1、数学（理科）试题 第 1 页 共 10 页2015 年浙江高考测试卷数学(理科)姓名_ 准考证号_本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页, 选择题部分 1 至 3 页, 非选择题部分 4 至 5 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分 (共 50 分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：如果事件 A
2、，B 互斥，那么P (AB )P (A )P (B)如果事件 A，B 相互独立，那么P (AB)P ( A)P (B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率1(0,12)nkknnpC，台体的体积公式 123VhSS其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式VSh其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V Sh13其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式S4 R2球的体积公式 34V其中 R 表示球的半径一、选择题:本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 5
3、0 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 Sx| 3x 6，T x|x24x50，则 A( ，3(6，) B(，3(5，)C( ，1)(6，) D( ，1)(5 ， )2设 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn 若 公 差 d 0， 且 |a7| |a8|， 则 使 Sn 0 的 最 大 正 整 数 n 是A12 B13 C14 D153已知整数 x，y 满足 设 zx 3y，则2,1.yxAz 的最大值为 1 Bz 的最小值为 1Cz 的最大值为 2 Dz 的最小值为 2(第 4 题图)R(ST)数学（理科）试题 第 2 页 共 10 页4某几何体
4、的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是A B C D5现有 90 kg 货物需要装成 5 箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的 2倍若某箱所装货物的重量为 x kg，则 x 的取值范围是A10x18 B10x 30 C18x30 D15x 306设点 D，E 分别在ABC 的边 BC，AC 上，线段 AD，BE 相交于点 F，则“F 为ABC 的重心”是“ 2”的FA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7已知函数 f (x)xln ( x )，g(x) 则2121,0,.xAf (x)是奇函数，g(x )是奇函数 Bf (x)是偶函数
5、， g(x)是偶函数Cf (x)是奇函数， g(x)是偶函数 Df (x)是偶函数， g(x)是奇函数8在ABC 中，已知 BAC 的平分线交 BC 于点 M，且 BM : MC2 : 3若AMB 60，则 ABCA2 B C D3579设 A，B ，C 为全集 R 的子集，定义 ABA( B)A若 AB AC， 则 B C B若 AB AC ，则 A( BC )C若 AB AC ，则 B C D若 AB AC， 则 A(BC)10设动点 A，B 均在双曲线 C： (a0，b0)的右支上，点 O 为坐标原点，双曲线 C 的离21yx心率为 eA若 e ，则 存在最大值 B若 1e ，则 存在最
6、大值2O 2C若 e ，则 存在最小值 D若 1e ，则 存在最小值BAB非选择题部分 (共 100 分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、填空题:本大题共 7 小题 ,每小题 4 分,共 28 分。11某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 R 正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图正视图 侧视图俯视图开始输出 iii1是S100 ?结束否S1，i0(第 11 题图)SSS i1数学（理科）试题 第 3 页 共 10 页12已知等比
7、数列a n，a 2a 3 ，a 4a 56，则 a8 a9 13已知实数 a，b 满足 a3b 34，a 2a bb 2ab4，则 ab 14已知 ，则 的最小值为 +2=4(,+)2+115已知单位向量 a，b 的夹角为 设单位向量 c a b (0，R)，若 ca，则有序数对 (，) 3 16已知函数 的图像，则图像的对称中心坐标为 =(3)17已知线段 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA1，OB 1，OC2若线段 OA，OB ，OC 在直线 OP 上的射影长相等，则其射影长为 三、解答题:本大题共 5 小题 ,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18(本题满分 14
8、分) 已知函数 f (x)4 sin cos ( ) (x R，0)的最小正周期为 42x3() 求函数 f (x)的最大值；() 若 (0， )，且 f ( ) ，求 f ()的值26519 (本题满分 14 分) 在ABC 中，内角 A，B，C 满足 4 sin Asin C2 cos (AC)1() 求角 B 的大小；() 求 sin A 2 sin C 的取值范围20(本题满分 15 分) 在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，BAD60，PAPD3，PD CDE 为 AB 中点() 证明：PECD ；() 求二面角 CPE D 的正切值PACBDE(第 20 题图)数学
9、（理科）试题 第 4 页 共 10 页21(本题满分 15 分) 如图，设椭圆 (ab0)的右21xy焦点为 F(1，0)，A 为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为-1过 F 作椭圆的弦 PQ，直线 AP，AQ 分别交直线 x y20 于点2M，N() 求椭圆的方程；() 求当|MN|最小时直线 PQ 的方程22(本题满分 14 分)如图，已知曲线 C：yx 2 (0x1)，O (0，0)，Q(1 ，0)，R(1，1) 取线段 OQ 的中点 A1，过 A1 作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P1，过 P1 作 y 轴的垂线交 RQ 于 B1，记a1 为矩形 A1P1B1Q 的面积分别取
