1、2019 八上几何综合题2019 昌平 八上27. 在ABC 中，AB=AC，BAC =90. 过点 A 作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为点 D，连接 BD，CD，直线 BD 交直线 AP 于点 E（1）依题意补全图 27-1； （2）在图 27-1 中，若PAC=30，求ABD 的度数；（3）若直线 AP 旋转到如图 27-2 所示的位置，请用等式表示线段 EB，ED，BC 之间的数量关系，并证明27. 解：（ 1）补全图形如下图:（2 ）连接 AD.由轴对称的性质可得：PAD =PAC =30，AD =AC. 2 分AB=AC ,AD=AB. 3 分BAC=90,BAD=1
2、50.AB CPED图 27-1 1 分AB CPED图 27-1 图 27-2AB CP PAB CABE=15. 4 分（3 ）补全图形，连接 CE，AD.由轴对称的性质可得：CE= DE，AD= AC，ACE=ADE . 5 分AB=AC，AD=AB.ADB=ABD.ACE=ABD.ABD+ABE=180 ，ACE+ABE =180.在四边形 ABEC 中，BAC+ABE +BEC+ACE=360，又BAC=90，BEC =90. 6 分BE 2+CE2=BC2.EB 2+ED2=BC2. 7 分2019 朝阳 八上27已知 C 是线段 AB 垂直平分线 m 上一动点，连接 AC，以 A
3、C 为边作等边三角形 ACD，点 D 在直线 AB 的上方，连接 DB 与直线 m 交于点 E，连接 BC，AE（1 ）如图 1，点 C 在线段 AB 上根据题意补全图 1；求证：EAC= EDC；（2 ） 如图 2，点 C 在直线 AB 的上方， 0CAB30 ，用等式表示线段 BE，CE，DE 之间的数量关系，并证明D PAB CE图 1 图 227解：（1）补全图形如图所示证明：直线 m 是 AB 的垂直平分线，EA=EB，CA=CB EAC= B ACD 是等边三角形，CA=CDCD=CBEDC=BEAC= EDC（2）BE=CE+DE 证明：如图，在 EB 上截取 EF，使 EF=C
4、E，连接 CF直线 m 是 AB 的垂直平分线，EA=EB，CA=CB EAB =EBA，CAB=CBA EAC= EBCACD 是等边三角形，CA=CD， ACD=60CD=CBEDC=EBCEDC=EAC1=2，DEA=ACD=60 AEB =120EA=EB，m AB，AEC= BEC=60CEF 是等边三角形CEF=CFE=60CDFCBEDF=BEBE=CE+DE2019 大兴 八上28. 已知:如图, 过等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 A 作直线 AP，点 B 关于直线 AP 的对称点为 E，连接 BE，C E，其中 CE 交直线 AP 于点 F.（1 ）依题意补全图形；（2
5、）若PAB=16，求ACF 的度数； （3 ）如图，若 4590，求证：ABC DEF 26解：（1）ABCDEF（依据：HL）1 分MDDFE3 分（2）选择 C 4 分（3）证明：如图，过点 C 作 CGAB 交 AB 的延长线于点 G，过点 F 作 DHDE 交 DE 的延长线于点 H，CBA= FED ，180 CBA=180FED，即CBG=FEH， 5 分在CBG 和FEH 中，90CBGFEHCBGFEH（AAS） ，CG=FH ，在 Rt ACG 和 RtDFH 中， ，ACDFGHRtACG Rt DFH（HL） ，A=D， 6分HGBCFED图 3ABCFED在ABC 和D
6、EF 中， ，CBAFEDABCDEF（AAS ） 7 分2019 石景山八上28 是等边三角形， ，点 关于 对称的点为 ，点 是直线 上ABC 2ACABCPB的一个动点，连接 ，作 交射线 于点 P60DD（1）若点 在线段 上（不与点 ，点 重合） B如图 1，若点 是线段 的中点，则 的长为 ；P如图 2，点 是线段 上任意一点，求证： ；C A（2）若点 在线段 的延长线上 P依题意补全图 3；直接写出线段 ， ， 之间的数量关系为： BDAP28 （1） 2 分3证法一：作 交 于点 ，如图 1 3 分60BPEAE 是等边三角形，C （等边三角形的三个角都是 ） 60点 与点
