1、画法几何及土木工程制图,第六章 曲线和曲面,目 录,6-1 曲线 6-2 曲面概述 6-3 直纹面 6-4 曲线面,6-1 曲线,一、曲线的形成和分类曲线可以看作是由以下三种方式形成的：1.不断改变方向的点连续运动的轨迹。2.曲面与曲面或平面的交线。3.直线族或曲线族的包络。,点的运动轨迹,曲表面的交线,包络曲线,6-1 曲线,曲线的分类：规则曲线：可列出其代数方程，例如圆。不规则曲线：无方程，例如地面等高线。又可分为：平面曲线：曲线上所有的点都位于一个平面上。空间曲线：连续四个点不在同一平面上的曲线。例如圆柱螺旋线就是空间曲线的例子。,6-1 曲线,二、曲线的投影,画出曲线上一系列点的投影，
2、并连成光滑曲线，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。,曲线的投影性质：1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能积聚成直线；,6-1 曲线,2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点；3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。,6-1 曲线,三、圆的投影,1. 投影面垂直面上的圆,圆在所垂直的那个投影面上 的投影为直线段，线段的长度等 于圆的直径，圆的另外两投影为 椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的 直径。,6-1 曲线,例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心
3、O 和PH的位置，试作出其投影。,解：水平投影为线段，长度等于d，重合在PH上；正面投影和侧面投影为椭圆，长轴竖直，长度等于d，短轴水平，长度根据水平投影作出。利用换面法可作出椭圆上的一些中间点。,6-1 曲线,2.一般斜平面上的圆,圆所在的平面倾斜 于三个投影面时，圆的 三个投影都是椭圆，椭 圆长轴的长度总是等于 圆的直径d。且能反映 实长的长轴是特殊直线。,6-1 曲线,例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面ABCD上， 并知圆心的位置，试作出其投影。,解：首先，在水平投影中 作椭圆的长短轴：长轴的方向 为面内水平线的水平投影的方 向，长度等于圆的直径2r。短 轴垂直于长轴，长度利用直角
4、三角形法求出。,6-1 曲线,其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是 一对共轭直径12、34。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个 点5、6、7、8，用八点法画 出正面投影椭圆。,一椭圆，其中心为O，过O任作一直径CD，再作CD的平行弦EF，取EF的中点 M，连接OM得椭圆的另一直径AB，则AB、CD称为椭圆的一对共轭直径，EF为直径AB的共轭弦。因此，椭圆的任一条直径必平分其共轭弦。由于上述AB 直径是任意取的，因此椭圆的共轭直径有无数对。当一对共轭直径互相垂直时，即为椭圆的长轴和短轴。,共轭直径,O,M,O,M,6-1 曲线,八点法，是作圆的外切正方形及对角线，其中1，2，3，
5、4为各边的中点，5，6，7，8为对角线上的点。5，6，7，8，可按比例定出,6-1 曲线,四、螺旋线的投影,1.圆柱螺旋线的形成点P沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作等速转动，点P的轨迹为圆柱螺旋线。,2.相关概念 圆柱的半径为螺旋半径，柱轴为螺旋轴线，点P旋转一周后沿轴线移动的距离为导程，记作Ph。当动点P沿直母线移动且符合右手法则时，记为右螺旋线。反之，左旋。,6-1 曲线,四、螺旋线的投影,螺旋线轴线为铅垂线时，螺旋线的水平投影为圆。把圆周等分（例如12等分），分点按旋向依次编号为0、1、2；正面投影中，把导程也作相同的12等分，过各分点作水平线；由水平投影中的各分点作竖
6、直线与正面投影上的对应水平线相交，得0、1、2,把这些点连成光滑曲线，即为螺旋线的正面投影。注：12等分有13个点，第一个记作0.,6-2 曲面概述,一、曲面的形成和分类,曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线，曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，称为导线或导面。,6-2 曲面概述,由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面；只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。,圆柱体,形成,轴线,底面,圆柱面, 圆沿与其垂直 的直线运动形成, 矩形绕其边旋 转形成,L,圆柱面的形成,轴线,母线,素线
7、,6-2 曲面概述,圆锥体,形成,S,底面,圆锥面,锥顶,轴线,直角三角形绕其直角边旋转而成,L, 圆沿与其垂直的直 线运动形成。运动过 程中其直径均匀变化,圆锥面的形成,过圆锥面上任一点可作 一条直线通过锥顶、亦 可在圆锥面上作一圆,6-2 曲面概述,根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。,6-2 曲面概述,二、曲面的投影,平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮廓线，简称外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射方向上外形线的投
