1、新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载a06第 4题 图 NPOA第六讲：三角形知识梳理知识点 1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。知识点 2.三角形的分类重点：三角形分类的依据 难点：三角形分类的划分（1） 按角分类(2) 按边分类例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的 2 倍，
2、且等于它不相邻内角的 4 倍，那么这个三角形一定是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。答案 B练习：如图，已知 OA a，P 是射线 ON 上一动点（即 P 可在射来源:Zxxk.Com线 ON 上运动） ，AON60 0，填空：（1）当 OP 时，AOP 为等边三角形；（2）当 OP 时，AOP 为直角三角形；三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载（3）当 OP 满足 时，AOP
3、为锐角三角形；（4）当 OP 满足 时，AOP 为钝角三角形。答案：（1） a；（2） 或 2a；（3） OP a2；（4）0OP 2a或 OP知识点 3.三角形三条重要线段重点：掌握三角形三条重要线段的概念难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：（1）三角形的角平分 线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角
4、三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。例 1、在ABC 中，AC5，中线 AD7，则 AB 边的取值范围是（ ）A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB19解题思路：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。选 D例 2、如图
5、， ABC 中， AB=AC， BAC 和 ACB 的平分线相交于点 D， ADC=130，求 BAC 的度数解题思路：因为 AB=AC， AE 平分 BAC，所以 AE BC(三线合一) 因为 ADC=130，所以 CDE=50，所以 DCE=40，因为 CD 平分 ACB，所以 ACB=2 DCE=80，所以 B= ACB=80， BAC=180- B+ ACB=20新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载2A1第 3题 图 DCBA第 7题 图 EDCBA练习1、如图，在ABC 中，A96 0，延长 BC 到 D， ABC 与ACD 的平分线相交
6、于 1，ABC 与 1CD 的平分线相交于 2A，依此类推， 4BC 与 4CD 的平分线相交于 5，则 5的大小是多少？来源:Zxxk.Com2、如图，CE 平分ACB，且 CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD 的周长为 28 cm，则 DB 。答案 1、3 0 2、8cm知识点 4. 三角形的主要性质 重点：三角形的三边关系及外角的性质难点：三角形的主要性质的灵活运用(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边 (2)三角形的三个内角之和等于 3600 (3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和 来源:学科网ZXXK(4)三解形中，
7、等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角 (5)三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变例 1已知一个三角形中两条边的长分别是 a、 b，且 ，那么这个三角形的周长 L的取值范围是（ ）A、 bLa3 B、 aL2)(2C、 a262 D、 ba3解题思路：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载第 8题 图 21CBA小于两边之和。答案：B例 2如图，已知ABC 中，ABC45 0，ACB61 0，延长 BC 至 E，使 CEAC，延长 CB至 D，使 DBAB，求DA
8、E 的度数。解题思路：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出DE 的度数，即可求得DAE 的度数。略解：ABDB，ACCE来源:学科网D 21ABC，E 21ACBDE （ABCACB）53 0DAE180 0（DE）127 0练习 1.若ABC 的三边分别为 a、 b、 c，要使整式 0)(mcba，则整数m应为 。2.纸片ABC 中，A65 0，B75 0，将纸片的一角折叠，使点 C 落在ABC 内（如图） ，若120 0，则2 的度数为 。3.在ABC 中，ABAC，D 在 AC 上，且 BDBCAD，则A 的度数为（ ）A、30 0 B、36 0 C、45 0 D、72 0
9、答案 1. 偶数 2. 600 3.B知识点 5. 全等三角形 重点：全等三角形的判定难点：根据不同条件来判断三角形的全等1定义 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角 2性质 两全等三角形的对应边相等，对应角相等 3判定公理 例 2图 ED CBA新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载(1)判定公理 1(简称“边角边”或“SAS”) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2)判定公理 2(简称“角边角”或“ASA”) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3)
10、判定公理 3(简称“边边边”或“SSS”) 有三边对应相等的两个三角形全等 (4)判定 4(推论，简称为“角角边”或“AAS”) 来源:学科网 ZXXK有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (5)判定 5(斜边、直角边公理，简称“斜边、直角边”或“HL”) 有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形题型例析一、选择条件型例 1 如图，在 ABC 与 DEF 中，给出以下六个条件中（1） AB DE（2） BC EF（3）AC DF （4） A D（5） B E（6） C F，以其中三个作为已知条件，不能判断 ABC 与 DEF 全等的是（ ） （1） （5） （2） （1