7、关于 对称，B ，60APE= 4 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形） PE （等边三角形的三边都相等） ，B5120D= ， ，63260CDCBAPC DCBAP C CABP图 1 图 2 图 3 54132ECDCABP图 1 （等量减等量，差相等） 4 分13在 和 中，PBD EA,5, （ ） PB EA S （ 全等三角形的对应边相等） 5 分D证法二：延长 到点 ，使 ，连接 ，如图 2 3 分BDPE 是等边三角形（已知） ，C （等边三角形的三个角都是 ） 60AB60点 与点 关于 对称（已知） ， 12PD=在 和 中，BE , （ ） PBE D SA
8、 （全等三角形的对应边相等） ， 4 分（全等三角形的对应角相等） 3 ，60AF（对顶角相等） ，PB （三角形内角和定理） 2 （等量代换） E （等角对等边） A又 （已证） ，PD （等量代换） 5 分证法三：延长 到点 ，使 ，CBEBA连接 ，如图 3 P可证 （ ） S再证 是等腰三角形D证法四：连接 ，在 上截取 ，CACEP连接 ，如图 4 PE321FECDCABP图 22123EFCDCBAP图 3 可证 （ ） PBD AE S证法五：过点 作 交 的延长线于点 ， 于点 ，如图 5PMCBMPNAB可证 （ ） D NA S（2）补全图形，如图 6 所示； 6 分 7
9、 分BP2019 通州八上28. 在等边 AC中，（1 ）如图 1，P ，Q 是 BC 边上两点，AP=AQ ， 20BAP，求 QB的度数；（2 ）点 ,是 B边上的两个动点（不与 ,C重合） ，点 在点 的左侧，且A，点 关于直线 A的对称点为 M，连接 ,.依题意将图 2 补全；求证： .PM图 1 图 228. （1）解： ABC 为等边三角形B=60APC=BAP+B=80AP=AQAQB= APC=80(2 分) （2） 补全图形如图所示 . (4 分) QPCAB CAB54123EFCDCBP 123MNFCDCBAP图 4 图 5C DCBP图 6MQCABP证法不唯一证明：
10、过点 A 作 AHBC 于点 H，如图.由ABC 为等边三角形， AP=AQ，可得PAB=QAC. (5 分) 点 Q，M 关于直线 AC 对称，QAC=MAC，AQ=AMPAB=MAC，AQ =AMPAM =BAC=60(6 分) APM 为等边三角形PA=PM. (7 分) 2019 西城八上26在 ABC 中，ABAC，在ABC 的外部作等边三角形ACD，E 为 AC 的中点，连接DE 并延长交 BC 于点 F，连接 BD （1 ） 如图 1，若 BAC=100， 求BDF 的度数；（2 ）如图 2，ACB 的平分线交 AB 于点 M，交 EF 于点 N，连接 BN补全图 2；若 BN=
11、DN，求证： MB=MN图 1 图 2（1 ）解：B DACEFB DACEFMQHCABP在等边三角形ACD 中， CAD = ADC =60， ADAC E 为 AC 的中点，ADE = ADC30 2 分12 ABAC， ADAB BAD=BAC+ CAD160 ADB =ABD10 BDF=ADF -ADB20 4 分（2 ） 补全图形； 证明：连接 AN CM 平分 ACB， 设 ACM= BCM= ABAC， ABC =ACB=2 在等边三角形ACD 中， E 为 AC 的中点，DNAC NA=NC NAC= NCA= DAN=60+ 在ABN 和ADN 中， ,BAN ABN A
12、DN ABN= ADN30 ， BAN=DAN6 0+ NB DACEFM BAC 6 0+ 2 在ABC 中， BAC+ ACB + ABC180 ， 60+ 2 + 2 +2 =180 =20 NBC= ABC- ABN= 10 MNB= NBC+ NCB=30 MNB= MBN MB=MN 8 分2019 延庆八上27.如图，MON 45，点 A 是 OM 上一点，点 B，C 是 ON 上两点，且 AB AC，作 出点 B 关于 OM 对称的点 D，连接 AD，CD（1 ）按要求补全图形；（2 ）判断DAC ；（3 ）判断 AD 与 DC 的数量关系 ，并证明27解：（1）如图 2 分
