）A.140B.110 C.120 D.1309.如图，O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若EOD=40,则DCF 等于（ ）A.80B. 50C. 40D. 2010.如图，O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，
8、则OM 的长的取值范围（ ）A3OM5B 4OM 5C 3OM 5D4OM5二、填空题1.如图，AB 为O 直径，E 是 中点，OE 交 BC 于点D，BD=3，AB=10，则 AC=_.2.如图，O 中，若AOB 的度数为 56，ACB=_.3.如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，BDC=25，则BOC=_.4.如图，等边 ABC 的三个顶点在O 上，BD 是直径，则BDC=_，ACD=_.若 CD=10cm，则O 的半径长为_.5.如图所示，在O 中，AB 是O 的直径，ACB 的角平分线 CD 交O于 D，则ABD=_度6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ
9、进攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点 .有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择_种射门方式.三、解答题1.如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作CNCD、DM CD， 分别交 AB 于 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由.2.如图，在O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且AC=BD，MC AB，ND AB，M 、N 在O 上.(1)求证： = ；(2)若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则 成立吗？3.如图，已知 AB=AC，APC=60 (1)求证： ABC 是等边三角形.(2
10、)若 BC=4cm，求 O 的面积.一、选择题1.如图，在O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径， 则下列结论中不正确的是( )A.ABCDB. AOB=4ACDC.D.PO=PD2.如图，O 中，如果 =2 ，那么( )A.AB=ACB.AB=2ACC.AB2ACD.AB2AC3.如图，1、2、3、4 的大小关系是( )A.4123B. 41= 32C. 4132D.413= 24.如图，AD 是O 的直径，AC 是弦，OBAD，若 OB=5，且CAD=30，则 BC 等于( )A.3 B.3+C.5- D.5二、填空题1.P 为 O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5c
11、m，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_.2.如图，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_(只需写一个正确的结论).3.如图，AB 和 DE 是O 的直径，弦 ACDE，若弦 BE=3，则弦CE=_.4.半径为 2a 的O 中，弦 AB 的长为 ，则弦 AB 所对的圆周角的度数是_.5.如图，AB 是O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则1+2=_.三、解答题1.如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长.2.如图，AOB=90 ，C、D 是 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点E、F，求证：
12、AE=BF=CD.3.如图，C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为(0 ，4)，M 是圆上一点，BMO=120.(1)求证： AB 为C 直径.(2)求C 的半径及圆心 C 的坐标.答案与解析基础达标一、选择题1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A二、填空题1.8 2.28 3.50 4.60，30，10cm 5.45 6.第二三、解答题1.AN=BM 理由：过点 O 作 OECD 于点 E，则 CE=DE，且 CNOEDM.ON=OM ，OA-ON=OB-OM，AN=BM.2.(1)连结 OM、ON，在 RtOCM
13、和 RtODN 中 OM=ON， OA=OB ，AC=DB，OC=OD，RtOCM Rt ODN ，AOM= BON，(2)提示：同上，在 RtOCM 中，同理，.3.(1)证明： ABC=APC=60，又 ，ACB=ABC=60，ABC 为等边三角形 .(2)解：连结 OC，过点 O 作 ODBC，垂足为 D，在 RtODC 中，DC=2，OCD=30，设 OD=x，则 OC=2x，4x 2-x2=4，OC=O 的面积能力提升一、选择题1.D 2.C 3.B 4.D 二、填空题1.8cm，10cm 2.AB=CD 3.3 4.120或 60 5.90三、解答题1. 过 O 作 OFCD 于
14、F，如右图所示AE=2，EB=6，OE=2，OF=1，EF= ，连结 OD，在 RtODF 中，4 2=12+DF2，DF= ，CD=2 .2. 连结 AC、BD，C、D 是 三等分点，AC=CD=DB，且AOC= 90=30，OA=OC ，OAC=OCA=75，又AEC=OAE+AOE=45 +30=75，AE=AC，同理可证 BF=BD，AE=BF=CD.3. (1)C 经过坐标原点 O，且 A、B 为C 与坐标轴的交点，有AOB=90AB 为直径；(2) BMO=120， 的比为 1：2，它们所对的圆周角之比为BAO:BMO=1 ： 2BAO=60 ，在 RtABO 中，AB=2AO=8，C 的半径为4；作 ，垂足分别为点 E、FAE=OE ，BF=OF在 RtABO 中， AO=4，OB=圆心 C 的坐标为 .综合探究1.（2，0）提示：如图，作线段 AB、BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心.2.(1)AC、AD 在 AB 的同旁，如右图所示，作 ，垂足分别为点 E、FAB=16，AC=8，AD=8 ，在 RtAOE 中，CAB=60 ，同理可得DAB=30，DAC=30 .(2)AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得：DAC=60+30=90
