1、自平衡车模型分析对于车体模型，假设已知各机械参数常量：参数名称 参数意义L除两轮以外其余部分重心距车轴距离R车轮半径D两轮间距离pm除两轮以外其余部分质量车轮质量xJ沿 X 轴的除两轮以外刚体的转动惯量y沿 Y 轴的除两轮以外刚体的转动惯量zJ沿 Z 轴的除两轮以外刚体的转动惯量车轮绕轴心转动惯量RJ车轮绕半径转动惯量设置各状态变量以及控制变量：参数名称 参数意义除两轮以外刚体的倾斜角度，以顺时针为正gmpLRR2DXYZ YL左轮转过角度，以顺时针为正R右轮转过角度，以顺时针为正LM左轮电机力矩，以顺时针为正R右轮电机力矩，以顺时针为正通过拉格朗日方程对其进行动力学分析。一、求解车体除两轮外
2、部分动能车体沿 X 轴方向速度： RLVLx2)(cos车体沿 Y 轴方向速度： DRLy)(sin车体沿 Z 轴方向速度 siVz车体沿过质心的 Z 轴的转动惯量为： myzJJyz dinco22由于假设车体关于 ZY 平面对称，因此 因此0dz22sicyzJJ则可以得到车体的平动动能： 2221 )sin()(sin)(cos2 LRDLRLELLkp（车体的转动动能为： 2222 )()sic( xRLyzkp JJ则车体的总动能为： 21kpkpE二、 求解车轮动能左车轮平动速度为： RVLxw右车轮平动速度为RVxw两轮有同样的绕垂直于半径的转动速度： DRLw)(则左车轮的动能
3、为： 222 )(1)(1RJmELRLLkwL 则右车轮的动能为： 222 )()( DJRRLRkwR三、求解车体势能由于在平地上行进，车轮势能不变。车体整体势能可变部分表示为： cosgmEp四、拉格朗日函数的求解得到最终的拉格朗日函数为： pkwkpELLR21依据拉格朗日动力学法求解，进行如下运算： RLMdtLLtRRMdt得到动力学方程：方程一： RL RLzyppRLpxpM DJLmgmJ 222 )(cosinsin2)(cos) （方程二： LRLLRLzyp Rzyppp MDJmDJLm DJR 222 222222 )()(cosin )(cossini41cos1
4、 方程三： RLRRRLzyp RLzyppp DJmDJLm JR 222 222222 )()(cosin )(cossini41cos1 五、方程中各项的力学意义分析方程一中： )2xpJL（表示的是让车体产生 的角加速度，应该产生的合力矩为 ，其中转轴为 )2xpJLm（车轮中心。 RLmLp2)(cos是以车底盘为参考系而产生的非惯性力的力矩。 singp是重力产生的力矩。 22 )(cosiRDJLmLzyp 是离心力的力矩。 RLM为电机产生的力矩。方程二中：对于轮子的受力分析中，由于车体自身有加速度以及角加速度，因此需要从轮轴给予车体一定的力产生加速度。在轮子上，由于轮轴收到车
5、体的反作用力，为了让轮子产生抵消车轮轴心收到的作用力，需要由地面给予车轮额外的作用力。因而为了让车轮能够以预计的角加速度运转，力矩不仅要为角加速度提供力矩，还应克服地面产生的作用力的力矩。 cos21LRmp为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为转动速度改变造成的加速度水平分量 4)(2RLp为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为底盘的加速度。与之前加起为总的水平加速度。 sin212LRmp为车体离心力在水平方向产生的力矩 2222 )(cossisinDRJLLzyp是车体在 XY 平面绕 Z 轴旋转角加速度所需要的力矩转移到轮上的力矩。所以在两
6、个轮上方向不相同。 22 )(cosinJLmRLzyp 为使车体克服摆动造成的柯里奥利力力矩，而由轮子为车体提供力矩时，轮子收到的反作用力造成的力矩。 R2为让车体产生 的加速度所需要的力矩R RJ为让车体产生 的角加速度所需要的力矩R 2)(DJRL为让车体产生绕半径转动的角加速度所需要的力矩六、控制矩阵令： 2222221 cossinsi4 DRJmDRJLmRKzypp 222222 ii JJRzypp 23 )(cosinsin LgKLzypp i2124Rmp25 )(cosinDRJLLzyp 则有控制矩阵： RLRLp ppxp MKKLRmmLRJ 1002cos012cos2cos0 5431212 此为非线性控制方程，可以用于 matlab 仿真将其在小角度线性化以后，得到： RLRLpRLp ppxp MgmKLRmLJ 100102cos012coscs01212
