1、离散数学课外习题集编者：金鹏时间：2008-5-6目录：第一章一、选择题1. 由 n 个命题变元组成不等值的命题公式的个数为（）A.2n B.2n C.n2 D.2n2. 设 P：我将去镇上，Q：我有时间。命题“我将去镇上，仅当我有时间时”符号化为（）A.PQ B.QP C.P Q D.QP3. 下列各组公式中，哪组是互为对偶的？（）A.P,P B.P, P C.A,(A*)* D.A,A（其中 P 为单独的命题变元，A 为含有联结词的命题变元）4. 设 P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能即划船又跑步”符号化为（）A. pQ B. PQ C. (PQ) D.PQ5. 下面哪一个命题是命
2、题“2 是偶数或-3 是负数”的否定？（）A. 2 是偶数或-3 不是负数 C. 2 是奇数或-3 不是负数C2 不是偶数且-3 不是负数 D. 2 是奇数且-3 不是负数6. 设 P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事。命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（）A.PQ B.PQ C.PQ D. (PQ)7. 下列语句中哪个是真命题？（）A.我正在说谎。 B.严禁吸烟。C.如果 1+2=3，那么雪是黑的。 D.如果 1+2=5，那么雪是黑的。8. 下面哪个联结词运算不可交换？（）A. B. C. D.9. 命题公式(P (PQ) Q 是（） 。A.矛盾式 B.蕴含式 C.重言式 D.等值
3、式10. 下面哪个命题公式是重言式？（）A.(PQ)(Q P) B.(PQ)PC.(PQ)(PQ) D.(PQ)11. 下列哪一组命题公式是等值的？（）A. PQ,PQ B.A(BA),A(AB)C.Q(PQ),Q (PQ) D.A (AB),B12. PQ 的逆反式是（）A.QP B. P Q C. QP D. QP13. PQ 的逆反式是（）A.QP B. P Q C. QP D.P Q 14. 下列命题联结词集合中，哪一个是最小联结词组？（）A., B., C. D.,15. 下列联结词集合中，哪一个不是最小联结词组？（）A., B., C., D.16. 已知 A 是 B 的充分条件，
4、B 是 C 的必要条件，D 是 B 的必要条件，则 A 是 D 的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.A、B 、C 都不对17. P Q 的反换式是（）A.QP B.PQ C.QP D.PQ18. 下面哪一个命题公式是重言式？（）A.P(QR) B.(PR)(PQ)C.(PQ) (QR) D.(P(QR) (PQ) (PR)19. 下列哪个命题公式不是重言式？（）A.Q(PQ) B.(PQ)PC.(PQ) (PQ) D.(PQ)(PQ)20. 重言式的否定式是（）A.重言式 B.矛盾式 C.可满足式 D.蕴含式21. 下面哪一个命题是假命题？（）A.如果 2 是偶数，那么一个公式
5、的析取范式惟一B.如果 2 是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果 2 是奇数，那么一个公式的析取范式惟一D.如果 2 是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一22. 下面哪一组命题公式不是等值的？（）A.(AB),AB B.(AB),(AB)(AB)C.A(BC),A(BC) D. A(BC),(AB)C23. 命题公式 PQR 的对偶式为（）A.P(QR) B. P (QR)C.P (QR) D.P (QR)24. 命题公式 P(QR)是（）A.重言式 B.可满足式 C.矛盾式 D.等值式25. PQ（）A.P (PQ) B.(PQ) (QP)C.(PQ)(QP) D.(PQ)(QP)2
6、6. 命题公式 (PQ)R 的主析取范式中含极小项的个数为（）A.8 B.3 C.5 D.027. 命题公式 (PQ)R 的主析取范式中含极大项的个数为（）A.0 B.3 C.5 D.828. 命题公式 (PQ)R 的成真赋值为（）A.000,001,110 B.001,011,101,110,111C.全体赋值 D.无29. 如果 AB 成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立？（）A.BA B.AB C.BA D.AB二、填空题1. 下列句子中，是命题的有 (1).我是教师。(2).禁止吸烟！(3).蚊子是鸟类动物。(4).上课去！(5).月亮比地球大。2. 设 P：我生病，Q：我去学校(1).