11、） （2） （3） （4） （6） （1） （2） （3） （4）解题思路：根据全等三角形的识别方法及给出的四个答案，一一加以辨别，因为用（SAS）识别法中，两边对应相等的话，一定要夹角对应相等，所以答案（）不能判断ABC 与 DEF 全等二、补充条件型例 2 如图所示，在 ABC 和 DCB 中， AB DC，要使 ABODCO，请你补充条件_（只要填写一个你认为合适的条件）解题思路：由 AB=DC 以及图形隐含的对顶角相等： AOB= DOC 可知，要使 ABODCO，根据（AAS）识别法，直接可补充 A= D 或 ABO DCO间接可补充： AC DB评注：本题是一道结论开放性试题，由于
12、全等三角形的识别方法有（SSS） （SAS）（ASA） （AAS）和直角三角形的（HL）识别法，因此，这类题目具有答案不唯一的特点在添加条件时，要结合图形，挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件ADCBO新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载三、结论选择型例 3如图 E F90， B C AE AF，给出下列结论：12； BE CF； ACN ABM； CD DN其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上 ）解题思路：根据已知“ E F90， B C AE AF”可得 ABE ACF，因此有 EAB FAC， BE CF， AC AB，所以、正
13、确；因为 CAB BAC， B C ， AC AB，所以 ACN ABM，故也正确；根据条件，无法推出 CD DN，故不正确所以，正确的结论是、评注：将多项选择以填空题的形式出现，是近几年出现的新题型，因答案的不唯一，加大了问题的难度，我们只有对所给的选项一一排查，才能得到正确的答案四、结论探究型例 4如图，已知 CD AB， BE AC，垂足分别为 D， E， BE， CD 交于点 O，且 AO 平分 BAC，那么图中全等三角形共有 对解题思路：在 ADO 与 AEO，根据条件： CD AB， BE AC， AO 平分 BAC 及隐含的条件 AO AO（公共边） ，得到 ADO AEO（AA
14、S） ；从而得到 AD AE，故 Rt ADCRtAEB（HL） ；进一步可推得 ABO ACO（SAS） ， BDO CEO（AAS） ，因此，图中全等三角形共有 4 对 五、自编组合型例 5如图，在 ABC 和 DEF 中， D， E， C， F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加以证明 AB DE， AC DF， ABC DEF， BE CF已知：求证：证明：解题思路：题中给出的四个等量关系，以其中三个为条件，另一个作为结论，总共可组成的命题（不论真假）有： 共 4 个命题，其中真命题有 2 个， 或 ，选择其中一个，不
15、难完成题目的解答FEDCBA新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载解：如 证明： BE CF BC EF 又 AB DE， AC DF BAC DEF（SSS） ABC DEF六、运动变化型例 6 在 ABC 中， ACB=90， AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D， BE MN 于 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ADC CEB； DE=AD BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE，
16、 AD， BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明证明：（1） ACD= ACB=90， CAD+ ACD=90 ， BCE+ ACD=90， CAD= BCE， AC=BC， ADC CEB ADC CEB， CE=AD， CD=BE， DE=CE+CD=AD+BE（2） ADC= CEB= ACB=90， ACD= CBE ，又 AC=BC， ACD CBE， CE=AD， CD=BE， DE=CE CD=AD BE（3）当 MN 旋转到图 3 的位置时， AD， DE， BE 所满足的等量关系是 DE=BE AD（或AD=BE DE， BE=AD+DE 等） ADC= C
17、EB= ACB=90， ACD= CBE，又 AC=BC， ACD CBE， AD=CE， CD=BE， DE=CD CE=BE AD 评注：本题以直线 MN 绕点 C 旋转过程中与 ABC 的 不 同 的 位 置 关 系 为 背 景 设 置 的 三 个小 题 ， 第 （ 1） （ 2） 小 题 为 证 明 题 ， 第 （ 3） 小 题 为 探 索 性 问 题 ， 考查同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力，试题的设计层层递进，为发现规律、证明结论设计了可借鉴的过程，通过前 面 问 题 解 决 过 程 中 所 提供的思想方法，去解决类似相关问题，考查了同学们的后续学习的能
18、力 CBAED图 1NMA BCDEMN图 2ACBEDNM图 3新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载ABCD七、应用型例 7如图，将两根钢条 A， B的中点 O 连在一起，使 A，B可以绕着点 0 自由转动，就做成了一个测量工件，则 B的长等于内槽宽 AB，那么判定 的理由是（ ） 边角边 角边角 边边边 角角边解题思路：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一本题利用全等三角形来解决实际中的工件的测
19、量问题，其理论依据是“边角边” ，故答案为最新考题三角形是平面几何的重要知识，是历年中考的主要内容之一，主要考查三角形的性质和概念、三角形的内角和定理、三边关系定理、三角形全等的性质与判定、三角形中位线定理以及特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的性质与判定等。考题以选择为主要考查形式，也将三角形与四边形、圆等知识组成综合性题目进行考查，来源:学|科|网而三角形的运动、折叠、拼接形成新数学问题也逐渐增加。考查目标一、三角形的有关性质例 1 （2009 年济宁市）如图， ABC 中， A70， B60，点 D 在 BC 的延长线上，则 ACD 等于A. 100 B. 120 C. 130 D.
