1、99 課綱 高中數學(二下)1E2E1RQLP第 1 章：空間向量 重點公式練習卷(1-1 空間概念)概念 1： 1. (1)空間中 通過相異兩點恰有一條直線(2)空間中 通過不共線三點恰有一個平面2. 空間中決定一平面的條件因為通過不共線三點恰有一個平面所以決定一平面的條件有以下 4種(1)不共線三點 (2) 一直線與線外一點(3)交於一點的兩相異直線(4) 兩平行直線範例 1： 選出正確的選項(1)空間中兩平行直線必落在同一個平面上(2)空間中若三直線兩兩互相平行則此三直線必落在同一平面上(3)空間中兩相交直線必落在同一個平面上(4) 空間中 若三直線兩兩恰相交於一點則此三直線必然落在同一
2、平面上答：134概念 2：歪斜線當空間中兩相異直線 與 既不相交也不平行時1L2稱此二直線 為歪斜線12, 範例 2：左圖中 ABCD-EFGH 是一個長方體關於此長方體選出正確的選項(1)直線 AB 與直線 平行 EF(2)直線 DH 與直線 平行B(3)直線 FG 與直線 AB 歪斜(4)直線 FH 與直線 BD 歪斜(5)直線 AG 與直線 BH 歪斜答：123公式 3：二面角右 圖 是 一 個 二 面 角 在 平 面 與 的 交 線 L 上12任 取 一點 P並由 P 點分別在 與 上作兩條和L 垂直的射線 PQPR我們定義 的大小 （P）為此二面角的大小018範例 3：已知正四面體的
3、邊長為 2任兩面所夾的二面角為 求 (1)正四面體的高(2) 的cos值答：(1) (2)3621概念 4：三垂線定理設直線 垂直平面 E 於 點且 是平面ABBL上一條直線若直線 垂直 L 於 點 則直線 也垂直CACL 於 點範例 4：設直線 垂直平面 E 於 點, 且 是平ABBL面 上一條直線 是 上一點如右圖所示DL若直線 垂直 L 於 點 , C且 則 的長度6365CAD為何？答：13AEBCGHDFL2L1L3ABCDLE563 BECABDHCM99 課綱 高中數學(二下)2第 1 章：空間向量 重點公式練習卷(1-2 空間向量的座標表示法)概念 1：1. 第一卦限：由三軸的
4、正向所決定的卦限。2. 點坐標：若 ABC 三點在 x 軸y 軸z 軸上的坐標分別為 abc則我們定義 P 點的坐標為 ,abc範例 1：空間中A 點為 為 A 點在3,45P平面上的投影點求 點到 軸的距離？xyz答：5公式 2：坐標表示法1. 表示法終點座標 “ 起點座標。即、 ，則),(1zyxA),(2zyxB112z2. 若 ，則cbazyx,1221212()zABcba= 分 量 平 方 和3. 向量的加法：設 ，),(),(21zyxbzyx則 ,(2121x 範例 2：已知向量 2,1a,34b求 及其長度1,7c3c答：(3, 4, -12), 13公式 3：分點公式設點
5、P 為 上一點，且 ： m： n， 則ABAPB 。OP nmOA OB重心公式 ABC 中， 、 、),(1zyxA),(2zyxB，則 ABC 的重心坐標),(3zyxCG（ , ， ） 。21 321y 321z範例 3：設 為空間中兩點2,31A,74B為直線 上一點且 求 點坐P:2:3PP標 答：(0, 1, 1), (-12, -23,-11)aAQBbcCOP(a,c)x yz yA(3,4,5)P(3,4,0)Oxz99 課綱 高中數學(二下)3第 3 章：空間向量 重點公式練習卷(1-3 空間向量的內積 )公式 1：向量的內積1. 兩向量為 、 夾角1,zyxa2,zyxb
6、為 ， 。cos221ab2. 夾角 的餘弦值為 221211cos zyxzyxba範例 1：設 ， ，求2,34a5,129b？b答：-10公式 2：向量的平行與垂直兩向量 、 ，1,z2,zb(1) 若 (定值) tyxba212/(2) 若 。0211zyx範例 2：已知 與 垂3,2a,23bt直求實數 的值t答：-2公式 3：柯西不等式1. ，當 時，等號成立22)(ba/2. 1,xyz2,xyz2221 121yz等號成立於 tzyx2121 範例 3：設實數 xyz 滿足 求23yz的最小值並求此時 xy 與 z 的值224xy答：3, 1,1公式 4：正射影兩向量為 、 夾
7、1,zyxa2,zyxb角為 ， 在 上的b(1)正射影長 cosa(2)正射影（是一個2abc向量）範例 4：已知 求 在a2,10b2,36a上的正射影及正射影的長b答: )76,32(aacbc99 課綱 高中數學(二下)499 課綱 高中數學(二下)5第 1 章：空間向量 重點公式練習卷(1-4-1 外積、體積與行列式)公式 1：外積設 、 與 的32,a321,ba外積定義為向量 b2312記憶法範例 1：已知向量 ， 求1,2a1,3b與 ab答：(3,-4,-5), (-3,4,5)公式 2：外積性質(1) bab(2)外積 和 與 都垂直即且 ab(3) 等於由 與 所張出之平