7、命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为 。(2).命题“只有在生病的时候，我才不去学校”符号化为 。(3).命题“如果我生病，那么我不去学校”符号化为 。3. 设 P：我有钱，Q：我去看电影。(1).命题“如果我有钱，那么我就去看电影”符号化为 。(2).命题“虽然我有钱，但我不去看电影”符号化为 。(3).命题“当且仅当我有钱时，我才去看电影”符号化为 。4. 对于下列各式，是永真式的有 。(1).(P(PQ)Q(2).P(PQ)(3).Q(PQ)(4).(P(PQ)Q(5).(PQ) Q5. (P(PQ) R 。6. P(PQ) 。7. 对于下列各式(1).(PQ)(PQ)可化简为 。(2
8、).Q(P(PQ) 可化简为 。(3).(PQ)(QP)P 可化简为 。8. 命题公式 P(QR)的成真赋值为 ，成假赋值为 。9. 若 且 则称 X 是公式 A 的子公式。10. 写出表中各列所定义的命题联结词。P Q P Q P Q1 1 1 01 0 0 10 1 0 10 0 0 111. 由 n 个命题变元可组成 个不等值的命题公式。12. 用两种形式写出 PQ 的对偶式 ， 。13. 两个重言式的析取是 ，一个重言式与一个矛盾式的析取是 。14. A、B 为两个命题公式，AB 当且仅当 ，AB 当且仅当 。15. 设 P、Q 为两个命题公式，德摩根律可表示为 ，吸收率可表示为 。1
9、6. 设命题公式 A 中仅含有联结词 ，若 得到公式 A*，则 A*称为A 的对偶式。17. 公式(PQ) R 的只含联结词 ， 的等值式为 ，它的对偶式为 。18. 命题公式 A(PQR)0，则其对偶式 A* 。19. 在命题演算中，一个蕴含式与它的 式是等值的，它的 式与它的 是不等值的。20. 公式 PQ 的反换式为 ，逆反式为 。21. 任意两个不同极小项的合取为 式，全体极小项的析取式必为 。22. 命题公式 (PQ)的主析取范式为 ，主合取范式的编码表示为 。23. 已知公式 A(P,Q,R)的主合取范式为 M0M3M5，它的主析取范式为（写成编码形式） 。24. 命题公式 (PQ
10、)的主析取范式为 ，其编码表示为 ，主合取范式的编码表示为 。25. 对于前提：SQ， SR， R, PQ，其有效结论为 。26. 对于前提：(PQ) R，RS, S，其有效结论为 。三、判断题1. “王兰和王英是姐妹”是复合命题，因为该命题中出现了联结词“和” 。 （）2. 凡陈述句都是命题。 （）3. 语句 3x+5y=0 是一个命题。 （）4. 命题“两个角相等当且仅当它们是对顶角“的值为 1。 （）5. 语句“x+y=4”是个命题。 （）6. 命题“十减四等于五”是一个原子命题。 （）7. 命题“如果 1+2=3，那么雪是黑的”是真命题。 （）8. (P(QR)是一个命题演算的命题公式
11、，其中 P、Q 、R 是命题变元。 （）9. (P(QRQ)是一个命题公式，其中 P、Q 、R 是命题变元。 （）10. 若 A：张明和李红都是三好学生，则 A：张明和李红都不是三好学生。 （）11. 若 A：张明和李红都是运动员，则 A：张明和李红不都是运动员。 （）12. 若 P：每一个自然数都是偶数，则 P：每一个自然数都不是偶数。 （）13. 若 P：每个自然数都是偶数，则 P：每个自然数不都是偶数。 （）14. 如果 AB，则 ACBC，AC BC。 （）15. 如果 ACBC，则 AB。 （）16. 联结词“”是可结合的。 （）17. 联结词“”是可结合的。 （）18. 联结词“”