20、150解题思路： 运用三角形外角的性质，答案 C 例 2(2009 年义乌)如图，在 AB中， 90。 ，EF/AB, 150。 ,则 的度数为（ ）A 50。 B. 60。 C.3。 D. 4。 解题思路： 运用三角形内角和定理，答案 D 例 3（2009 年湖北十堰市）下列命题中，错误的是（ ） A三角形两边之和大于第三边 B三角形的外角和等于 360C三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分OBA新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载第 6题 图 FE D CBAD等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形解题思路：等边三角形不是中心对称
21、图形，答案 D 练习1、等腰三角形一腰上的中线分周长为 15 和 12 两部分，则此三角形底边之长为（ ）A、7 B、11 C、7 或 11 D、不能确定2、如图，在ABC 中，A80 0，AB C 和ACB 的外角平分线相交于点 D，那么BDC 。答案 1.C 2.500考查目标二、三角形三边关系例 1 长为 2，3，5 的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？解题思路：可以，设延伸部分为 a，则长为 a2， 3， a5的三条线段中，a5最长， 0)5()3)2( 只要 0，长为 ， ， 的三条线段可以组成三角形设长为 a5的线段所对的角为 ，则
22、 为ABC 的最大角又由 12)5()3()2( 22a当 01，即 时，ABC 为直角三角形。例 2(2009 年温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A1cm， 2cm， 35cm B4cm， 5cm， 9cmC5cm，8cm， 15cm D6cm，8cm， 9cm解题思路：三角形任意两边之和大于第三边 答案：D练习：已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A4cm B5cm C6cm D13cm答案：C考查目标三、三角形全等例 1 （2009 年浙江省绍兴市）如图， E， 分别为 ABC 的 ， 边的中点，将此三角形沿 DE折叠，使点 C落
23、在 AB边上的点 P处若 48E，则 APD等于（ 新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载CABDCBA O12 34）A 42 B 48 C 52 D 58解题思路：折叠前后的两个三角形全等， 48CDEP,CD=DP=AD,再利用三角形中位线定理，答案 B来源:学科网例 2、 （2009 陕西省太原市）如图， AB ， C=30，则 的度数为（ ）A20 B30 C35 D40解题思路： C ， 选 B例 3（2008 年苏州）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，12，34求证：（1）ABCADC；（2）BODO解题
24、思路：证明：（1）在ABC 和ADC 中234ACABCADC（2）ABCADC，ABAD又12，BODO练习。如图，ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，BDBE，要使ADBCEB，还需添加一个条件（1）给出下列四个条件： ADCE A BAC ADBCE请你从中选出一个能使 DE 的条件，并给出证明；你选出的条件是 证明：（2）在（1）中所给出的条件中，能使 ABC 的还有哪些？新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载直接在题后横线上写出满足题意的条件序号： 答案：第（1）题添加条件，中任一个即可，以添加为例说明（1）证明：AEC
25、D，BEBD，ABCB，又ABDCBE，BEBDADBCEB（2）新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载过关测试一、 选择题1 下列说法正确的是-（ ）A、 三角形的角平分线是射线。 B、三角形三条高都在三角形内。C、 三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外。D、三角形三条中线相交于一点。2、在 Rt中，两个锐角关系是-（ ）A、互余 B、互补 C、相等 D、以上都不对3、以下列长度的三条线 段为边，能构成三角形的是-（ ）A、7，8，15 B、15，20，5C、6，7，5 D、7，6，144、下列图中，是全等的图形是-（ ）来源:Z
26、xxk.Com来源:Z&xx&k.Com5在ABC 中，A=39 0，B=41 0，则C 的外角度数为-（ ）A 80 度 B 100 度 C 90 度 D 70 度6、如图所示，若ABCDEF，BC=FE，AB=ED，则图中B 的对应角是（ ）来源:Z.xx.k.ComA、C B、FC、E D、D7如图，ABC 的两条高线 AD，BE 交于点 F，BAD=45 0，C=60 0，则BFD 的度数为（ ）A 60 度 B 65 度 C 75 度 D 80 度 FDCBABAC DE新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载8在ABC 中，AD 为 BC
