1、1习题与思考题三解答1. 简述光学谐振腔的作用。2. CO2激光器的腔长 L=100cm，反射镜直径 D=1.5cm，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985，r2=0.8 。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的 ,。解答 1衍射损耗: 180750622.).(aLsc887531输出损耗: 1909021 .).ln(.rlnscL887230解答 2：（1 ）输出损耗由腔镜反射不完全引起。初始光强为 I0 在无源腔内往返一次后光强衰减为 I1，则：212102012 81 8 861111lnl0.19.95*.2.70.*3/3*0/2 2.7*104.9*10.6RRRIerILcmsc
2、sQ s AAA（2 ）衍射损耗：腔的菲涅耳数 222282 8 622241*10.60.1(.5).7*0.1*30/23.15*0dRdRRddaDNLcmscsccLQA3. 利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意近轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证明如下：（共焦腔的定义两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是 和 ，腔长为 ，根据
3、对称共焦腔特点可知：1R2L因此，一次往返转换矩阵为3 2111212RLRLRLDCBAT把条件 带入到转换矩阵 T，得到：LR21 10DCBA共轴球面腔的稳定判别式子 21A如果 或者 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据12DAD情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式 ，2T102T坐标转换公式为： 1120rrT其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。4. 分别
4、按下图 3-48(a)(b)中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵，并证明这两种情况下的 (A+D)相等。( ) 124解： 1234T(a) DCBALRL102012RLA4212D24121RL(b) DCBALRLT00121A24112D24121RL5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作物质长 0.5m，其折射率为 1.52.求腔长 L 在什么范围内是稳定腔？解答如下：设腔长为 ，腔的光学长度为 ，1L已知 ， ， ， ， ，IMR12M5.0152.根据，212121RLDA代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到： 2212
5、1 LMLL因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里 L 应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。即，52.101201LL代入上式，得到： 2112 5.052.012 LLDA要达到稳定腔的条件，必须是5，121DA按照这个条件，得到腔的几何长度为：，71L单位是米。解答完毕。6. 设光学谐振腔两镜面曲率半径 R1=-1m，R2=1.5m，试问：腔长 L 在什么范围内变化时该腔为稳定腔？解： 1)32(*)1(0)1(*)(02 RL所以： mL237. R=100cm,L=40cm 的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？ HzLcq 88 10*75.34.0*21V8
6、. 腔长为 0.5m 的氩离子激光器，发射中心频率 0=5.851014Hz，荧光线宽=6108Hz。问可能存在几个纵模? 相应的 q 值为多少？解：纵模间隔为:，HzLcq 881035.2，268qn则可能存在的纵模数有 3 个，它们对应的 q 值分别为：，6814095.03.52cLqq 1=1950001，q1 19499999. He-Ne 激光器的中心频率 0=4.741014Hz，荧光线宽 =1.5109Hz，腔长L=1m，问可能输出的纵模数为多少？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？6解：（1 ） = = = =1.5 HzqL2c120388输出纵模数为 N= +1= +1=
7、11q890.5（2 ） ，即= = = =1.5 /L1.5qL2c10388910则 L0 ，并且 z2=-z1=z，f 为等价共焦腔焦距,所以 2z1-L/zf/fR(z)2 )-()-1 22 L/2zf等价共焦腔腔长 L=2f=2L。所以镜面上基模光斑半径为=L0s21116. 有一凹凸腔 He-Ne 激光器，腔长 L=30cm，凹面镜的曲率半径 R1=50cm，凸面镜的曲率半径 R2=30cm.(1) 利用稳定性条件证明此腔为稳定腔。(2) 求此腔产生的基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置。(3) 求此腔产生的基模高斯光束的远场发散角。17. 有一平凹腔，凹面镜曲率半径 R=5m,腔长
8、 L=1m，光波长 =0.5m.求：（1 ） 两镜面上的基模光斑半径；（2 ） 基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置；（3 ） 基模高斯光束的远场发散角。解：(1) 4152 )()LR(f等价共焦腔腔长 L=2f=4m， =0.5m12, 20)/(1z)(fz mL56.02/0zmz m63.)2/1()2(12 5.0时 ， 时 ，(2)腰斑半径 ，束腰在 z=0 处，与平面镜重合。56./L0rad 0.564/2/f2018. 设计一对称光学谐振腔，腔长 L=2m,波长 =10.6m.如选择凹面镜曲率半径R=L，试求镜面上光斑尺寸。若保持 L 不变，选择 RL，并使镜面上光斑尺寸0s=
9、0.3cm,问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？解：（1 ）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）： mLs 597.2106.21 （2 ）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是 ，LR21根据（3-160）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与 L 近似相等的解 R=1.204m）： mRRLRs 91.53)2(597.2)()(41412412 （3 ） mfwLf 735.291.406.1 216.4).(20 19. 某共焦腔 Ne-Ne 激光器，波长 =0.6328m,若镜面上基模光斑尺寸为 0.5mm，试求共焦腔的腔长。若腔长保持不变，而波长 =3.39m，此
10、时镜面上光斑尺寸为多少？解：（1）因为镜面上光斑尺寸为：13，L0s所以等价共焦腔腔长 /L20s当 =0.6328 ， =0.5mm 时， m0s=1.24m/20s(2)当 =3.39 时，=1.16mL0s20. 图 3-49 为四平面反射镜（M1M4）构成的环形腔，在 M1 和 M4 之间放置一个薄透镜，其焦距为 f(0)，整个腔长为 L=2(2L1+L2)。（1 ） 确定该腔的稳定性区间。（2 ） 画出该腔的双球面镜等价腔，并标出腔参数。（3 ） 若 f=20cm,L1=5cm,L2=10cm,=514.5nm.求该腔的束腰大小，位置和谐振频率。1421. 一台激光器如图 3-50 所示，一个长度为 d 的激光介质置于腔长为 L 的平凹腔中，平面镜 M1 为全反镜，球面镜 M2 的曲率半径为 R2，反射系数为 r2，不考虑增益介质，（1 ）确定激光器的稳定性条件；（2 ）求束腰的大小及位置；（3）求输出镜处的光束曲率半径。22. 一虚共焦非稳腔，工作波长 =1.06m,腔长 L=0.3m,有效菲涅尔数 Nef=0.5,往返损耗率 =0.5，试求单端输出时，镜 M1 和 M2 的线度和曲率半径。
