1、1七年级数学动点问题专题训练1、如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中ABC 10A8BCDAB点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上2由C点向A点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与BPD是否全等，请说明理由；CP若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 与BPD全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来 的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相ABC AC遇？解：（1） 秒
2、， 厘米， 1t31 厘米，点 为 的中点， 厘米0DAB5D又 厘米， 厘米，8PB， 8PC C又 ， ， （4 分）AQ ， ，PQvC又 ， ，则 ，BD B45PCBD，点 ，点 运动的时间 秒，43t 厘米/秒 （7 分）5143QCvt（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，由题意，得 ，xPQ1532104x解得 秒 点 共运动了 厘米80803 ， 点 、点 在 边上相遇，24AB经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇 （12 分）3PQAQCDB P32、 （09 齐齐哈尔）直线 364yx与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点 PQ、 同时从 O点出发，同时到达 A点，运动停
3、止点 Q沿线段 O运动，速度为每秒1 个单位长度，点 P沿路线 O B 运动（1）直接写出 、 两点的坐标；（2）设点 Q的运动时间为 t秒， P 的面积为 S，求出 与 t之间的函数关系式；（3）当 485S时，求出点 的坐标，并直接写出以点 P、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标解（1）A（8，0）B（0，6） 1 分（2） 6O， 0AB点 Q由 到 的时间是 81（秒）点 P的速度是 02（单位/秒） 1 分当 在线段 B上运动（或 0 3t ）时，tt，2S1 分当 P在线段 A上运动（或 8t ）时， 61026OQtAPtt， ,如图，作 DO于点 ，由 PDB，得
4、485t， 1 分213425SQt1 分（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分 ）（3） 84P， 1 分1231124555IM， ， ， ， ，3 分3、如图，在平面直角坐xAO QPBy4标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上5的一个动点，以P为圆心，3为半径作P.（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）P 与 x 轴相切.直线 y=2x 8 与 x 轴交于 A（4，0） ，与 y 轴交于 B
5、（ 0，8） ，OA=4，OB=8.由题意，OP= k ，PB=PA=8+ k.在 Rt AOP 中，k 2+42=(8+k)2，k=3，OP 等于P 的半径，P 与 x 轴相切 .（2）设P6与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PECD于E.PCD 为正三角形，DE= CD= ，PD=3，123PE= .32AOB=PEB=90， ABO=PBE，AOBPEB，7 ，342,=5AOPEBB即 31,2 ，3182P ，315(0,)2 .8k当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得 P(0, 8)，3152k= 8，3152当 k= 8 或 k= 8 时
6、，以P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的3152三角形是正三角形.4、如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（S0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，M
7、PB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值解： 85、在 RtABC 中，C=90 ，AC = 3，AB = A CBPQED图 1695点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t 0） （1）当
8、 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 解：（1）1， 85； （2）作 QF AC 于 点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3At由 AQF ABC， 254， 得 45t 4t 1(3)2St， 即 265St（3）能当 DEQB 时，如图 4DEPQ，PQ QB，四边形 Q
9、BED 是直角梯形此时AQP=90 由APQ ABC ，得 AQPCB，即 35t 解得 98t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形此时APQ =90由AQP ABC ，得 AQPBC，即 35t 解得 158t（4） 2t或 4t点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C连接 QC，作 QG BC 于 点 G， 如图 6t， 222234(5)(5)tt由 2P，得 222ttt，解得 tA CBPQED图 4A CBPQED图 5A C(E)BPQD图 6GA C(E)BPQD图 7G10点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C， 如图 72223