8、影来表示。同时，外形线该方向上可见与不可见的分界线。,由曲面围成或由曲面和平面围成的立体 称为曲面体。,曲 面 体,常见曲面体及曲面体上点的投影,一、圆柱,圆柱的投影,圆柱投影图分析,表1 常见曲面体的形成,上一节,下一节,返 回,二、圆锥,圆锥的投影,圆锥投影图分析,三、圆球,圆球的投影,圆球投影图分析,四、圆环,圆环的投影,圆环投影图分析：,属于圆柱表面的点线,圆锥表面上取点线,圆球表面上取点线,属于圆环表面的点线,例 3,例 4,例 11,例 12,退 出,一、圆柱,作图步骤：,画底面和顶面的投影,画转向线,画轴线,正面转向线,侧面转向线,空间分析,中途返回请按“ESC” 键,圆柱投影图
9、分析,底面水平面,转向线,顶面水平面,圆柱面,前半个圆柱面,后半个圆柱面,左半个圆柱面,右半个圆柱面,正面转向线,侧面转向线,后,前,左,右,中途返回请按“ESC” 键,例3 已知属于圆柱面上的点A、B、C 的一个投影求另外 两面投影,中途返回请按“ESC” 键,例4 已知圆柱面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面 投影,中途返回请按“ESC” 键,二、圆锥,作图步骤：,画底面的投影,画转向线,画轴线,画正面转向线,画侧面转向线,空间分析,中途返回请按“ESC” 键,画锥顶,圆锥投影图分析,底面：水平面,前半个圆锥面,后半个圆锥面,圆锥面：,左半个圆锥面,右半个圆锥面,锥顶:,中途返回请按“E
10、SC” 键,圆锥表面上取点线,例 5,例 7,1.属于圆锥表面的特殊位置点,纬圆法,素线法,已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另 外两面投影,中途返回请按“ESC” 键,2.属于圆锥表面的一般位置点,例 6-1,例 6-2,过点取属于圆锥面的线（直线或圆），则点的投影在该线上,返回,例5 圆锥表面上取点-特殊位置点,中途返回请按“ESC” 键,圆锥表面上取点-纬圆法,中途返回请按“ESC” 键,圆锥表面上取点-素线法,中途返回请按“ESC” 键,例7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另外两面 投影,中途返回请按“ESC” 键,例7 圆锥表面上取线,例7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平
11、投影，求另外两面 投影,中途返回请按“ESC” 键,三、圆球,投影图：,画转向线,画轴线,空间分析,中途返回请按“ESC” 键,圆球投影图分析,正面转向线A,侧面转向线B,水平面转向线C,中途返回请按“ESC” 键,圆球表面上取点线,例 8,例 9-1,例 9-2,例 10,属于圆球表面的特殊位置点,已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面投影,例 9-3,已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面,投影水平圆为辅助线,已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面,投影正平圆为辅助线,已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面,投影侧平圆为辅助线,中途返回请按“ESC” 键,返
12、回,例8 圆球表面上取点-特殊位置点,中途返回请按“ESC” 键,例9-1 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影,水平圆为辅助线,中途返回请按“ESC” 键,例9-2 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影,正平圆为辅助线,中途返回请按“ESC” 键,例9-3 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影,侧平圆为辅助线,中途返回请按“ESC” 键,例10 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面投影,中途返回请按“ESC” 键,例10 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两 面投影,中途返回请按“ESC” 键,四、圆环,圆环的投影：,画母线圆圆心轨
13、迹,画转向线,画轴线,判别可见性，图线加粗,中途返回请按“ESC” 键,画母线圆,圆环投影图分析：,外环面水平面转向线,内环面正面转向线,内环面水平面转向线,外环面正面转向线,内、外环面分界线,内环面,外环面,环面,中途返回请按“ESC” 键,例11 已知圆环面上的点A、B 的一个投影，求它们的另 一个投影,中途返回请按“ESC” 键,例12 已知圆环面上的曲线AD 的水平投影，求正面投影,中途返回请按“ESC” 键,常见回转体的形成,退 出,表 7-1 常见回转体,圆 柱 体,回转面形成规律,母线:与轴线平 行的直线,轴线:直线,轴线:直线,母线:圆或圆弧,轴线:圆的直径,母线:圆或圆弧,轴
14、线:不经过圆心而 与之同平面的 直线,直观图,圆 锥 体,圆 球 体,圆 环 体,母线:与轴线相 交的直线,直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、旋 转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状面、 柱状面等属于非旋转直纹面。,6-3 直纹面,一、柱面,直母线l 沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方向T，这样形成的曲面称为柱面。柱面的所有素线均互相平行，画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。,6-3 直纹面,在柱面上求点的投影，一般可用素线法。,6-3 直纹面,柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取 名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面是椭圆
