1、- 1 -第十六期：一元二次方程张春秀一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在 69 分左右。知识点 1：一元二次方程及其解法例 1：方程 0232x的解是（ ）A x， B 1x， 2C 1， 2 D ， 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x1）(x 2)=0, 所以 x1=0 或 x=0，解得 x =，x =故此题选例 2：若 20x，则23()1x的值等于（ ）A
2、3B 3C D 或 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知 x2x=2,所以原式= 3212，选 A.练习：1.关于 x 的一元二次方程 2x 23xa 2+1=0 的一个根为 2，则 a 的值是（ ）A1 B 3 C 3 D 32.如果 是一元二次方程 20xb的一个根，求它的另一根3.用配方法解一元二次方程：x 2x2=0答案：1.D.2.解： 1是 230xb的一个根，2()解方程得 2b- 2 -原方程为 230x分解因式，得 (1)1x， 2.3.移项，得 x 2x=2配方 x 22x+1 2=2+1 ，（x1） =3.由此可得 x1= 3，x 1=1+ ，x 2=1 .最新考题1
3、.（2009 威海）若关于 的一元二次方程 2(3)0xk的一个根是 2，则另一个根是_2.（2009 年山西省）请你写出一个有一根为 1 的一元二次方程： 3.（2009 山西省太原市）用配方法解方程 250x时，原方程应变形为（ ）A 216x B 216C 29xD 29x答案：1.1； 2.答案不唯一，如 2x 3. B知识点 2：一元二次方程的根与系数的关系例 1：如果 21,x是方程 012的两个根，那么 21x的值为：（A）1 （B）2 （C） （D） 21思路点拨：本题考查一元二次方程 2cbxa的根与系数关系即韦达定理，两根之和是 ab， 两根之积是 c，易求出两根之和是 2
4、。答案：B例 2：设一元二次方程 2730x的两个实数根分别为 1x和 2，则 1x ，x 1、 x2 - 3 -思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，x 1、 x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根，则 x1、 +x2= ab，x 1、 x2= c.要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论，即=b 24ac0.答案：7，3练习：1.已知关于 x的一元二次方程 22(1)0xmx有两个实数根 1x和 2（1）求实数 m的取值范围；（2）当 210时，求 的值（友情提示：若 x， 2是一元二次方程 20()axbca两根，则有12bxa， 1c）2.当 m为何值时，关
5、于 x的一元二次方程 02142mx有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？答案：1.解：（1）由题意有 2(1) ，解得 4 即实数 的取值范围是 4 （2）由 210x得 1212()0xx若 2，即 m，解得 4， 不合题意，舍去若 120x，即 12x 0，由（1）知 14m故当 时， 4m2.解：由题意，=(4) 24(m )=0即 164m+2=0 ，m= 9当 m= 29时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=2最新考题1.（2009 年兰州）阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c0(a0) 的 两 根 为 x1， x2， 则- 4 -两 根 与 方 程 系 数 之 间
6、有如下关系： x1+x2 ba， x1x2 c.根 据 该 材 料 填 空 ： 已 知x1、 x2 是 方 程 x2+6x+30 的两实数根，则 1+ 2的值为 2.（2009 年崇左）一元二次方程 230xm的一个根为 1，则另一个根为 答案：1. 10 2. 3知识点 3：一元二次方程的应用例 1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 55 元降到了 35 元设平均每次降价的百分率为 x，则下列方程中正确的是（ ）A55 (1+x) 2=35 B35(1+ x)2=55C55 (1x) 2=35 D35(1x) 2=55思路点拨： 列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经
7、常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程，其步骤如下：1、弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的数量关系，必要时可用图表辅助分析；2、用字母表示问题中的一个未知数；3、将题设条件中的语句都“翻译”成含有“ 字母”的代数式；4、寻找等量关系，列出方程.因为增长率问题是“加” ；下降率问题是“ 减”，所以本题正确的是 55 (1x) 2=35.所以本题选 C.练习：1.某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是( )A、 256)x1(289 B、 289)x1( C、 D、2.乌鲁木
