1、1一元二次方程的解法1对于形如 的一元二次方程，能直接开平方的条件是 _。px22对于形如 的一元二次方程，也可以用 _求解。0nm3用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根 的定义，达到降次转化之目的。1形如 的方程的解是 x=_。)(2px当 p=0 时， _。212形如 的方程的解为 x=_。0n4形如 的方程可先化成_的形式，再用直接开平方2max法解。【基础过关】1下列方程中，适合用直接开平方法解的个数有 （ ） ； ； ； ；32x523412x32x ； ； 。.0yA、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2方程 的根是_ 。062x3方程 的根是_。94方程 的根是
2、_。12t5用直接开平方法解下列方程：（1） （2） 0362x0941322x（3）4x2+16x+16=92【配方法】用配方法解方程的步骤：1、移项；2、二次项系数化为 1；3、两边加上一次项系数一半的平方； 4、直接开平方求解。1用适当的数填空：、x2+6x+ =（x+ ）2； 、x25x+ =（x ）2；、x2+ x+ =（x+ ）2； 、x29x+ =（x ）22将二次三项式 2x2-3x-5 进行配方，其结果为_3已知 4x2-ax+1 可变为（ 2x-b）2 的形式， 则 ab=_4将一元二次方程 x2-2x-4=0 用配方法化成（x+a） 2=b 的形式为 5若 x2+6x+m
3、2 是一个完全平方式，则 m 的值是（ ）A3 B-3 C3 D以上都不对6用配方法将二次三项式 a2-4a+5 变形， 结果是（ ）A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-111.用配方法求解下列问题（1）求 2x2-7x+2 的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1 的最大值。【因式分解法】1、因式分解法：若一元二次方程的一边是 0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x290， 这个方程可变形为(x3)( x3)0，要(x 3)(x 3)等于 0，必须并且只需(x3)等于 0 或( x3)等于 0，因此，解方程 (x3)(x 3)0 就相当于解方
4、程 x30 或 x30 了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法2、因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程其理论根据是：若 AB0 A0 或 B0 例 1：用因式分解法解下列方程：3(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1) ； (3)(2x1)(x1)1例 2：用适当方法解下列方程：(1) (1x) 2 ； (2)x26x190； (3)3x24x1；37(4)y2152y； (5)5x(x3)(x3)(x 1) 0； (6)4(3x1) 225(x2) 2例 3:解关于 x 的方程：( a2b 2)x24abxa 2b
5、 2例 4:已知 x2xy 2y 20，且 x0，y0，求代数式 的值225yx5解关于 x 的方程：(1)x24ax3a 212a； (2)x25x k 22kx 5k 6；(3)x22mx8m 20； (4)x2(2 m1)xm 2m0 (5)(x5) 22(x5)808已知 x23x5 的值为 9，试求 3x29x2 的值10一跳水运动员从 10 米高台上跳水，他跳下的高度 h(单位：米)与所用的时间 t(单位：秒)的关系式 h5(t2)(t1)求运 动员起跳到入水所用的时间411为解方程( x21) 25(x 21)40，我 们可以将 x21 视为一个整体，然后设x21y， 则 y2(
6、x 21) 2，原方程化 为 y25y40，解此方程，得 y11，y 24当 y1 时，x 211， x22， x 当 y4 时，x 214， x25， x 5原方程的解为 x1 ，x2 ，x3 ，x4 5以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想(1)运用上述方法解方程：x 43x 240(2)既然可以将 x21 看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗?问题：已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根 x1= ，x2=24bac24bac分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一
7、直推下去解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为 1，得 x2+ x=-bac配方，得：x 2+ x+（ ）2=- +（ ）2ba即（x+ ）2= 24cb2-4ac0 且 4a20 024ac直接开平方，得：x+ =2ba24c即 x= 4bc5x1= ，x2=24bac24bac由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时， 将a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根24bac一元二次方程的解法例析【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都
8、是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再 对它进行整理，如能整理为 的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“ 降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平
9、方法；2、配方法；3、公式法； 4、因式分解法。如下表：方法 适合方程类型 注意事项直接开平方法 0 时有解， 0 时无解。配方法 二次项系数若不为 1，必须先把系数化为 1，再 进行6配方。公式法 0 时，方程有解； 0 时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法 方程的一边为 0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是 0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例 1：已知 ，解关于 的方程 。分析：注意满足 的 的值将使原方程成为哪一类方程。解：由 得： 或 ，当 时，原方程为 ，即 ，解得 .当 时，原方程为 ，即 ，解得 ， .说明：由本题可见，只有 项系数不为 0，
10、且为最高次 项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为 0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如 的方程叫作关于 的一元二次方程。若本题不给出条件 ，就必 须在整理后对 项的字母系数分情况进行讨论。例 2 ：用开平方法解下面的一元二次方程。（1） ； （2）7（3） ； （4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为 。通过观察不难发现第（1）、 （2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式 ，右边的 1210，所以此方程
11、也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。 解：（1） （注意不要丢解） 由 得 ，由 得 ，原方程的解为： ，（2）由 得 ，由 得原方程的解为： ，（3） ，8 ，原方程的解为： ，（4） ，即 ， ，原方程的解为： ，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例 3 ：用配方法解下列一元二次方程。（1） ；（2）分析：用配方法解方程 ，应先将常数 移到方程右
12、边，再将二次 项系数化为 1，变为 的形式。第（1）题可变为 ，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即： ，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于 0 的常数，即：，9接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二次项系数化为 1，移常数项得： ，配方得： ，即直接开平方得： ，原方程的解为： ，（2）二次项系数化为 1，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得： 即直接开平方得： ，原方程的解为： ，说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：
13、先把二次项系数化为 1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。10例 4：用公式法解下列方程。（1） ；（2）分析：用公式法就是指利用求根公式 ，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 的 值，当 0 时，把各项系数 的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当 0 时 ，方程无解。第（ 1）小题应 先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为 ，求出判 别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。 解：（1） ，化为一
14、般式：求出判别式的值： 0代入求根公式： ， ，（2）化为一般式：求出判别式的值： 0 ，11说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例 5：用分解因式法解下列方程。（1） ；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式
15、。解：（1）左边分解成两个因式的积得：于是可得： ， ，（2）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得： ， ，说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为 0，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为 0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，12转化的方法主要为开平方法和使方程一边为 0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先 观察方程是否可以应用开平方、分解因式等 简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。 例 6
16、：选用恰当的方法解下列方程。（1） ； （2）（3） ； （4）分析：第（1）题可变形为 ，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解：（1）整理得：直接开平方得： ，（2）分解因式得： ，（3）整理得：求出判别式的值： 013 ， ，（4）配方得：直接开平方得： ，总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式
17、的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知 识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同 时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法 时，即考 虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化 为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。 【附训练典题】 1、用直接开平方法解下列方程：（1） ； （2） ； （3） ； （4） .2、用配方法解下列方程：（1） ； （2） ；（3） ； （4） .3、用公式法解下列方程：（1） ； （2） ；14（3） ； （4） .4、用因式分解法解下列方程：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 5、选用适当的方法解下列方程：（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） ； （8）
