1、2016 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1设集合 A=2，1，0，1，2，集合 B=（，0，在 AB=（ ）A1 ，2 B2， 1 C2， 1，0 D1 ，2，02一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为 40、0.125，则 n 的值为（ ）A640 B320 C240 D1603不等式 1 的解集为（ ）A （，1） B （0，1） C （1，+） D （，0）（1，+）4在ABC 中， A，B， C 的对边分别为 a，b，c，且 a=1，b=2 ，c
2、= ，则C= （ ）A120 B60 C45 D305已知命题 p：x0，x+ 2，命题 q： 00，使 f（x）=sin （2x+ 0）是偶函数，下列正确的是（ ）Ap 是假命题 Bq 是假命题 Cp（q）是真命题 D （p）q 是假命题6一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（ ）A6 B12 C24 D367执行如图所示的程序框图，则输出的 n 为（ ）A3 B4 C5 D68设 P（x，y）满足 ，点 A（2，0） ，B （0，3） ，若 = + ，O 是坐标原点，则 + 的取值范围是（ ）A2，4 B ， C ，2 D1 ，29点 P 在直线 3x+4y10=0 上，过点 P
3、作圆 x2+y2=1 的切线，切点为 M，则 （O 是坐标原点）的最小值是（ ）A2 B C D310设 f（x）=ax|lnx|+1 有三个不同的零点，则 a 的取值范围是（ ）A （0，e） B （0，e 2） C （0， ） D （0， ）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11若x|x 2+ax+b0=x|1x3，则 a 的值等于 12若双曲线 =1（b0）的一条渐近线为 x+ y=0，则离心率 e= 13已知球的内接正方体的棱长为 1，则该球的表面积为 14设 =（cos，sin） ， =（cos ，sin ）且 = ，则 在 方向上的投影为 15设 F（a
4、，b）= ，有关 F（a，b）有以下四个命题：a0， b0R，使得 F（a 0，b 0）0；若 a，b，cR，则 F（a，b）+F（b，c）F（c，a ） ；不等式 F（x，2） F（1 x，1）的解集是1 ，+） ；若对任意实数 x，mF（x，2）+F（x，2）2m+6 恒成立，则 m 的取值范围是1，+ ） 则所有正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的 500 名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于 125 分为优秀（1）若用分层
5、抽样的方法从这 500 人中抽取 4 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（2）在（1）中抽取的 4 名学生中，随机抽取 2 名学生参加分析座谈会，求恰有 1 人成绩为优秀的概率区间 人数115，120） 25120，125） a125，130） 175130，135） 150135，140） b17四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD已知：ABC=45，AB=2，BC=2 ，SB=SC，直线 SD 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 O 为 BC 的中点（1）证明：SA BC；（2）求四棱锥 SABCD 的体积18已知函数 f（x）=2s
6、in （x+ ）+sinxcosx sin2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若实数 t0， ，求函数 f（x）的值域19已知数列a n满足 a1=1， an+1=2an；数列b n满足 b1=3，b 2=6，且b nan为等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和 Tn20设函数 f（x）=lnx+ax 2+bx （a，b R） （1）曲线 y=f（x）上一点 A（1，2） ，若在点 A 处的切线与直线 2xy10=0 平行，求 a，b的值；（2）设函数 y=f（x）的导函数为 y=f（x） ，若 f（2）= ，且函数 y=f（x）在（0，+）是单调
7、函数，求 a 的取值范围21设椭圆 + =1（ab0） （1）若 F，A 分别是椭圆的右焦点，右顶点，H 是直线 x= 与 x 轴的交点，设=f（e） （e 为椭圆的离心率） ，求 f（e）的最大值；（2）若点 P（x 0，y 0）是椭圆上任意一点，从原点 O 作圆（xx 0） 2+（y y0） 2= 的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为 k1，k 2，求 k1k2 的值2016 年四川省凉山州高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1设集合 A=2，1，0，1，2，集合 B=（
8、，0，在 AB=（ ）A1 ，2 B2， 1 C2， 1，0 D1 ，2，0【考点】交集及其运算【分析】根据交集的定义求出其元素即可【解答】解：集合 A=2，1，0，1，2，集合 B=（，0，AB=2，1，0 ，故选：C2一个容量为 n 的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为 40、0.125，则 n 的值为（ ）A640 B320 C240 D160【考点】用样本的频率分布估计总体分布【分析】在频率分布直方图中，频数、频率和样本容量三者之间的关系是频率= ，根据公式代入数据，得到结果【解答】解：由频数、频率和样本容量之间的关系得到，=0.125，n=320故选 B3不等式 1 的解集