8、行四邊形abab的面積即 sin(4) 的面積為 ABC12ABC範例 2：承上題，求由 與 所張出之平行四ab邊形的面積答： 5公式 3：平行六面體的體積空間中由不共平面的三向量 所張出abc之平行六面體的體積 為 V 當 時表示三向量 0abcab共平面c 四面體的體積= 六面體的體積61範例 3：求由三向量 4,1a,2b所張出之平行六面體的體積,1c答：14a213a213b213b213,a23b23a31b31a21b21abababcbaABC99 課綱 高中數學(二下)6第 1 章：空間向量 重點公式練習卷(1-4-2 外積、體積與行列式) 公式 4：三階行列式123abc12
9、31313212321abcabcc記憶法 範例 4：求下列三階行列式的值(1) (2) 2312130答：(1)-9 (2)-3公式 5：三階行列式的降階法123232323111abaabaccbc記憶法例：（依第一行降階）123562344789567（依第二列降階）1278範例 5：已知實數 滿足 求 的x315027x值答：5, 3, -8公式 6：三階行列式的應用1. 三角形的面積：若 12,Aa12,Bb為平面上不共線的三點則12,Cc的面積 AB 12|c2. 平行六面體的體積：空間中由三個向量 與123,a123,b所張出之平行六面體的體積c為 V123|ac 範例 6：已知
10、 為平面上2,41,35,ABCk三點且 的面積為 3求 的值C答：19,3199 課綱 高中數學(二下)799 課綱 高中數學(二下)8第 2 章：空間中的平面與直線 重點公式練習卷(2-1 空間中的平面)概念 1：法向量當非零向量 所在的直線與平面 E 垂直時我們n稱 為平面 E 的一個法向量。(1)平面 E 的法向量並不唯一 且這些法向量都互相平行(2)平面 E 的法向量與 E 上的所有向量皆垂直 範例 1：求通過點 A 且和平面2,01平行之平面 的方程式:4Exyz2E答：4x-y+2z=6公式 2：平面方程式1. 點法式：通過點 且以非零向量A0,xyz= 為法向量之平面 的方程式
11、為n,abcE:000xycz2. 截距式：當我們知道平面 與三坐標軸的交點為 其中,Aa,Bb,C時 的方程式為 bcE1xyzac範例 2：已知平面 通過 E12,0A,3B三點而且 也是 上的一0,C,DkE點求 的值k答：-1公式 3：兩平面的夾角設平面 的法向量分別為 若兩法121n2向量 與 的夾角為 則平面 與 的夾角nE為 與 而且 80cos12n範例 3：求兩平面 和1:E23610xyz2:E的夾角625xyz答： 90公式 4：點到平面的距離點 P 到平面 的距離為0,xyz:Eaxbyczdd(P , E)= 022| |abczd兩平行平面的距離兩平行平面 和11:
12、xyz的距離為 22:Eaxbyczd2dabc角平分面方程式兩平行平面 E1：a 1xb 1yc 1z+d10 與E2：a 2xb 2yc 2 z+d20 0夾角的平分面方程式為 。2121cdz 22cbadz 範例 4：已知點 到平面 的1,47xyzd距離為 2求 的值 d答：-11, 25Enn12L1L2E1E218099 課綱 高中數學(二下)9第 2 章：空間中的平面與直線 重點公式練習卷(2-2 空間中的直線)概念 1：方向向量在空間中 當非零向量 與直線 平行時我們稱vL為 直線 的 一 個 方 向 向 量 。vL方向向量並不唯一且這些方向向量都互相平行範例 1：設通過 兩
13、點的直線為2,13A,0B，求 L 之方向向量。答：(1,2,3)公式 2：直 線 表 示 法若通過點 A 且以非零向量 =0,xyzv為方向向量，則直線 的,abcL(1)參數式為 （t 為實數）0:aLybzc(實數 稱為 參數)t(2)對稱比例式 為 000:xyzabc（其中 ）abc範例 2：已知通過 與 兩點之直2,03A1,B線的對稱比例式為 求40zbyaxab 的值0xy答：-4, 8, 1, 4公式 3：直 線 表 示 法(3)若 兩 平 面 111:Exyczd相 交 於 直 線 222:zL則 的 二 面 式 為 L2abz範例 3：求直線 的一個方向向350:272xyzL量答：(2, 1, 1)概念 4：直線與平面的關係 LELEPLE(a)L 與 E 平行 (b)L 與 E 恰交於一點 P (c)L 落在 E 上範例 4：求直線 與平面21:3xyzL的交點坐標:26xyz答：(1, 7, 9)概念 5：直線與直線的關係方向向量平行v1v2L12 v12L12平行 重合方向向量不平行 L1L2v1v2 L1L2v1v2交於一點 歪斜範例 5：已知直線 與1:2xyzL重合求 002:4xyzabab0y的值0z答：-2, 2, 1, 4vL99 課綱 高中數學(二下)10