12、是可交换的。 （）19. 联结词“”是可交换的。 （）20. 联结词“”是满足交换律。 （）21. “学习有如逆水行舟，不进则退” 。设 P：学习如逆水行舟，Q：学习进步，R：学习退步。则命题符号化为 P(QR)。 （）22. P、Q、R 定义同上，则 “学习有如逆水行舟，不进则退”形式化为：P (QR)。（）23. 设 P、Q 是两个命题，当且仅当 P、Q 的真值均为 1 时，PQ 的值为 1。 （）24. 命题公式(P(PQ)Q 是矛盾式。 （）25. 命题公式(P(PQ)Q 是重言式。 （）26. 联结词 与 不是相互可分配的。 （）27. 在命题的演算中，每个最小联结词组至少有两个联结
13、词。 （）28. 命题联结词集, 是最小联结词集。 （）29. 命题联结词集, 是最小联结词集。 （）30. 命题联结词集,是最小联结词集。 （）31. 命题联结词集和 是最小联结词集。 （）32. A 是命题公式，A 与(A*)*互为对偶式。 （）33. A 是命题公式，A(A*)*。 （）34. P 是命题变元，P 与 P 互为对偶式。 （）35. 任一命题公式的主析取范式和它的主合取范式互为对偶式。 （）36. 任一命题公式都可以表示成与其等值的若干极小项的析取式。 （）四、综合题1. 使用命题：P：这个材料有趣。Q：这些习题很难。R：这门课程让人喜欢。将下列句子用符号形式写出：(1).
14、 这个材料有趣，并且这些习题很难。(2). 这个材料无趣，习题也不难，而且这门课程也不让人喜欢。(3). 如果这个材料无趣，习题也不难，那么这门课程就不会让人喜欢。(4). 这个材料有趣，意味着这些习题很难，并且反之亦然。(5). 或者这个材料有趣，或者这些习题很难，并且两者恰具其一。2. 用符号形式写出下列命题：(1).假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或者看报；(2).我今天进城，除非下雨；(3).仅当你走，我将留下；(4).一个数是素数当且仅当它只能被 1 和它自身整除。3. 判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。(1). 2是无理数。(2).5 能被
15、2 整除。(3).现在开会吗？(4).x+50。(5).这朵花真好看呀！(6).2 是素数当且仅当三角形有三条边。(7).雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。(8).2000 年 10 月 1 日天气晴好。(9).太阳系以外的星球上有生物。(10).小李在宿舍。(11).全体起立！(12).4 是 2 的倍数或是 3 的倍数。(13).4 是偶数且是奇数。(14).李明与王华是同学。(15).蓝色和黄色可以调配成绿色。4. 确定下列命题的真值：(1).“如果太阳从西边出来，那么地球自转” ；(2).“如果太阳从东边出来，那么地球自转停止” ；(3).“如果 8+930，那么三角形有三条边” ；(
16、4).“如果疑问句是命题，那么地球将停止转动” 。5. 判断下面语句是否是命题，若是，确定其真值：(1).喜马拉雅山比华山高；(2).如果时间静止不动，你就可以长生不老；(3).如果时间流失不止，你就可以长生不老；(4).伦敦是英国首都；(5).这盆茉莉花好香阿！6. 给命题变元 P、Q、R 、S 分别指派真值为 1、1、0、0，求下列命题公式的真值：(1).(PQ)R)(PQ)R)S)(2).(P(Q(RP)(QS)7. 设 A*、B*分别是命题公式 A 和 B 的对偶式，判断下列各式是否成立，若不成立，请举例说明：(1).A*A(2).AB 则 A*B*(3).AB 则 A*B*(4).(
17、A*)*A8. 命题联结词“”定义为 PQ(PQ)(1).构造 PQ 的真值表；(2).证明 、 可以用仅含联结词的等值公式表示。9. 化简下列命题公式：(1).A(A(BB)(2).(ABC)(ABC)(3).(PQ)(QP)R(4).(AB)(BA)C10. 如果有 ACBC，是否一定有 AB?11. 如果有 ACBC，是否一定有 AB?12. 如果 AB 是否有 AB？13. 用真值表判断下列各式是否为重言式：(1).(PQ)(QR)(PR)(2).(PQR)(PRQ)14. 设命题公式 A 的真值表如表所示，试求出 A 的主析取范式和主合取范式（用编码表示和公式表示）：P Q A1 1