9、为（ ）A （，1） B （0，1） C （1，+） D （，0）（1，+）【考点】其他不等式的解法【分析】不等式 1 等价于 x（x1）0，解得即可【解答】解：不等式 1 等价于 10，即为 0，即为 x（x 1）0，解得0x1，故不等式的解集为（0，1） ，故选：B4在ABC 中， A，B， C 的对边分别为 a，b，c，且 a=1，b=2 ，c= ，则C= （ ）A120 B60 C45 D30【考点】余弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求 cosC，结合 C 的范围即可得解【解答】解：在ABC 中，a=1，b=2，c= ，cosC= = = C（0，180） ，C=120故选：A5已知
10、命题 p：x0，x+ 2，命题 q： 00，使 f（x）=sin （2x+ 0）是偶函数，下列正确的是（ ）Ap 是假命题 Bq 是假命题 Cp（q）是真命题 D （p）q 是假命题【考点】复合命题的真假【分析】利用基本不等式的性质即可判断出命题 p 的真假对于命题 q：取 0= 0，则f（x）=sin （ 2x+0）=cos2x 是偶函数，即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题 p：x0 ，x+ 2 =2，是真命题命题 q： 0= 0，使 f（ x）=sin （2x+ 0）=cos2x 是偶函数，是真命题只有q 正确故选：B6一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的
11、体积是（ ）A6 B12 C24 D36【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中棱锥的三视图，我们可以判断出几何体的形状及长、宽、高等几何量，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥其底面长和宽分别为 3，4，棱锥的高是 3故棱锥的体积 V= Sh= 343=12故选 B7执行如图所示的程序框图，则输出的 n 为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程序框图【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果【解答】解：根据题意，模拟执行程序，可得n=1，S=0满足条件 S100，S=3，n=2满足条件 S100，S=3+3 2， n
12、=3满足条件 S100，S=3+3 2+33=39，n=4满足条件 S100，S=3+3 2+33+34=120，n=5不满足条件 S100，退出循环，输出 n 的值为 5故选：C8设 P（x，y）满足 ，点 A（2，0） ，B （0，3） ，若 = + ，O 是坐标原点，则 + 的取值范围是（ ）A2，4 B ， C ，2 D1 ，2【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】可以作出不等式组所表示的平面区域，而由 可以得到 ，从而得到 ，可设 ，可变成 ，从而该方程表示斜率为的一族平行直线，直线在 y 轴上的截距最小时 z 最小，截距最大时 z 最大，从而结合图形便可求出 z 的最大、最小
13、值，即得出 + 的取值范围【解答】解：如图，不等式组 所表示的区域为图中阴影部分：由 得， （x，y）=（2，0）+ （0，3） ； ； ；设 ，则 ，表示斜率为 的一族平行直线，3z 为直线在 y 轴上的截距；由图形看出，当直线过 C（1 ，1）时，截距最小，即 z 最小；此时 ，z 的最小值为 ；当直线过 D（3，1）时，截距最大，即 z 最大；此时 ，z 的最大值为 ；+ 的取值范围为 故选：B9点 P 在直线 3x+4y10=0 上，过点 P 作圆 x2+y2=1 的切线，切点为 M，则 （O 是坐标原点）的最小值是（ ）A2 B C D3【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关
14、系【分析】作出图形，可得到 ，从而问题转化为求 PO 的最小值，而 O 到直线 3x+4y10=0 的距离便是 PO 的最小值，根据点到直线的距离公式便可求出 PO的最小值，从而得出 的最小值【解答】解：如图，= =PO21；PO 的最小值为 O 到直线 3x+4y10=0 的距离： ； 的最小值为 3故选：D10设 f（x）=ax|lnx|+1 有三个不同的零点，则 a 的取值范围是（ ）A （0，e） B （0，e 2） C （0， ） D （0， ）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理【分析】由 f（x）=ax|lnx|+1 有三个不同的零点，可得 ax+1=|lnx|有
15、三个不同的零点，画出图形，数形结合得答案【解答】解：如图，由 f（x） =ax|lnx|+1 有三个不同的零点，可得 ax+1=|lnx|有三个不同的零点，画出函数 y=|lnx|的图象，直线 y=ax+1 过定点（0，1） ，当 x1 时，设过（0，1）的直线与 y=lnx 的切点为（x 0，lnx 0） ，由 y=lnx，得 y= ，y = ，切线方程为 ，把（0，1）代入得：lnx 0=1，即 x0=e ，即直线 y=ax+1 的斜率为 a= 则使 f（x）=ax|lnx|+1 有三个不同的零点的 a 的取值范围是（0， ） 故选：C二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 2