10、4(6)(5)(5)ttt， 451】6、如图，在 中， ，RB 906AB，点 是 的中点，过点 的直线 从与 重BOOlAC合的位置开始，绕点 作逆时针旋转，交 边于点 过点 作 交直线 于点 ，设直线 的旋DCE lE转角为 （1）当 度时，四边形 是等腰梯形，D此时 的长为 ；A当 度时，四边形 是直角梯形，BC此时 的长为 ；（2）当 时，判断四边形 是否为菱形，并说90E明理由解（1）30，1；60，1.5； 4 分（2）当=90 0时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=90 0， BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形. 6 分在 Rt ABC 中， ACB
11、=900， B=600,BC=2, A=300. AB=4,AC=2 3. AO= 12C= . 8 分在 Rt AOD 中， A=300， AD=2. BD=2. BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 10 分7、如图，在梯形 中，ABCD动点 从 点出发沿线段35425ADB ， ， ， ， MB以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点BCC同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的N速度向终点 运动设运动的时间为 秒t（1）求 的长（2）当 时，求 的值MAB t（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tMNOE CBDAlOCBA（备用图）A
12、 DCB MN11解：（1）如图，过 、 分别作 于 ， 于 ，则四边形ADKBCDHBC是矩形ADHK 1 分3在 中，RtB 2sin4542 分2cos45KAA在 中，由勾股定理得，RtCDH 2543HC 3 分310B（2）如图，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形DGAB CADGB MNAB 3 4 分107C由题意知，当 、 运动到 秒时，t 102NtMt， DG CDG 又 5 分NM即解得， 6 分10257tt5017t（3）分三种情况讨论：当 时，如图，即C2tt 7 分t（图）A DCB K H（图）A DCB G MNA DCB MN（图） （图）A DC
13、B MNH E12当 时，如图，过 作 于MNCNEMC解法一：由等腰三角形三线合一性质得 10252tt在 中，RtE 5cost又在 中，DHC 3D 53t解得 8 分28t解法二： 90CDHNEC ， NE 即 53t 8 分28t当 时，如图，过 作 于 点.MNCMFCN12FNCt解法一：（方法同中解法一） 132cos05tF解得 67t解法二： 90CMFDHC ， H即10235tt 67t综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形 9 分1t58t6017tMNC（图）A DCB HNMF138、如图 1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点 作ABCDB EAE交 于
14、点 ， .EFBC F46， 0（1）求点 到 的距离；（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作PEPMFBCM交折线 于点 ，连结 ，设 .MNA Nx当点 在线段 上时（如图 2） ， 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若改变，请说明理由；当点 在线段 上时（如图 3） ，是否存在点 ，使 为等腰三角形？DCPN若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.x解（1）如图 1，过点 作 于点 1 分EGBC 为 的中点，AB 2在 中， 2 分Rt 60 ， 30E 211E， 即点 到 的距离为 3 分BC3（2）当点 在线段 上运动时， 的形状不发
15、生改变NADPMN PMFG， ， EG ，E ， 同理 4 分4B如图 2，过点 作 于 ，HAB ， 6030NCP ， A DEBFC图 4（备用）A DEBFC图 5（备用）A DEBFC图 1 图 2A DEBFCPNM图 3A DEBFCPNM图 1A DEBFCG图 2A DEBFCPNMGH14 132PHM cos02A则 354N在 中，RtPH222537NPH 的周长= 6 分M 74M当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角NDC MNC形当 时，如图 3，作 于 ，则PPRNR类似， 2R 7 分 是等边三角形，MNC 3MC此时， 8 分612x
16、EGB图 3A DEBFCPNM图 4A DEBFCPMN图 5A DEBF（P）CMNGGRG当 时，如图 4，这时PN 3P此时， 6135xE当 时，如图 5， 0N 则 又120M ， 0C ， 8PN 因此点 与 重合， 为直角三角形FP tan3CA此时， 614xEG综上所述，当 或 4 或 时， 为等腰三角形 10 分253PMN9、如图15，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10） ，（8，4） ，点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿A B C D 匀速运动， 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点