18、 11 0 10 1 00 0 115. 用等值演算法证明 P(PQ) Q 是重言式。16. 证明下列命题的等值关系：(1).(PQ)(RQ)(PR)Q(2).(PQAC)(APQC)(A(PQ)C(3).P(QP)Q(PR)(4).(PQ)(PR)P(QR)(5).(PQ)(PQ)(PQ)17. 求证下面命题的蕴含关系：(1).PQPQ(2).(P(QR)(PQ)(PR)18. 求下面各式的主析取范式与主合取范式，并写出相应的为真赋值。(1).(PQ)(PQ)(2).(R(QP)(PQR)(3).(PQ)Q)(QP)P)(4).(P(QR)(R(QP)(5).(PQ)(RP)(RQ)P19.
19、 联结词 f1，f 2 由表所示真值表定义，证明 f1，f 2是最小联结词组。P Q f1P P f1Q1 1 0 11 0 0 10 1 1 00 0 1 120. 设计一种简单的表决器，表决者每人座位旁边有一按钮，若同意则按下按钮，否则不按按钮，当表决结果超过半数时，会场电铃就会响，否则铃不响。试以表决人数为 3人的情况设计表决器电路的逻辑关系。21. 证明 时最小联结词组。22. 设计一加法器，实现两自然数相加的功能。23. 某勘探队有 3 名队员。有一天取得一块矿样，3 人的判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；乙说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，时铁。经实验室鉴定后发现，其中一人两个
20、判断都正确，一个人判对一半，另一个全错了。根据以上情况判断矿样的种类。24. 观察下列推理过程，是否正确，结论是否有效，说明理由。(1).PQR P(2).PR TI(3).P P(4).R TI所以 PQR， PR。25. 下列证明过程是否正确，若正确补足每一步推理依据，否则指出错误。(1).DA(2).D(3).A(4).A(CB)(5).C B(6).C(7).B(8).DB26. 证明 A(BC)，B(CD) A(BD)。27. 用 CP 规则证明 P(QR)，Q (RS)，P QS。28. 用推理规则说明 AB,(BC)，A C 是否能同时为真。29. 用推理规则说明(PQ) R，S
21、U ，R S，UW，WPQ。30. 用推理规则证明下列推理的正确性：如果 A 努力工作，那么 B 或 C 感到愉快；如果 B 愉快，那么 A 不努力工作；如果 D 愉快那么 C 不愉快。所以，如果 A 努力工作，则 D 不愉快。31. 用等值演算法证明 P(PQ)是矛盾式。32. 用 CP 规则证明 A(BC)，(EF)C，B (AS)BE。33. 用反证法证明(AB)(C D)，(BE) (DF)，(EF)，ACA。34. 用反证法证明 AB，(BC)C，(A D)D。第二章一、选择题1. 谓词公式x(P(x) yR(y)Q(x)中量词x 的作用域是（）A. x(P(x)yR(y) B.P(
22、x)C. (P(x)yR(y) D.P(x)，Q(x)2. 谓词公式x(P(x) yR(y)Q(x)中变元 x 是（）A.自由变量 B.约束变量C.既不是自由变量也不是约束变量D.既是自由变量也是约束变量3. 若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？（）A.xy(x+y=0) B.yx(x+y=0)C.xy(x+y=0) D.xy(x+y=0)4. 设谓词 P(x)：x 是奇数， Q(x)：x 是偶数，谓词公式x(P(x)Q(x)在下面哪个论域中是可满足的？（）A.自然数集 B.整数集 C.实数集 D.以上均不成立5. 设 C(x)：x 是运动员，G(x)：x 是强壮的。命题“没有一个运动员不
