1、1非线性常微分方程求解（共 3 篇）以下是网友分享的关于非线性常微分方程求解的资料 3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。篇 1非线性微分方程求解的探讨虞海磊（杭州师范大学钱江学院数学与应用数学系【摘要】近几十年来，随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善，各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题，归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解所以无论在理论研究方面，还是在实际应用中，非线性方程的求解都占有非常重要的地位本文所提出的主要基于 MATLAB 程序设计教程，介绍了非线2性代数方程和非线性微分方程求解的几种方法【关
2、键词】非线性微分；符号方程；ode23310012）y（t02h ）y2y1 hf （t1，y1）.一般地，在任何点ti t0ih，有：y（t0ih ）yiyi-1hf（ti-1，yi-1 ） ，i1，2，n.当（t0，y0）确定后，根据上述递推式能计算出未知函数y 在点 ti t0ih，i 0，1，n 的一例数值解：yiy0，y1，y2，yn，i 0，1，n.当然，递推过程中有一个误差累计的问题.在实际计算过程中，使用的递推公式一般进行改造，著名的龙格库塔公式是：11 非线性方程求解的作用非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心，很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性
3、方程组；而非线性方程组的求解，是一个至今没有彻底解决的数学问题；特别地，来自工程、机械等的几何约束问题，最终都将产生一个非线性方程组，且该方程组中方程和未知量的个数都非常多，且往往其中的未知量的次数还非常高因此，解决这些几何约束问题极其困难.21 微分方程3微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方程.是解决偏微分方程、数理方程的基础.微分方程的表达通式是：y（t0ih ）yiyi-1h （k12k22k3k4 ）.其中 k1f （ti-1，yi-1） ，k2f（ti-1h，yi-1hk1） ，k3 f（ti-1h ， y hk） ，kf（t h ，yhk）.i-124i-1i-1333
4、龙格库塔法的实现基于龙格库塔法，MATLAB 提供了求常微分方程值解的函数，一般调用格式为：t，yode23（name ，tespan，y0） t，yode45（name ，tespan，y0）其中 fname 是定义 f（t，y）的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量.Tespan 形式为t0，tf ，表示求解区间.y0 是初始状态列向量.t 和 y 分别给出时间向量和相应的状态向量.这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格库塔法和四阶、五阶龙格库塔法，并采用自适应变步长的求解方法，即当解的变化较慢时采用较大的步长，从而使得计算速度很快，当解的变化较快时步长会自动变小，从而使得计算精度很高.4
5、34 符号常微分方程求解在 MATLAB 中，用大写字母D 表示导数.例如，Dy 表示 y，D2y 表示 y，Dy（0）5表示 y（0）5.D3yD2y Dy x 50 表示微分方程yy yx50.符号常微分方程求解可以通过函数dsolve 来实现，其调用格式为：dsolve（e ，c，v）该函数求解常微分方程 e 在初值条件 c 下的特解.参数乙（x，dy，dny，dy，y） 0（n1 ）22 微分方程的线性化大部分非线性微分方程都不能得出通解.但是，可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解.有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数型式的解析解的微分方程而定义出来.这些特殊函数之所以重
6、要，是因为它们描述了自然界中的某些现象，例如，电子的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动，等等.31 常微分方程初值问题的数值解法考虑常微分方程的初值问题 yf（t，y） ，y0tT ，y（t0）y0.所谓其数值解法就是求它的解 y（t）在节点t0t1tm5处的近似值 y0，y1，ym 的方法.所求的y0，y1，ym 的方法.所以求得的 y0，y1，ym 称为常微分方程初值问题的数值解.一般采用等距节点tn t0nh ，n0，1，m，其中 h 为相邻两个节点间的距离，叫做步长.常微分方程初值问题的数值解法多种多样，比较常用的有欧拉（Euler）法、龙格库塔（RungeKutta）法、线性多步法、预报校
