1、16.2-3正方形,复习回顾,(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?,平行四边形,边:,角:,对角线:,对边平行且相等,对角相等,邻角互补,对角线互相平分,矩形,角:,四个角是直角,对角线:,对角线相等且互相平分,边,对边平行且相等,菱形的性质,菱形的性质,边:,四条边相等,对角线:,互相垂直平分,分别平分两组对角,角:,具有平行四边形一切性质,对角相等,邻角互补,创设情景一,问题:,从这个图形中你能得到什么？ 你是怎样想到的？,90,当 =90时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.,问题:,图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的
2、图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）,当CD移动到CD位置，且 AD AB时，此 时的图形还是矩形吗？,A,B,当ADAB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形是一组邻边相等的矩形也是正方形.,你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?,有一个角是直角的菱形叫做正方形。,有一组邻边相等的矩形叫做正方形。,有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。,正方形的概念： _ 的平行四边形是正方形。,_的菱形是正方形,_的矩形是正方形,定义法,菱形法,矩形法,有一组邻边相等且有一个角是直角的,有一个角是直角,有一组邻边相等,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,有一个角是直
3、角,有一组邻边相等,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等且有一个角是直角,正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系,平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,正方形,八年级 数学,第十九章 四边形,为什么说正方形是一个完美的图形？,对称性,特征,正方形是中心对称图形,对称中心为点O,它也是轴对称图形,有4条对称轴,(1)它具有平行四边形的一切性质,两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分,(2)具有矩形的一切性质,四个角都是直角，对角线相等,(3)具有菱形的一切性质,四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,(A),(B),(C),(D),正方形的 两条对角线互
4、相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角,四条边都相等，对边平行,四个角都是直角,边,对角线,角,正方形的性质,例题解析,例题,例1. 如图，在正方ABCD中，对角线AC、BD相交于O， 1)图中有多少个等腰直角三角形 2)说出图中相等的线段、相等的角。 3)求ABD、DAC、DOC的度数。,小试牛刀,1.正方形ABCD，对角线交于0， 1)若AB=2，则AC=_,OA=_,周长_，面积_。 2)若OB=2，则AC=_,AB=_,周长_，面积_。 3)若AC+BD=8，则AC=_,AB=_,正方形面积_。,2.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _.,3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其
5、面积增加了_.,正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A、四个角相等.B、对角线互相垂直.C、对角互补.D、对角线相等.,选一选,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,随堂练习,用10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如何确定面积最大的四边形的形状，面积为多少？,在长度给定的情况下，围成的四边形中， 正方形的面积最大。,问题:,例2、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求E， AFC的度数.,F,练习：1、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求E,练:正方形A
6、BCD中，M为AD中点，MEBD于E，MFAC于F,若ME+MF =8cm，则AC=_.,课堂练习,例3.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PEAC于E，PFBD于F,则PE+PF=_.,5,30,16cm,2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边DCE,则AEB=_.,分析：PE=AE，PF=OE PEPFOA,正方形ABCD中DAF=25,AF交对角线BD于E,交CD于F,求 BEC的度数.,A,B,C,D,E,F,思考,小结,1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。 2.正方形的四条边都相等。 3.正方形的四个角都相等。 4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角
7、线平分一组对角。,平行四边形,正方形,有一个角是直角,一组邻边相等,正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：,正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.,正方形的四条边都相等，四个角都是直角,正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角,正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,(2)正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?,正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两条对角线，两组对边的中垂线.,根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ ”, , , , , , , ,本题还有其他解法吗?,解: 正方形ABCD是菱形
8、.,AC BD, AOB= 90,又 正方形ABCD既是矩形又是菱形., BAD= 90, 且AC平分BAD, OAB= 45,例：如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求AOB，OAB的度数。,议一议,（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是_cm,练一练,（2）正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中有_个等腰直角三角形,解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直角三角形.分别是:,8,正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求E, AF
9、C的度数,解：,正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。,CE=AC,E=CAE,ACB是ACE的一个外角,ACB=E+CAE=2E,AFC是CEF的一个外角,AFC=E+FCE=22.5+90=112.5,E=22.5, AFC=112.5,j,F,E,A,B,D,C,例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E， PFDC于F。试说明：AP=EF,解:,连接PC,PEBC ， PFDC,而四边形ABCD是正方形,FCE=90,四边形PECF是矩形,PC=EF,又四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形,AP=PC,AP=EF,数一数图中正方形的个数，你发现了什么？,多,多,多,（ ）个（ ）个 （ ）个 （ ）个,第n个图中正方形有 个,3n-1,长见识,八年级 数学,第十九章 四边形,如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？,只要保证剪口线与折痕成45角即可,做一做,正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什么关系？,议一议,小结反思,再见,
