1、1 构造“ 平口单峰 ”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线” 吴剑（ 野猪 ） 2017.06.28 一、 新增 此方法的的简单推广（ 16 天津卷）。 二： 引理 证明 bug 修正 。 下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。本文将给出一种极其简洁的做法及解释。 1. 1( ) 4 2 , ( , ) ,xxf x a b a b R ， 若对任意的 0,1x ， 1| ( )| 2fx 都成立 ， 则 b=_。 2.设函数 4( ) | |f x axx
2、， 若对任意的正实数 a,总存在 0 1,4x ， 使得 0()f x m ， 则实数 m 的取值范围是 _。 3.设函数 ( ) | |, ,f x x a x b a b R ， 若对任意实数 a,b,总存在实数 0 0,4x ， 使得0()f x m 成立 ， 则实数 m 的取值范围为 _。 4.已知函数 2( ) | |f x x ax b 在区间 0, xc 内的最大值为 M， ( , , 0 )a b R c 为常数 ，且存在实数 ,ab使得 M 的最小值为 2，则 a+b+c=_。 5.已知 2( ) ( 4 ) 3f x x a x a 对任意 0,4a ， 均存在 0 0,2
3、x ， 使得 0| ( )|f x t 成立 ， 则 t 的取值范围是 _。 6.设函数 2( ) | |f x ax bx ， 若对于任意实数 a,b，总存在 0 1,2x ， 使得 0()f x m 成立 ， 则实数 m 的取值范围是 _。 7.设函数 2( ) | |f x x ax b ， 若对于任意实数 a,b，总存在 0 0,4x ， 使得 0()f x m 成立 ， 则实数 m 的取值范围是 _。 8.已知函数 1( ) | |f x x ax bx ， 当 1 ,22x 时 ， 设 ()fx的最大值为 ( , )Mab ， 则( , )Mab 的最小值为 _。 9.首相系数为
4、1 的二次函数 2()f x x px q 中 ，找出使得 2m a x | |, 1 x 1x p x q 取最小值时的函数表达 式。 10.（ 09 湖北压轴）在 R 上定义运算 bcbqcpqp 4)(31 ： (b、 c 为常数). 记cxxf 2)( 21 ， bxxf 2)(2 ， Rx .令 )()()( 21 xfxfxf . ( )记 ( ) ( ) ( 1 1)g x f x x 的最大值为 M.若 M k 对任意的 b、 c 恒成立，试求2 k 的最大值 . 11. ( ) ln ( 1)f x x ax b ， 0,1x ，对于任意的 ,ab， 求 | ( )|fx 最
5、大值的最小值 。 从浙江余姚的李 旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感，现将解决方案整理如下。 弱弱的引理： 若 ()fx为 , mn 上的连续单峰函数 ， 且 ( ) ( )f m f n ， 0x 为极值点， 则当 k,b 变化时 ， ( ) | ( ) |g x f x kx b 的最大值的最小值为 0| ( ) ( )|2f n f x .当且仅当0( ) ( )k 0, 2f n f xb 时 取得。 这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是弱弱的写点废话证明一下。 不妨以 00( , ) ,( , )m x x n为例 .如图 下用反证法证明 ,km b kn
6、 b均等于 0( ) ( )2f n f x . （ 1）若两者其一小于 0( ) ( )2f n f x ，不妨设 0( ) ( )2f n f xkn b ，此时 0( ) ( )( ) ( ) 2f n f xf n k n b .矛盾 . （2 ）若 00( ) ( ) ( ) ( ),22f n f x f n f xk m b k n b ， 或 ( ) ( ) ( ) ( ),f n f x f n f xk m b k n b 。 则有 00 ( ) ( )2f n f xkx b 此时 000 ( ) ( )() 2f n f xkx f x .矛盾 . 所以 0( ) (
7、)2f n f xk m b k n b ， 引理得证 。 有个这个 平口单峰函数 ， 如 8 题这种“天然”平的那不是直接秒了？ 例 1、题目 8.已知函数 1( ) | |f x x ax bx ， 当 1 ,22x 时 ， 设 ()fx的最大值为 ( , )Mab ，则 ( , )Mab 的最小值为 _。 惊喜的发现 1x x 在 1 ,22x 上已经是“平口单峰”函数 ， 极值点为 1， 好幸运。 所以 ( , )Mab 的最小值为 1 2212 24 .（是不是很快很暴力 ） BUT，尴尬的是，除 了 8 以外 ，其余各题除一次函数以外的部分都不 是“ 平口单峰 ” 函数 . 下面以