23、是强壮的”可符号化为（）A.x(C(x)G(x) B.x(C(x)G(x)C.x(C(x)G(x) D.x(C(x)G(x)6. 设 A(x)： x 是人，B(x)：x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）A.x(A(x)B(x) B.x(A(x)B(x)C.x(A(x)B(x) D.x(A(x)B(x)7. 设 Z(x)：x 是整数，N(x)：x 是负数，S(x,y) ：y 是 x 的平方，则“任何整数的平方非负”可表示为下述谓词公式（）A.xy(Z(x)S(x,y)N(y)B.xy(Z(x)S(x,y)N(y)C.xy(Z(x)S(x,y)N(y)D.x(Z(x)S(x,y)N(y
24、)8. 令 F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比 y 快。则语句“某些汽车比所有的火车慢”可表示为（）A.y(G(y)x(F(x)H(x,y)B.y(G(y)x(F(x)H(x,y)C.xy(G(y)(F(x)H(x,y)D.y(G(y)x(F(x)H(x,y)9. 设个体域 A=a,b，公式xP(x) xS(x)在 A 中消去量词后应为（）A.P(x)S(x)B.P(a)P(b)(S(a)S(b)C.P(a)S(b)D.P(a)P(b)S(a)S(b)10. 在谓词演算中，下列各式哪个是正确的？（）A.xyA(x,y)yxA(x,y)B.xyA(x,y)yxA(x
25、,y)C.xyA(x,y)xyA(x,y)D.xyA(x,y)yxA(x,y)11. 下列各式哪个不正确？（）A.x(P(x)Q(x)xP(x)xQ(x)B.x(P(x)Q(x)xP(x)xQ(x)C.x(P(x)Q(x)xP(x)xQ(x)D.xP(x)Q)xP(x)Q12. 下面谓词公式哪个是前束范式？（）A.xyz(B(x,y)A(z)B.xyB(x,y)C.xyx(A(x,y)B(x,y)D.x(A(x,y)yB(y)13. 在谓词演算中：P(a)是xP(x)的有效结论，其理论根据是（）A.全称规定规则(US) B.全称推广规则(UG)C.存在规定规则(ES) D.存在推广规则(EG)
26、二、填空题1. 令 R(x)：x 是实数，Q(x)：x 是有理数。(1) 命题“并非每个实数都是有理数” 。其符号化为 。(2) 命题“虽然有些实数是有理数，但并非一切实数都是有理数” 。则其符号化可表示为 。2. 设 G(x)： x 是金子，F(x)：x 是闪光的，则命题“金子是闪光的，但闪光的不一定是金子”符号化为 。3. 设 C(x)：x 是计算机，P(x,y)：x 能做 y，I(x)：x 是智能工作，则命题“并非所有智能工作都能由计算机来做”符号化为 。4. 设 Q(x)： x 是偶数，P(x)：x 是素数，则命题“存在惟一一个偶素数”可符号化为 ， “至多存在一个偶素数”可符号化为
27、。5. 设 Q(x)： x 是奇数，Z(x)：x 是整数，则语句“不是所有整数都是奇数”所对应的谓词公式为 。6. 设个体域为自然数集，P(x) ：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，则命题“不存在既是奇数又是偶数的自然数”可符号化为 。7. 设个体域为全总个体域，R(x)：x 是实数，Q(x)：x 是有理数，Z(x)：x 是整数，则命题“所有的有理数是实数” ， “有些有理数是整数” ， “有些有理数是实数担不是整数”符号化分别为 ， ， 。8. xy(P(x,y)Q(y,z)xP(x,y)中x 的作用域为 ，y 的作用域为 ，x 的作用域为 。9. 公式x(P(x)Q(x,y)R(y,z)S