10、线段 OA1，P 1B1 的中点 A2，A 3，过 A2，A 3 分别作 x 轴的垂线交曲线 C 于 P2，P 3，过P2，P 3 分别作 y 轴的垂线交 A1P1， RB1 于 B2， B3， 记 a2 为两个矩形 A2P2B2 A1 与矩形 A3P3B3B1 的面积之和以此类推，记 an 为 2n1 个矩形面积之和，从而得数列a n，设这个数列的前 n 项和为 Sn() 求 a2 与 an；() 求 Sn，并证明 Sn 13xOP(第 21 题图)MyFQANxO(第 22 题图)A1yA3A2B1B2B3P1P2RP3Q数学（理科）试题 第 5 页 共 10 页测试卷答案及评分参考数学（
11、理科）说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分 1 分。一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分
12、50 分。1A 2B 3D 4C 5B6C 7C 8C 9B 10D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 28 分。115 1296 132 142 15( ， ) 16 1732(12+3,0), 3三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。() 因为f (x)4sin ( cos - sin )21x32x3= sin x - (1cos x)3= 2 sin ( x )又 f (x)的最小正周期为 4，令
13、4，得 212所以 f (x)2 sin ( x )，其最大值为 2 7 分13() 由于 f ( ) ，即 2 sin ( ) ，而 (0， )，可知651652cos ( ) ，24所以数学（理科）试题 第 6 页 共 10 页f ()2 sin ( )32 sin ( ) cos 2 cos ( ) sin14124 14 分7519本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。() 因为4 sin A sin C2 cos (AC)4 sin A sin C2 cos A cos C2 sin A sin C2 (cos A cos Csin A
14、sin C)，所以2 cos ( AC )1，故cos B 12又 0B，所以B 6 分3() 由() 知 C A ，故23sin A2 sin C2 sin A cos A sin (A)，7其中 0 ，且 sin ，cos 2177由 0A 知，A ，故323sin (A )114所以 sin A2 sin C( ， 14 分720本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分 15 分。() 在菱形 ABCD 中，因为 BAD60，E 为 AB 的中点，可得DECD，又因为 PDCD，所以CD平面 PDE，因此PE
15、CD 5 分()方法一： PACBDE(第 20 题图)H数学（理科）试题 第 7 页 共 10 页过 D 作 DHPE，垂足为 H，连结 CH由 CD平面 PDE，得CHPE，所以CHD 是二面角 C-PE-D 的平面角由 PECD，AB CD，可得PEAB，由 E 为 AB 中点， PA3，所以 PE2 在PDE 中，由余弦定理得 cosDPE ，故 sinDPE ，所以7214612DH 46在 Rt CHD 中，可得 tanCHD CDH23所以，二面角 CPED 的正切值为 15 分46方法二：以 D 为原点，DE，DC 所在射线分别为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Dxy
16、z可知D(0，0，0)， C(0，2，0)， E( ，0，0)，3B( ，1，0)， A ( ，1，0) ，3设 P(a，0，c)因为 PAPD3， 即229,()(9.acc解得 P( ，0 ， )23设平面 CPE 的法向量为 m(x，y，z)，由 可取0,CEPmm( ， ，2) ，2369又平面 DPE 的一个法向量为 n(0，1，0) ，于是|cos| |n165所以|tan| 423因为二面角 CPED 是锐角 ， 所以二面角 CPE D 的正切值为 4623 15 分21本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想PACBDE(第 20
17、题图)xyz数学（理科）试题 第 8 页 共 10 页方法和综合解题能力。满分 15 分。() 由题意知，c 1，ac 1，所以椭圆方程为2y 21 4 分x() 设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线 PQ：xmy10，由 2,ym消去 x，得(m22)y 22my10，所以 12,.y设点 M，N 的坐标分别为(x M，y M)，( xN，y N)因为直线 AP 的方程为 y1 x，由11,20yxx得xM 13()my同理可得xN 2(1)y所以，|MN| 12 2MNx2|7|m记 m7t，则|MN|12 ，2150()50t当 ，即 m 时， |MN|取最小值1t5017
18、所以，当|MN| 取最小值时 PQ 的方程为y7x 7 15 分22本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。数学（理科）试题 第 9 页 共 10 页() 由题意知P1( ， )，22故a1 2()8又P2( ， )， P 3( ， )，222故a2 (123 2 2) 12()22()61由题意，对任意的 k1，2，3，n，有( ， )， i 0，1，2，2 k1 1，1kiPk2(k故an 22()n23n2()n25n24()n2()n2()n 123 2 25 2 2(2 n1) 2(2 n2) 2 1(411)(421) 4(2 n 11)13n 214()nn 1n所以a2 ， an ， nN* 10 分321() 由() 知an ， nN *，12n故Sn 1()42n1()84n(1)2n1()64n213n又对任意的 nN*，有0，31n数学（理科）试题 第 10 页 共 10 页所以Sn 14 分1321n3