27、边的中线，若ABD 与ADC的周长差为 3，AB=8，则 AC 的长为-（ ）A 5 B 7 C 9 D 1 19如图， ABC 的内角平分线交于点 O，若BOC=130 0，则A 的度数为-（ ）A 100 度 B 90 度 C 80 度 D 70 度10. 我们知道三角形的内角和为 180, 而四边形可以分成两个三角形 , 故它的内角和为218036, 五边形则可以分成 3 个三角形,它的内角和为 318054(如图),依次类推, 则八边形的内角和为( )1 个三角形 2 个三角形 3 个三角形A. 90 B. 108 C. 1260 D. 14011根据下列已知条件，能惟一画出三角形 A
28、BC 的是（ ）A.AB3，BC4，AC8； B.AB4，BC3，A30；C.A60，B45，AB4； D.C90，AB612.在ABC 和ABC中, AB=AB, B=B, 补充条件后仍不一定能保证ABCABC , 则补充的这个条件是( ) ABC=BC BA=A CAC=AC DC=C二、填空题1三角形 ABC 中，A 是B 的 2 倍，C 比AB 还大 12 度，则这个三角形是三角形2以三条线段 3、4、x5 为这组成三角形，则 x 的取值为3.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数_来源:学科网 ZXXK4. 如图已知：ABCDBE，A=50，E=30则ADB= 度，DBC= 度
29、新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载第 3题 图 EDCBA5. 如图已知：AD 是ABC 的对称轴，如果DAC=30，DC=4cm，那么ABC 的周长为 cm。 6. 如图已知：ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，垂足为 D，如果A=40，那么BEC= ；如果 BEC 的周长为 20cm，那么底边 BC= 。 三、解答题1.如图，已知MON 的边 OM 上有两点 A、B，边 ON 上有两点 C、D，且 ABCD，P 为MON的平分线上一点。问：（1）ABP 与PCD 是否全等？请说明理由。（2）ABP 与PCD 的
30、面积是否相等？请说明理由。解 答 题 第 4题 图 DP NMO CBA2、如图，在锐角ABC 中，ABC2C，ABC 的平分线与 AD 垂直，垂足为 D，求证：AC2BD。3. 如图已知：RtABC 中，C=90，DEAB 于 D，BC=1，AC=AD=1。求：DE、BE 的长。 新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载4. 如图已知： ABC 中，BC=2AB，D、E 分别是 BC、BD 的中点。求证：AC=2AE 5. 如图已知： ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的外角平分线交于 D，DEBC 交 AB 于E，交 AC 于 F。求证：BE=
31、EF+CF 6. 若 ABC 的三边长分别为 m2-n2，m 2+n2，2mn。 （mn0）求证：ABC 是直角三角形来源:学科网 ZXXK新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载参考答案一.1.D 2.A .3.C 4. C 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C二.1. 钝角 2. 6x12 3. 45或 1354. 50，20 5. 24 6.30，8cm 三、1. （1）不一定全等，因ABP 与PCD 中，只有 ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。 （2）面积相等，因为 OP 为MON 平分
32、线上一点，故 P 到边AB、CD 上的距离相等，即ABP 中 AB 边上的高与PCD 中 CD 边上的高相等，又根据ABCD（即底边也相等）从而ABP 与PCD 的面积相等。2. 提示：延长 AD 交 BC 于点 M。3.解： BC=AC=1 C=90，则：B=45 AB2=BC2+AC2=2，AB= 又 DEAB，B=45 DE=DB=AB-AD= 21 BE= DE= （ ）= 24.证明：延长 AE 到 F，使 AE=EF，连结 DF，在ABE 和FDE 中，BE=DE，AEB=FED AE=EF ABE FDE （SAS） B=FDE， DF=AB D 为 BC 中点，且 BC=2AB
33、 DF=AB= BC=DC 而：BD= BC=AB， BAD=BDA ADC=BAC+B， ADF=BDA+FDE 新课标第一网（ ）-中小学教学资源共享平台新课标第一网- 免费课件、教案、试题下载ADC=ADF DF=DC （已证） ADF ACD （SAS） ADF=ADC （已证） AD=AD （公共边） AF=AC AC=2AE 5 ：证明： DEBC DB 平分ABC，CD 平分ACM EBD=DBC=BDE， ACD=DCM=FDC BE=DE，CF=DF 而：BE=EF+DF BE=EF+CF 6：证明：（m 2-n2）+（2mn） 2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4 =（m 2+n2） ABC 是直角三角形