15、时，称为椭 圆柱面，等等。如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为 柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。,6-3 直纹面,二、锥面,直母线沿着一条曲导线C 运动，且始终通过定点S，这样形成的曲面称为锥面。S 称为锥顶，所有的素线都相交于此。在投影图上，应画出锥顶、曲导线和锥面外形线的投影。,6-3 直纹面,在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截 出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。下面是几种有轴的锥面。,6-3 直纹面,三、切线面,直母线l 沿着一条曲导线C 运动，且 始终与C 相切，这样形成的曲面称为切线 面。曲导线C 是空间曲线，称为切线面的 脊线。,6-3 直纹面,工
16、程中弯曲坡道两侧的边 坡往往设计成切线面，并且使 切线面的所有切线与地面成同 一角度，这样设计成的切线面 称为同坡曲面（盘旋面）。,投影中作出除曲导线和外形线的投影外，还应作出切线面与地面的交线和切线面上若干条素线的投影。,直母线l 沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平行于某 一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程上也称扭面。,6-3 直纹面,四、双曲抛物面,双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投 影，而不必画出导平面。,6-3 直纹面,双曲抛物面在工程上有广泛的用途。,水渠边坡渐变段,道路边坡过渡段,6-3 直纹面,对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、
17、BC为交叉 直导线，以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。 也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的 所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。,直母线l 沿一条直导线EF 和一条曲导线ABC 运动，且始终平行于导平面P（P 平行于两条导线端点的连线AE 和CF ），这样形成的曲面称为锥状面。投影中只需表示两条导线和若干条素线的投影,6-3 直纹面,五、锥状面,6-3 直纹面,六、柱状面,直母线l 沿着两条曲导线运动，且始终平行于某一导平面，这样形成的曲面称为柱状面。,柱状面桥墩,柱状面管道,6-3 直纹面,柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉
18、状态。投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平面。,以正平面为导平面的柱状面管道,6-3 直纹面,七、旋转单叶双曲面,直母线绕一条与它交叉的直线OO旋转，这样形成的曲面称为 旋转单叶双曲面，直线OO称为旋转轴。,6-3 直纹面,投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨迹的投影，以及素线的包络线。,6-3 直纹面,旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。,6-3 直纹面,工程用例：水塔支架 冷却塔,6-3 直纹面,八、螺旋面,分别以圆柱螺旋线和其轴线为导线，直母线l 沿此两导线移动 而又同时与轴线保持一定的
19、角度，这样形成的曲面称为螺旋面。若 母线与轴正交，得到 的叫正螺旋面，否则 得到的叫斜螺旋面。,6-3 直纹面,1. 正螺旋面,投影图,直观图,6-3 直纹面,塔柱上的螺旋楼梯,6-3 直纹面,应用实例：螺旋楼梯的作图,由1向上Ph/12作竖直线，再作水平线，构建台阶。向下B，再作螺旋线，构建厚度。,6-3 直纹面,2. 斜螺旋面,在作出螺旋线的正面投影的基础上，首先 作一条平行于V 面的素线，使其与轴的夹角等 于定角，如图中的001。自01起向上量取导 程并按水平投影的等分数将其等分，过各分点 与螺旋线正面投影上相应点0、1、12连 接，即得螺旋面的素线的正面投影，最后画出 素线的包络线，完
20、成螺旋面的正面投影。,6-4 曲线面,一、球面,圆绕其任一直径旋转生成球面。所以球面被任一平面截割， 其交线均为圆。球的任一正投影也总是圆。圆的直径等于球的直 径。,圆球,轴线,圆球表面无直线！,形成,圆绕其直径旋转 而成,球面,圆球面的形成,6-4 曲线面,6-4 曲线面,二、环面,圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。外半圆周生成外环面，内半圆周生成内环面。,圆环,形成,圆绕与其共面、但 不通过圆心的轴线 旋转而成,轴线,圆环面,圆环面的形成,6-4 曲线面,图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最 高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其中内半圆的 投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包 括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。,圆环的投影,赤道圆,喉圆,母线圆圆心轨迹,内环面,外环面,
