1、第四节,隐函数微分法,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还可求隐函数的,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导
2、,令 x = 0 , 注意此时,导数的另一求法, 利用隐函数求导,定理2 .,若函数,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:,满足, 在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例2. 设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例3.,设F( x , y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,二、方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理
3、还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比 行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即,雅可比,定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式 :, 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,解的公式,故得,系数行列式,同样可得,例4. 设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,由题设,故有,练习,设,求,提示:,习题,分别由下列两式确定 :,又函数,有连续的一阶偏导数 ,1. 设,解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得,解得,因此,2. 设,是由方程,和,所确定的函数 , 求,解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得,