28、(x)中自由变量为 ，约束变量为 。10. 取个体域为整数集，给定下列公式：(1).xy(xy=0) (2).xy(xy=1)(3)xy(xy=2) (4)xyz(x-y=z)(5).x-y=-y+x (5).xy(xy=y)(7)x(xy=x) (8).xy(x+y=2y)上面公式中，真命题的有 ，假命题的有 。*11. 下列谓词公式(1).(xA(x)与xA(x)(2).x(A(x)B(x)与xA(x)xB(x)(3).x(A(x)B(x)与xA(x)xB(x)(4).xyD(x,y)与yxD(x,y)中 是等值的。12. 对公式x(P(x)Q(x)，其中 P(x):x=1，Q(x):x=
29、2，当论域为1,2时，其真值为 ，当论域为0,1,2时，其真值为 。13. 设个体域为 A=a,b,c，消去公式xP(x) xQ(x)中的量词，可得 。14. 下列各式(1).x(P(x)Q(x)(xP(x)xQ(x)(2).(x(A(x)B(x)A(c)A(c)(3).(x(A(x)B(x)xB(x)xA(x)(4).(x(P(x)Q(x)xP(x)Q(x)其中 是永真式。15. 下列各式(1).yxA(x,y) (2).xyA(x,y)(3).xy A(x,y) (4).xyA(x,y)它们之间存在着 的推理关系。可供选择的项有：A.(1)(2)；(2) (3) B.(2) (1)；(3)
30、 (4)C.(1) (3)；(4) (3) D.(4) (1)；(1) (3)E.(1) (3)；(2) (4)16. 填上联结词：xP(x)xQ(x) x(P(x)Q(x)*17. 只用联结词 ，表示以下的公式。(1).x(P(x)Q(x)= ；(2).x(P(x)yQ(y)= ；(3).y(xP(x)Q(y)= 。18. 给定下面谓词公式：(1).x(F(x)F(x)(2).xF(x)xF(x)(3).(F(x)(yG(x,y)F(x)(4).xyF(x,y)xyF(x,y)(5).xF(x)xF(x)(6).x(F(x)G(x)(xF(x)xG(x)(7).xyF(x,y)xyF(x,y
31、)(8).x(F(x)G(x)(xF(x)xG(x)(9).(xF(x)xG(x)x(F(x)G(x)(10).xyF(x,y)yxF(x,y)(11).(xF(x)yG(y)yG(y)上面 11 个公式中，为重言式的有 ，为矛盾式的有 。19. 给定下列各公式：(1).(xF(x)yG(y)(F(u)zH(z)(2).xF(y,x)yG(y)(3).x(F(x,y)yG(x,y)则 是(1) 的前束范式， 是(2)的前束范式， 是(3)的前束范式。供选择的答案有x yz(F(x)G(y)(F(u)H(z)x yz(F(x)G(y)(F(u)H(z)x y(F(y,x)G(y)x y(F(z,
32、x)G(y)x y(F(z,x)G(y)x y(F(x,z)G(x,y)x y(F(x,z)G(x,y)y x(F(x,z)G(x,y)y x(F(x,z)G(y)20. 谓词公式xP(x)xQ(x) yR(y)的前束范式为 。21. 谓词公式x(P(x)Q(x,y)zR(y,z) S(x)的前束范式为 。*22. 谓词公式 x(yG(y,b)H(x)的前束范式为 。23. 在谓词逻辑中给出四个推理：(1).前提：x(F(x)G(x)， yF(y)； 结论：yG(y)(2).前提：x(F(x)G(x)； 结论：yF(y)(3).前提：xF(x) ，xG(x) ； 结论：y(F(y)G(y)(4
33、).前提：x(F(x)H(x)， H(y)； 结论：x(F(x)以上四个推理中正确的有 。24. 在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车，每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车，因而有的人不喜欢步行。命题符号化：F(x)：x 喜欢步行； G(x)：x 喜欢坐汽车；H(x)：x 喜欢骑自行车。前提：x(F(x)G(x)，x(G(x) H(x)，x(H(x)；结论：x( F(x)。三、判断题1. 在谓词公式中，一个变量只能是自由变量或约束变量中的一种。 （）2. 公式x(P(x)Q(x)R(y)中x 的作用域为 P(x)。 （）3. 同一谓词公式，指定不