8、 7 来分析分析 . 例 2、 题目 7.设函数 2( ) | |f x x ax b ， 若对于任意实数 a,b，总存在 0 0,4x ， 使得0()f x m 成立 ， 则实数 m 的取值范围是 _。 3 PS： 现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其实一次函数都是酱油，系数丑不丑无所谓，所以可以考虑为 2x 配凑一个一次式 ， 使 2xx 成为 0,4上的 “平口单峰”函数。那么很 明显，由 0,4 函数值相等就可以求出 4 . 解： 2( ) | 4 ( 4 ) |f x x x a x b ， 则 ()fx最大值的最小值为 0 ( 4) 22 . 所以 2
9、m . PS：也可以顺便得到 4 0 , - 2 4 , 2a b a b （ ） 时取得。 例 3、 题目 6. 设函数 2( ) | |f x ax bx ， 若对于任意实数 a,b，总存在 0 1,2x ， 使得0()f x m 成立 ， 则实数 m 的取值范围是 _。 PS： 很明显，我们需要给 2x 凑一个一次式 ， 使得 2 xx 为 1,2 上的“平口单峰”函数 .显然由 1,2 处函数值相等可得 1 。 解： 2( ) | ( 1) |f x x a x bx ，所以 ()fx最大值的最小值为 3 2 22 所以 3 2 22m . 变式： 题目 11. ( ) ln ( 1)
10、f x x ax b ， 0,1x ， 对于任意的 ,ab， 求 | ( )|fx 最大值的最小值 。 例 4、 题目 1. 1( ) 4 2 , ( , ) ,xxf x a b a b R ， 若对任意的 0,1x ， 1| ( )| 2fx 都成立 ， 则 b=_。 PS：即 2 1| 4 | 2t at b 对任意 1,2t 恒成立， 求 b。 这一题乍一看似乎不是最大值的最小值问题，倒而最大值的最大值小于等于 12 .不过考虑到容易凑出“平口单峰”函数 .try 一 try 吧。 解： 22| 4 | | 4 t 1 2 ( 1 2 ) |t a t b t a t b ， 惊奇的发
11、现 2| 4 t 1 2 ( 1 2 ) |t a t b 最大值的最小值为 8 ( 9) 122 ， 又因为 1| ( )| 2fx 恒成立 ，所以 2| 4 t 1 2 ( 1 2 ) |t a t b 的最大值恰为 12 。必须 满足 ( 1 2 ) 0, 8 .5ab ， 所以 .5b 一位成都的老师马上拿出一个联赛题，似乎在区间内 “层峰叠峦”。 例 5、 （ 83 高中联赛） 求 ( ) | 2 sin( 2 ) |4f x x a x b 在 30, 2 上最大值的最小值 . PS： 如图，其实回想引理的证明过程不难看出， 2 sin(2 )4x 4 图像上的 M， N 之间的图
12、像正好是“平口单峰”的，两边的小段只是 是 打 jiangyou 而已 . 解：a=0,b=0 时，最大值的最小值为 2 . 例 6、 （ 16 天津卷）设函数 3( ) ( 1)f x x ax b , Rx ， 其中 Rba , (II) 若 )(xf 存在极值点 0x ，且 )()( 01 xfxf ，其中 01 xx ，求证： 1023xx； （ ）设 0a ，函数 |)(|)( xfxg ，求证： )(xg 在区间 0,2 上的最大值 不小于 41 . （ 3） PS： 本质就是求证 | ( )|fx 最大值的最小值为 14 ， 如何构造出 0,2 上的 “平口单峰”函数是关键，但是
13、尴尬的是，如果直接利用 0,2 处函数值相等来凑一次式，得出的式子为 3( ) | ( 1 ) (1 ) |g x x x a x b ， 而 3( 1)xx并不是满足条件的“平口单峰”，其实由例 5 不难看出，只要在区间 0,2 存在两个相同的最大值点 ， 并且最小值点在两个最大值点之间 ， 同样符合引理的使用条件 。所以可以考虑构造极大值等于端点值的“平口单峰” 函数 ，如 右 图， 于是令 3( ) ( 1)h x x x ， 2( ) 3( 1)h x x ， 极值点0 1 3x ，由 （ 2）可得 32( 1 ) 2 334 . 解： 3 33( ) | ( 1 ) ( ) |44g x x x a x b ， 因为 3 3( ) ( 1) 4h x x x 极大值点为 12 ， 极小值点为 32 ， 且 1( ) (2)2hh ， 故由引理可得 ， 当 ,ab变化时， ()gx 最大值的最小值为 31( 2) ( ) ( 1) 1222 2 4hh ，得证。 写了这么几个，其余的全部作为练习吧。现在再看那个题目 10 那个湖北卷压轴是不是觉得弱爆了. PS： （ 1）本人作图太渣，所以看例题的时候自己画个图吧。 （2 ）作为大题的话，引理的证明过程拿出来即可作为解答过程。
