1、18.2.3 正方形,第十八章 平行四边形,第1课时 正方形的性质,1.理解正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质. 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（重点、难点）,导入新课,图片引入,观察这些图片，你有什么发现？这些四边形有什么共同特征？,各边相等，四个角都是直角,讲授新课,合作探究,矩 形,正方形,问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?,问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢?,正方形,矩 形,正方形,邻边,相等,发现： 一组邻边相等的矩形是正方形,菱 形,一个角,是直角,正方形,发现： 一个角为直角的菱形是正方形,正方形定义：,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫
2、正方形.,探究小结,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系,A,B,C,D,填一填： 角： 边： 对角线： 对称性：,四个角都是直角.,四条边相等.,对角线相等且互相垂直平分.,a,a,a,a,轴对称图形（4条对称轴）.,A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行， 四条边都相等,四个角都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD 是正方形ABCD, ADBC, AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形 A=B
3、=C =D=90,四边形ABCD是正方形 ACBD,AC=BD, OA=OC,OB=OD,轴对称图形 中心对称图形,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证: ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.,典例精析,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、
4、CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO,如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,那么BE与DE相等吗?为什么?,解: BE = DE.理由如下：连接BD，四边形ABCD是正方形，AC垂直平分BD 又点E在AC上 BE =DE,A,B,C,D,E,还可以用其他方法说明，试试看.,做一做,例2 已知：如图，在正方形ABCD中， BEC是等边三角形，求证： EADEDA15 .,证明：EBC= ECB= CEB=60 ABE，DCE是等腰三角形， ABE= DCE=30 BAE= BEA= CDE= CED=75 EAD= EDA=90-75=15,如图,点E是
5、正方形ABCD边BC上延长线上一点，且CE=AC，若AE交CD于点F，求E和AFC的度数.,解：E =22.5， AFC=112.5.,做一做,例3 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.,解：BE=DF,且BEDF.理由如下： （1）四边形ABCD是正方形. BC=DC,BCE =90 . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） DCF=180-BCE=180-90=90.,A,B,D,C,F,E,BCE=DCF. 又CE=CF. BCEDCF. BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, BCEDCF ,
6、CBE =CDF. DCF =90 , CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90. BEDF.,A,B,D,F,E,C,M,1在正方形ABCD中,ADB= ,DAC= , BOC= .2.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .,45,90,22.5,第1题,第2题,45,当堂练习,3.如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在 AB边上取定了一点E，测量知，EC= 30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线分别是多少？,解：根据勾股定理：BC2= EC2- EB2 = 302 102 = 800BC=这块场地的面积=对角线AC =,30
7、,10,D,A,E,B,C,解：ABE是等边三角形.AB =AE=BE,ABE=BEA=EAB =60.又四边形ABCD是正方形.AD=BC=AE=BE,DAB=ABC=90.DAE=CBE=150.AED=EDA=CEB=BCE=15.DEC=AEB-AED-CEB=30.,4.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边ABE,连结DE 、 CE ,求DEC的度数.,5.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE.试说明：DGBE.,证明：根据正方形的性质可得AD=AB，AG=EF 又由旋转可得DAG=BAE DAG BAE（SAS) DG=BE,6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值.,O,解：连接PO 四边形ABCD是正方形， ACBD，AO=BO= AC. SAPO+SBPO=SABO AOPE+ BOPF = AOBO PE+PF= AO= AC=5.,课堂小结,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,