34、同的论域，其真值不一定相同。 （）4. 谓词公式xP(x)y( P(y)是矛盾式。 （）*5. x(P(x)Q(x)(xP(x)xQ(x)为真。 （）6. 对公式z(P(z)Q(x,z)M(z,y) R(z)中自由变量代入后，有z(P(z)Q(a,z)M(z,b)R(z)（）7. xy(P(x)Q(y)xP(x)yQ(y)（）*8. P(x)，Q(x)表示谓词，P 表示命题，有x(P(x) P)xP(x)P（）*9. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)（）*10. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)（）11. 任意一个谓词公式都与一个前束范式等价。 （）12. 公式xP(x)yQ(
35、x,y) 前束范式xy(P(x)Q(x,y)为（）13. 公式x( yP(x,y)(zQ(z)R(x)的前束范式为xyz(P(x,y) Q(z)R(x)（）14. 下面的推理：条件：x(P(x)Q(x)，根据全称规定（US ）有：P(a)Q(b)是正确的。 （）15. 对公式z(P(z)Q(x,z)M(z,y) R(z)中约束变量 z 改名后，得到的等价公式为：t(P9t)Q(x,t)M(t,y)R(t)（）四、综合题1. 用谓词和量词将下列命题符号化：(1).没有不犯错误的人；(2).尽管有人聪明，但未必一切人都很聪明；(3).每个计算机系的学生都学离散数学；(4).所有的人都学习和工作；(
36、5).并非一切推理都能用计算机完成；(6).任何自然数都有惟一的一个后继数。*2. 令 S(x,y,z)表示“x+y=z ”，G(x,y)表示“x=y” ，L(x,y)表示“x0 当且仅当有这样的 y，使得 xy。(2).并非对一切 x，都存在 y，使得 xy。(3).对任意的 x，若 x+y=x，当且仅当 y=0。3. 用谓词公式表示命题“ lim()xafA”，并写出该命题的否定命题。*4. 设 P(x)：x 是外语学的好的学生， Q(x)：x 是三好学生，对下述自然语言用谓词符号化：(1).并不是外语学的好的都是三好学生。(2).有这样的学生，外语学的好而不是三好学生，但外语学不好的学生
37、一定不是三好学生。5. 指出下列公式中量词每次出现的作用域，并指出个体变量是约束变量还是自由变量。(1).xy(R(x,y)L(y,z)xH(x,y)(2).x(P(x)xQ(x)(xP(x)Q(x)6. 设 f,g,h 是二元运算符号， E，L 是二元谓词符号，考查的个体域为有理数集。给出解释如下：f(x,y)=xy； g(x,y)=x+y； h(x,y)=x2-y2； a=0； b=1；E(x,y):x=y； L(x,y):x1”；A(x)表示“x1” ；B(x)表示“x 是某个自然数的平方 ”。请在此基础上，求下面公式的真值：x(A(x)(A(a)B(x)(PxA(x)B(a)9. 下列
38、各式翻译成自然语言，然后在不同的个体域中确定它们的真值：(1).xy(xy=0)(2).xy(xy=0)(3).xy(xy=1)(4).xy(xy=1)(5).xy(xy=x)(6).xy(xy=x)(7).xyz(x-y=z)个体域分别为：实数集整数集正整数集非负实数集10. 设解释 T 如下：个体域为实数集 R，元素 a=0，函数 f(x,y)=x-y，特定谓词 F(x,y)为 x5，R(x)：x7。根据解释 T，求下列各式的真值：(1).x(F(x)G(x)(2).x(R(x)F(x)G(5)(3).x(F(x)G(x)13. 设 A(x)是一个含有个体变量 x 的谓词公式，证明下面等值