16、5 分.11若x|x 2+ax+b0=x|1x3，则 a 的值等于 2 【考点】集合的相等【分析】不等式 x2+ax+b0 的解集是x 丨1x 3，可知： 1，3 是 x2+ax+b=0 的解，利用根与系数的关系即可得出【解答】解：x|x 2+ax+b0=x|1x3，1，3 是方程 x2+ax+b=0 的两个根，1+3=a，a=2，故答案为：212若双曲线 =1（b0）的一条渐近线为 x+ y=0，则离心率 e= 【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件解得 b= ，求得 c，再由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 =1（b0）的渐近线方程为 y= x，由渐近
17、线方程 x+ y=0，即 y= x，可得 = ，解得 b= ，c= = = ，可得 e= = 故答案为： 13已知球的内接正方体的棱长为 1，则该球的表面积为 3 【考点】球的体积和表面积【分析】由球的内接正方体棱长为 1，先求内接正方体的对角线长，就是球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：球的内接正方体的棱长是 1，它的对角线长为 ，球的半径 R= ，这个球的表面积 S=4（ ） 2=3故答案为：314设 =（cos，sin） ， =（cos ，sin ）且 = ，则 在 方向上的投影为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出 和 ，代入向量的投影公式计算【解答】解： =coscos+s
18、insin=cos（ ）= | |=| |=1， 在 方向上的投影为 = 故答案为： 15设 F（a，b）= ，有关 F（a，b）有以下四个命题：a0， b0R，使得 F（a 0，b 0）0；若 a，b，cR，则 F（a，b）+F（b，c）F（c，a ） ；不等式 F（x，2） F（1 x，1）的解集是1 ，+） ；若对任意实数 x，mF（x，2）+F（x，2）2m+6 恒成立，则 m 的取值范围是1，+ ） 则所有正确命题的序号是 【考点】分段函数的应用【分析】函数实际为 ab 的绝对值的 2 倍，根据绝对值定理和性质进行判断即可；用了恒成立问题的转换，只需求出左侧的最小值即可【解答】解：F
19、（a，b）= ，F（ a， b）0，故错误；根据绝对值不等式定理可知正确；根据绝对值不等式的性质可转化为（x 2） 2x2，解得：解集是1，+） ，故正确；根据绝对值不等式定理可得 4 ，解得 m 的取值范围是（1，+） ，故错误故答案为：三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的 500 名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于 125 分为优秀（1）若用分层抽样的方法从这 500 人中抽取 4 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（2）在（1）
20、中抽取的 4 名学生中，随机抽取 2 名学生参加分析座谈会，求恰有 1 人成绩为优秀的概率区间 人数115，120） 25120，125） a125，130） 175130，135） 150135，140） b【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【分析】 （1）根据频率分布直方图，求出 a，b 的值，再根据分层抽样的定义即可求出（2）成绩小于 125 的 1 人记为 A，成绩为优秀的 3 人为 a、b、c，用列举法得出从中随机抽取 2 人的基本事件数和所抽的恰有 1 人成绩为优秀的基本事件数，求出概率【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；b=0.025500=50，a
21、=0.04 5500=100，成绩不小于 125 分为优秀，则成绩优秀的人数为 175+150+50=375，用分层抽样的方法从这 500 人中抽取 4 人的成绩进行分析，则成绩为优秀的学生人数4=3 人，（2）成绩小于 125 的 1 人记为 A，成绩为优秀的 3 人为 a、b、c；从这 4 中随机抽取 2 人，基本事件有Aa、Ab、Ac、ab 、ac 、bc ，共 6 种，恰有 1 人成绩为优秀的基本事件有 Aa、Ab 、Ac 共 3 种；它的概率为 P= = 17四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC底面 ABCD已知：ABC=45，AB=2，BC=2 ，SB
22、=SC，直线 SD 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 O 为 BC 的中点（1）证明：SA BC；（2）求四棱锥 SABCD 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （1）连结 AO，由 SB=SC 得 SOBC，由余弦定理计算 AO，根据勾股定理的逆定理可证 AOBC，于是 BC平面 SAO，得出 SABC；（2）由侧面 SBC底面 ABCD 得 SO平面 ABCD，即 SO 为棱锥的高，由勾股定理计算DO，由于 sinSDO= ，得出 SO【解答】证明：（1）连结 AO，SB=SC，O 是 BC 中点，SO BCAB=2，BO= = ， ABC=45