7、正法等.32 龙格库塔（RungeKutta）法对于一阶常微分方程的初值问题，在求解未知函数 y 时，y 在 t0 点的值 y（t0）y0 是已知的，并根据高等数学中的中值定理，应有y（t0h ）y1y0 hf （t0，y0） ，h0，称为步长.v 描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件 c，则求方程的通解 .dsolve 在求常微分方程组时的调用格式为：dsolve（e1，e2，en，c1 ，cn，v1，vn）该函数求解常微分方程组 e1，en 在初值条件下c1， ，cn 下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，v1，cn 给出求解变量.【参考文献】1刘卫国MAT
8、LAB 程序设计教程北京：中国水6利水电出版社2何汉林，梅家斌数值分析北京：科学出版社 3王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松常微分方程（第三版）.北京：高等教育出版社数学学习与研究 2010.20篇 2 解 题 技 巧 与 方 法 姆 缠瞧礅 【 要】 几十年 来 ， 着数 学研究本 身 的发展和 大 型 摘 近 随 计 算机 的 出 现及 完 善 ， 种 非 线 性 问 题 目益 引 起 科 学 家 和 各 工 程技 术人 员 的 兴 趣 7和 重 视 别 是 在 近 代 物 理 和 科 学 工 特 程 计 算 中的 一 些 关 键 问题 ， 归根 结 底 都 依 赖 于 某 些 特 定 的 非
9、 线 性 方程 的 求 解 以无 论 在 理 论 研 究 方 面 ， 是 在 实 际 所 还 应用 中 ， 线 性 方 程 的 求 解 都 占有 非 常 重 要 的地 位 文 所 非 本 提 出 的 主 要基 于 程 序 设 计 教 程 ， 绍 了非 线 性 代 介 数 方程 和 非 线 性微 分 方程 求解 的 几种 方 法 程 鼷晌 诩 ） 当然 ， 推 过 程 中 有 一 个 误 差 累 计 的 问 题 实 际 计 算 递 在 过 程 中 ， 用 的 递 推 公 式 一 般 进 行 改 造 ， 名 的 龙 格 一 库 塔 使 著 虞 海磊 （ 州师 范大 学钱 江 学 院数 学与 应 用
10、 数 学 杭公式是 （ （ 十 ） 一 ）8其 ， 一， ， ， 中 ， ， ， ） 。 争 争 一 。， ， ， ， 。 ， ） ： 一 （ 一 六 、 格一 库 塔 法 的 实 现 龙 基于龙格一库塔 法 ， 提 供 了 求 常 微 分 方 程 值 【 关键 词 】 线 性 微 分 ； 号 方程 ； 分 因子 ； 非 符 积 一、非 线性 方 程 求解 的作 用 解 的 函数 ， 一般 调 用 格 式 为 ： ， ， ， ， （ ） ， ， ， （ ） 其 中 ， 定义 ） 函数 文 件名 ， 函数 文 件必 须 是 厂 ， 的 （ 该 返 回一 个列 向量 式 为 ， ， 示求 解 区9
11、间 。 初 形 表 。 是 始状 态列 向量 和 ，分别 给 出时间 向量 和相 应 的状态 向量 ， 这两 个 函数分 别 采 用 了 二 阶 、 阶龙 格一 库塔 法 和 四阶 、 三 五 阶龙格 一 库 塔法 ， 采用 自适 应 变 步 长 的 求 解方 法 ， 当解 并 即的变 化 较慢 时采用 较大 的步 长 ， 而 使 得 计 算 速 度很 快 ， 从 当解 的变 化较 快 时步长 会 自动 变小 ， 而使 得 计算 精度 很高 从 七 、 号 常微 分 方程 求解 符 在 中 ， 大 写 字母 表 示 导 数 如 ， 示 用 例 表 ， 表 示 ， （ ）表 示 ， （ ， ）
12、表示 微 分 方 程 一 符 号 常微 分 方 非 线 性 方 程 组 的 求 解 乃 是 非 线 性 科 学 的 核 心 ； 多 来 很 自工 程 、 械 、 学 研 究 等 的 实 际 问 题 最 终 都 化 为 求 解 一 个 机 科非线性方程组 ； 而非 线 性 方 程 组 的 求 解 ， 一 个 至 今 没 有 彻 是 底 解 决 的数 学 问 题 ； 别 地 ， 自工 程 、 械 等 的 几 何 约 束 特 来 机 10问 题 ， 终 都 将 产 生 一 个 非 线 性 方 程 组 ， 该 方 程 组 中 方 程 最 且 和 未 知 量 的 个 数 都 非 常 多 ， 往 往 其
13、中 的 未 知 量 的次 数 还 且 非常高 因此 ， 决 这 些 几 何 约 束 问 题 极 其 困 难 解 二 、 分 方 程 微 微 分 方 程 指 含 有 一 次 、 次 乃 至 高 次 微 分 未 知 数 的方 二 程 ， 解 决 偏 微 分 方 程 、 理 方 程 的 基 础 分 方 程 的 表 达 是 数 微通 是 （， ， ， ， 式 ， ） 三 、 分 方 程 的 线 性 化 微 大 部 分 非 线 性 微 分 方 程 ， 不 能 得 出 通 解 是 ， 以 都 但 可， ， 程 求 解 可 以 通 过 函 数 实 现 ， 调 用 格 式 为 ： 来 其 （ ， ， ） 对 其 在一 定 范 围 之 内 进 行 线 性 化 求 出 近 似 解 如 ， 例