8、齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校2005 年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是 5786 万元，2007 年校舍改造的投入资金是 8058.9 万元，- 5 -若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为 x，则根据题意可列方程为 答案：1. A 2. 25786(1)058.9x最新考题：1.（2009 山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200 元降到了 2500 元设平均每月降价的百分率为 x，根据题意列出的方程是 2.（2009 年包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正
9、方形面积之和的最小值是 cm23(2009 年本溪)由于甲型 H1N1 流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降由原来每斤 16 元下调到每斤 9 元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 x，则根据题意可列方程为 答案： 1.2002150；2. 2或 1.5；3. 26()9x过关检测一、选择题1一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A3，5 B3，5 C3，0 D5，02下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A3（x+1 ） 2=2（x+1） B 21x2=0Cax 2+bx+c=0 Dx 2+2x=x213下列
10、方程中，两根是2 和3 的方程是（ ） Ax 25x+6=0 Bx 25x6=0 Cx 2+5x6=0 Dx 2+5x+6=04若分式 96的值为零，则 x 的值为（ ） A3 B3 或3 C0 D35若 a+b+c=0，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0）有一根是（ ） A1 B1 C0 D无法判断- 6 -6方程 2x（x1）=x1 的解是（ ） Ax 1= 2，x 2=1 Bx 1= 2，x 2=1 Cx 1= 2，x 2=1 Dx 1= ，x 2=17一元二次方程 x2x+2=0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D无法确
11、定8某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件 100 元降至 81 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为 x，可列方程（ ） A100（1x） 2=81 B81（1+x） 2=100C100（1+x）=812 D2100（1x）=89已知一个三角形的两边长是方程 x28x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（ ） Ay0x 1=_，x 2=_满足要求的矩形 B 存在（2）如果已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b， 请你仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形 B已知关于 x 的方程 4x28nx3n=2 和 x2（n+3）x2n 2+2=0，问是否存在这样的
12、n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?若存在，求出这样的 n 值；若不存在，请说明理由- 11 -答案一、1B 2A 3A 4D 5A 6A 7C 8A 9C 10C二、1x 2+4x6=0 2x 2x=0 3x= 1 4 （ 32） 2 52 61 5 7 （x40）500 10（x50）=800（050010（x50）4010000） 8x（30+2x）2+25x2= 143025 95102x=3 10 4三、1 （1） （x5） （x52）=0 x1=5，x 2=7 （2） （x5） （x+1）=0 x1=5，x 2=1a 2+2a+ 1b=a2+a+a
13、+ =1+ 1ab=1+ 0=1四、1设平均增长率为 x，则 1+（1+x）+ （1+x） 2=5，1+1+x+1+2x+x2=5，x 2+3x2=0 ，x= 3756%2某县城：设提高幅度为 x，则 1400（1+x） 2=1694，解得：x=10%，某城市：设提高幅度为 y，则 2400（1+y） 2=3000，解得：y=11.8%，某城市提高幅度度大2006 年，某县城 1863.4（元/m 2） ，某城市：3354（元/m 2）3都能 （1）设小路宽为 x，则 18x+16xx 2= 31815，- 12 -x234x+180=0，b 24ac= （ 34） 24180=436 ，x=
14、 3462，x6.6，（2）设扇形半径为 r，则 3.14r2= 31815，r 257.32，r7.64 （1）平均速度= 30=15（m/s） ，所用时间 3015=2（s） （2） =15（m/s ） （3）设所用时间为 x， 平均速度 ()2x=30 2x （30 15x）x=20，整理，得：3x 212x+8=0，x= 14360.85（s）x 1=22()ab=（a+b）+ 2ab，x 2=a+b 2ab，满足要求的矩形 B 存在五、存在设两方程为、， 1=（8n+3） 2+230，则 n 为任意实数， 第一个方程都有实根设第一个方程的两根为 、，则 +=2n，= 34n，（） 2=4n2+3n+2由第二个方程得：x（ 2n+2）x+ （n1）=0，解得：x 1=2n+2，x 2=1n- 13 -若 x1 为整数，则 4n2+3n+2=2n+2，故 n1=0，n 2= 4，当 n=0 时，x 1=2 是整数；当 n= 4时，x 1=+ 3（舍） ，若 x 为整数，则 4n2+3n+2=1n，故 n3=n3= 2，当 n1= 时，x 2= 3（舍） ，综上可知，当 n=0 时， 第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根