23、，AO= = AO2+OB2=AB2， OBOA，又 AO平面 SAO，SO平面 SAO，AOSO=O，BC平面 SAO， SA平面 SAO，SABC解：（2）SO平面 ABCD，SDO 是 SD 与平面 ABCD 所成的角，SO ODsinSDO= ，tanSDO= = AOBC，ADBC，ADAO，OD= = SO=ODtanSDO= VSABCD= S 四边形 ABCDSD= = 18已知函数 f（x）=2sin （x+ ）+sinxcosx sin2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若实数 t0， ，求函数 f（x）的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析
24、】 （1）先利用降幂公式进行化简，然后利用辅助角公式将 f（x）化成 cos2x，最后根据余弦函数的对称性求出对称轴方程即可；（2）根据 t 的范围，求出 2t 的范围，再结合余弦函数单调性求出函数的值域【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+ ）+sinxcosx sin2x=2（sinxcos +cosxsin ）+sinxcosx sin2x=sinx+ cosx+sinxcosx sin2x= cos2x sin2x= cos2x，T= =，（2）当 t0， 时，2t0， ，从而 f（t） ， ，即 f（x）的值域是 ， 19已知数列a n满足 a1=1， an+1=2an；数列b
25、n满足 b1=3，b 2=6，且b nan为等差数列（）求数列a n和b n的通项公式；（）求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （）由题意知数列a n是首项 a1=1，公比 q=2 的等比数列，数列b nan的公差为d=2，由此能求出数列a n和b n的通项公式（）由 ，利用分组求和法能求出数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（）由题意知数列a n是首项 a1=1，公比 q=2 的等比数列，所以 ；因为 b1a1=2，b 2a2=4，所以数列b nan的公差为 d=2所以 bnan=（b 1a1）+（n 1）d=2+2（n 1）=2n 所以 （） ，T
26、n=b1+b2+b3+bn=（2+4+6+2n）+（1+2+4+ +2n1）=n（n+1）+2 n120设函数 f（x）=lnx+ax 2+bx （a，b R） （1）曲线 y=f（x）上一点 A（1，2） ，若在点 A 处的切线与直线 2xy10=0 平行，求 a，b的值；（2）设函数 y=f（x）的导函数为 y=f（x） ，若 f（2）= ，且函数 y=f（x）在（0，+）是单调函数，求 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （1）先由所给函数的表达式，求导数 f（x） ，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求
27、a，b 的值即可；（2）由 f（2） = ，得到 f（x）= ，再分函数 y=f（x）在（0，+）是单调增函数或单调减函数，根据二次函数的性质即可求出 a 的范围【解答】解：（1）f（x）=lnx+ax 2+bx，f（x）= +2ax+b，f（ x）上一点 A（1，2） ，若在点 A 处的切线与直线 2xy10=0 平行，f（1） = +2a+b=2，即 2a+b=1，f（ 1）=ln1+a+b=2，解得 a=1，b=3，（2）由（1）知 f（x）= +2ax+b，f（2）= ，f（2）= +4a+b= ，即 4a+b=0，f（x）= +2ax4a=当函数 y=f（x）在（0，+）是单调增函数
28、时，即 f（x）= 0 恒成立，2ax24ax+10 恒成立，其对称轴为 x=2，当 a=0 时，满足题意，当 a0 时，则 ，解得 0a ，当函数 y=f（x）在（0，+）是单调减函数时，即 f（x）= 0 恒成立，2ax24ax+10 恒成立，其对称轴为 x=2，当 a=0 时，不满足题意，当 a0 时，则 ，无解，综上所述 a 的取值为0 ， 21设椭圆 + =1（ab0） （1）若 F，A 分别是椭圆的右焦点，右顶点，H 是直线 x= 与 x 轴的交点，设=f（e） （e 为椭圆的离心率） ，求 f（e）的最大值；（2）若点 P（x 0，y 0）是椭圆上任意一点，从原点 O 作圆（xx
29、 0） 2+（y y0） 2= 的两条切线，且两条切线的斜率都存在，记为 k1，k 2，求 k1k2 的值【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）由题意可得 H（ ，0） ，O （0，0） ，F（c，0） ，A（a，0）求得|FA|=ac，|OH|= ，运用离心率公式可得 f（e）=ee 2，配方即可得到所求最大值；（2）将 P 的坐标代入椭圆，可得 y02= （a 2x02），再由直线 y=kx 与圆相切，可得d=r，化简整理可得 k 的二次方程，运用韦达定理，可得 k1k2，代入，化简整理即可得到定值【解答】解：（1）由题设，H 点的坐标为 H（ ，0） ， O（0，0） ，F（c，0） ，A（a，0）|FA|=ac，|OH|= ，f（e）= = = =ee2=（e 2e）=（e ） 2+ ，当 e= 时，f （e ）取得最大值，且为 ；（2）由点 P（x 0，y 0）是椭圆上任意一点，可得 + =1，即为 y02= （a 2x02） ，直线 y=kx 与圆相切，d=r，即 = ，整理可得（a 2b2x02（a 2+b2） ）k 2+2x0y0（a 2+b2）k+a 2b2y02（a 2+b2）=0，即有 k1k2= ，代入，化简可得 k1k2= 2016 年 6 月 28 日