17、时，两点同时停止运动， 设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 （长度单位）关于运动时间xt（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4)如果点 P、 Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D 匀速运动时， OP16与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由解：（1）（1，0） 1 分Q点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度 2 分（2） 过点 作 BFy 轴于点
18、， 轴于点 ，则 8， BFBExBF4OBE 46AF在 Rt AFB 中， 3 分2810过点 作 轴于点 ，与 的延长线交于点 CGx H ABFBCH 90,ABBC 6,8HF 814,12OGG所求 C 点的坐标为（14，12 ） 4 分（3） 过点 P 作 PMy 轴于点 M，PN 轴于点 N，x则APM ABF AMBF1068tAP 345tPt， 3410,55NOtPMt设OPQ 的面积为 （平方单位）S （0 10） 5 分2173(0)5210Sttt说明:未注明自变量的取值范围不扣分 0 当 时， OPQ 的面积最大 6 分310a47362()10t此时 P 的坐
19、标为（ ， ） 7 分945（4） 当 或 时， OP 与 PQ 相等 9 分3t21tABCDEFGHMNPQO xy1710、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角 的平行线 CF 于点90AEF DCGF，求证：AE =EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 ，所以 MC AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边BC 上（除 B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那
20、么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE= EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：（1）正确 （1 分）证明：在 上取一点 ，使 ，连接 （2 分）ABMAECM ， E4535是外角平分线，CF，45D13， ，90AB90AEBCFE（ASA） （5 分）MCF （6 分）（2）正确（7 分）证明：在 的延长线上取一点 BAN使 ，连接 （8 分）NE45PC四边形 是正方形
21、，DABNEF（ASA） （10 分） （11 分）11、已知一个直角三角形纸片 ，其中 如图，OAB9024OAB， ，A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 3A DFC GEBMA DFC GEBN18将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 交于点 ，与OBC边 交于点 ABD（）若折叠后使点 与点 重合，求点 的坐标；BAC（）若折叠后点 落在边 上的点为 ，设 ， ，试写出 关BOABOxCyy于 的函数解析式，并确定 的取值范围；xy（）若折叠后点 落在边 上的点为 ，且使 ，求此时点 的坐BOABDOB C标 解（）如图，折叠后点 与点
22、 重合，则 .ACD 设点 的坐标为 .0m，则 .4BO于是 .在 中，由勾股定理，得 ，RtAC 22ACO即 ，解得 .224m3m点 的坐标为 .4 分0，（）如图，折叠后点 落在 边上的点为 ,BOAB则 .BCD 由题设 ，Oxy，则 ，4在 中，由勾股定理，得 .RtBC 22BCO，224yxxyBO AxyBO AxyBO A19即 6 分218yx由点 在边 上，有 ，BOA02x 解析式 为所求.2y 当 时， 随 的增大而减小， y的取值范围为 .7 分y32 （）如图，折叠后点 落在 边上的点为 ，且 .BOABDOB则 .OCBD又 ，有 .C， CA.Rtt 有
23、，得 . 9 分 A2在 中，t设 ，则 .0OBx0Ox由（）的结论，得 ，2018解得 .0 084545xx ，点 的坐标为 .10 分 C16，12、如图（1） ，将正方形纸片 折叠，使点 落在 边ABCDBCD上一点 （不与点 ， 重合） ，压平后得到折痕 当EMN时，求 的值2DMBN类比归纳在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则13CED， AMBN14CED，的值等于 ；若 （ 为整数） ，则 的值等于 AMBN1CEnAMBN （用含 的式子表示）n联系拓广如图（2） ，将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点AECD，方法指导：为了求得 的值，可先求 、 的长，不
24、妨设：AA=2图（2）NAB CDEFM图（1）AB CDEFMN20重合） ，压平后得到折痕 设 则 的值等于 MN， 11ABCEmDn， ， AMBN （用含 的式子表示）mn，解：方法一：如图（1-1） ，连接 E， ，由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称ABNMFEMN 垂直平分 1 分EB， 四边形 是正方形，CD902ADA, 设 则112， x， ， 2Cx在 中， RtNE 22CE 解得 ，即 3 分22x 54xBN在 和在 中，tABM tD， ，2222M5 分E设 则 y， y， 1y解得 即 6 分14， 7 分5ABN方法二：同方法一， 3 分54如图（12） ，过点 做 交 于点 ，连接NGCD ， AGBEN图（1-1）AB CDEFMN图（1-2）AB CDEFM G21 四边形 是平行四边形ADBC ， GDN N同理，四边形 也是平行四边形 54AGBN 90MEBM， ECM， ， 在 与 中BC G 分90N， NG ， 6 分14AMA5， = 7 分15BN类比归纳（或 ） ； ； 10 分24109721n联系拓广12 分2nm