39、式成立：xA(x)x(A(x)14. 设 A(x)，B(x)均为含有自由变量 x 的任意谓词公式，证明：x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)15. 证明：xy(G(x)H(y)xG(x) xH(x)。16. 设 G(x)， H(x)分别是谓词公式，试证明 xG(x)xH(x)x(G(x)H(x)17. 下列公式是否成立，成立则证明，不成立，则举例说明之。(1).xyA(x,y)xyA(x,y)(2).xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)18. 下面公式是否是永真式？说明理由。(1).(AxB(x)x(AB(x)(2).x(A(x)B(x)(xA(x)xB(x)19. 下面的公式是否是永
40、真式？是则证明之，不是，请举出反例：(1).xyA(x,y)yxA(x,y)(2).(xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)20. 下面公式是否有效，对有效的公式加以证明，对无效的公式加以反驳。(1).x(P(x)Q(x)(xP(x)xQ(x)(2).(xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)21. 航海家都教育自己的孩子成为航海家，有一个人教育他的孩子去做飞行员，证明：这个人一定不是航海家。22指出下列推理中的错误：(1). xF(x)G(x) 前提引入F(y)G(y) US(2). x(F(x)G(x) 前提引入F(a)G(b) US(3). F(x)G(x) 前提引入y(F(y) G(
41、y) EG(4). F(x)G(c) 前提引入x(F(x) G(x) EG(5). F(a)G(b) 前提引入x(F(x) G(x) EG(6). x(F(x)G(x) 前提引入y(H(y)R(y) 前提引入F(c)G(c) ESF(c) 化简H(c)R(c) ESH(c) 化简F(c)H(c) 合取x(F(x) H(x) EG23. 试找出下列推理过程中的错误，写出正确的推导过程，说明理由：x(P(x)Q(x) 条件P(y)Q(y) 全称规定(US)xP(x) 条件P(y) 存在规定(ES)Q(y) 由条件xQ(x) 存在推广(EG)24. 下面推理是否是一个有效的推理，为什么？xyQ(x,
42、y) 条件yQ(a,y) 全称规定(US)Q(a,b) 存在规定(ES)xQ(x,b) 全称推广(UG)y xQ(x,y) 存在推广(EG)25. 下面推广是否正确，若有错，请指出：x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) X(A(x)B(x) x(A(x)B(x) (xA(x)xB(x) xA(x)x(B(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) 26. 用谓词演算推理规则证明：x(P(x)(Q(y)R(x)，xP(x)Q(y) x(P(x)R(x)27改正下面证明中的错误：前提：x( y(S(x,y)M(y)z(P(z)R(x,z)；结论：zP(z)xy(S(x,y)M(y) 。
43、证明过程：x(y(S(x,y)M(y) z(P(z)R(x,z)； Py(S(b,y)M(y)z(P(z)R(b,z) US zP(z) P(附加前提)z(P(z) T,EP(a) USP(a) R(b,a) T,Iz(P(z)R(b,z) UG z(P(z)R(b,z) T,E y(S(b,y)M(y) ,T,Ly(S(b,y)M(y) T,Ey(S(b,y) M(y) T,Ex y(S(x,y)M(y) UG zP(z)xy(S(x,y)M(y) CP第三章一、选择题1. 对任意集合 A、B、C，下述论断正确的是（）A.若 AB，B C，则 ACB.若 AB，BC ，则 ACC.若 AB，BC ，则 ACD.若 AB，B C，则 AC2. 设