13、（2）DAC=90 3 分 （3） 4 分 ADC2证明：点 B 与点 D 关于 AO 对称BD 被 AO 垂直平分AD=AB又AB=ACAD=AC 5 分ABC=ACB=O+OABBAC= AB290DAC=90 6 分ADC 是等腰直角三角形 7 分DC22019 延庆八上28如图，在ABC 中，ABC 15，AB ，BC 2，以 AB 为直角边向外作等腰直角BAD，且BAD=90；以 BC 为斜边向外作等腰直角BEC，连接 DE （1 ）按要求补全图形；（2 ）求 DE 长；（3）直接写出ABC 的面积28解：（1）如图所示 2 分（2） 连接 DC 解：ABD 是等腰直角三角形, AB
14、= ，BAD=90. AB=AD= ，ABD=45.2由勾股定理得 DB=2. DBC=ABC+ ABD=60.EDCBAFEDCB ABC=2. BC=BD.BCD 是等边三角形.BD= CD=2.D 点在线段 BC 的垂直平分线上.又BEC 是等腰直角三角形.BE=CE ，CEB=45E 点在线段 BC 的垂直平分线上.DE 垂直平分 BC.BF= BC=1， BFE=9021FBE= BEF=45BF=EF=1RtBFD 中，BF =1，BD=2由勾股定理得 DF= 3 DE= DF+EF= 6 分1（3） 7 分22019 燕山八上27 已知 BC5，AB 1 ，ABBC ，射线 CM
15、BC，动点 P 在线段 BC 上( 不与点 B，C 重合)，过点 P 作 DPAP 交射线 CM 于点 D，连接 AD(1) 如图 1，若 BP4，判断ADP 的形状，并加以证明(2) 如图 2，若 BP1，作点 C 关于直线 DP 的对称点 C，连接 AC 依题意补全图 2； 请直接写出线段 AC的长度AB CDMP图 2图 1PMCBA27 (1) ADP 是等腰直角三角形 1分证明：BC5，BP4，PC1，AB 1，PCAB 2 分AB BC， CMBC，DPAP，BC90 ，APBDPC90，PDCDPC90，APBPDC， 3 分在ABP 和PCD 中，BCAPD， ，ABP PCD
16、， 4分APPD，APD90 ，ADP 是等腰直角三角形 5 分(2) 依题意补全图 2； 6 分 AC 7 分102019 顺义八上30数学课上，老师给出了如下问题：已知：如图 1，在 Rt ABC 中，C=90，AC=BC，延长 CB 到点 D，DBE=45，点 F是边 BC 上一点，连结 AF，作 FEAF，交 BE 于点 E（1 ） 求证：CAF=DFE ；（2 ） 求证： AF=EFPMDCBACG 图3图2图1 ACBDEFACBDEFFEDBCA经过独立思考后，老师让同学们小组交流小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边 AF 和 EF 的全等三角形，因此我过点 E
17、作 EGCD 于 G（如图 2 所示） ，如果能证明 RtACF 和 RtFGE 全等，问题就解决了但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样做辅助线行不通 ”小亮同学说：“既然这样做辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法 ”请你顺着小亮同学的思路在图 3 中继续尝试，并完成（1） 、 （2）问的证明30 证 明 ： （ 1） C=90， CAF 1 90 .1 分FEAF， DFE 1 90 .2 分 CAF DFE .3 分（2）在AC 上截取AG=BF ，连结FG ，如图4 4 分AC= BC， AC AG BC BF 即 CG= CFC=90，CGF CFG 45 AGF 1
18、80 CGF 135 DBE=45，FBE 180 DBE 135 AGF FBE .5 分由 （ 1： CAF DFE AGFFBE（ ASA .6 分AF=EF 7 分2019 丰台八上28如图，Rt ABC 中，ACB = 90，AC = BC，点 D 为 AB 边上的一个动点(不与点A，B 及 AB 中点重合)，连接 CD，点 A 关于直线 CD 的对称点为点 E，直线 BE，CD交于点 F.（1）如 图 1， 当 ACD = 15时 ， 根 据 题 意 将 图 形 补 充 完 整 ， 并 直 接 写 出 BFC 的 度 数 ；（2）如图 2，当 45 ACD 90时，用等式表示线段 AC，EF，BF 之间的数量关系，并加以证明.图 1 图 2DA BC DA BC
