1、第 1 页（共 27 页）2017 年上海市青浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1 （4 分）在下列各数中，属于无理数的是（ ）A4 B C D2 （4 分）已知 ab，下列关系式中一定正确的是（ ）Aa 2 b2 B2a2b Ca+2b +2 D ab3 （4 分）一次函数 y=kx1（常数 k0）的图象一定不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4 （4 分）抛物线 y=2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（ ）A （0 ，2 ） B （0，2） C （0，4） D （0， 4）5 （4 分）顺次连结矩形四边中点所得的
2、四边形一定是（ ）A菱形 B矩形 C正方形 D等腰梯形6 （4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果 SACD ：S ABC =1：2，那么 SAOD ：S BOC 是（ ）A1 ：3 B1：4 C1：5 D1：6二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7 （4 分）函数 y= 的定义域是 8 （4 分）方程 =2 的根是 9 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是 10 （4 分）从点数为 1、2、3 的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌第 2 页（共 27 页）的点
3、数之积为素数的概率是 11 （4 分）将抛物线 y=x2+4x 向下平移 3 个单位，所得抛物线的表达式是 12 （4 分）如果点 A（2，y 1）和点 B（2，y 2）是抛物线 y=（x+3） 2 上的两点，那么 y1 y 2 （填“ ” 、 “=”、 “”）13 （4 分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，那么这个多边形的边数为 14 （4 分）点 G 是ABC 的重心，GDAB，交边 BC 于点 D，如果 BC=6，那么CD 的长是 15 （4 分）已知在ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 AD：DC=2 ：1设= ， = 那么 = （用向量 、 的式子表示）16 （4
4、分）如图，在ABC 中，C=90，AC=3，BC=2，边 AB 的垂直平分线交AC 边于点 D，交 AB 边于点 E，联结 DB，那么 tanDBC 的值是 17 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，联结 CE 并延长，交对角线 BD 于点 F，交 BA 的延长线于点 G，如果 DE=2AE，那么 CF：EF ：EG= 18 （4 分）如图，已知ABC，将ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 落在边 AB上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，连接 BD，如果 DAC=DBA，那么 的值是 第 3 页（共 27 页）三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78
5、分）19 （10 分）计算： （a1）+ 20 （10 分）解方程组： 21 （10 分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y= 的图象与正比例函数 y=kx（k0 ）的图象相交于横坐标为 2 的点 A，平移直线 OA，使它经过点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求平移后直线的表达式；（2）求OBC 的余切值22 （10 分）某校兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度如图，大楼前有一段斜坡 BC，已知 BC 的长为 12 米，它的坡度 i=1： 在离 C 点 40 米的 D 处，用测角仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37，测角仪 DE 的高为 1.5 米，求大楼 AB
6、 的高度约为多少米？（结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin370.60，cos37 0.80 ，tan370.75， 1.73 ）第 4 页（共 27 页）23 （12 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，对角线 AC、BD 交于点E，点 F 在边 AB 上，连接 CF 交线段 BE 于点 G，CG 2=GEGD（1）求证：ACF=ABD；（2）连接 EF，求证：EFCG=EGCB24 （12 分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax24ax+1 与 x轴的正半轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且 OB=3OC，点 P 是第一象限内的点，连
7、接 BC，PBC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点 P 的坐标；（3）点 Q 在 x 轴上，若以 Q、O 、P 为顶点的三角形与以点 C、A、B 为顶点的三角形相似，求点 Q 的坐标25 （14 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，联结BD，sinABD= 点 P 是射线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 重合） ，联结AP，与对角线 BD 相交于点 E，联结 EC 第 5 页（共 27 页）（1）求证：AE=CE；（2）当点 P 在线段 BC 上时，设 BP=x，PEC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；
8、（3）当点 P 在线段 BC 的延长线上时，若PEC 是直角三角形，求线段 BP 的长第 6 页（共 27 页）2017 年上海市青浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1 （4 分） （2017青浦区一模）在下列各数中，属于无理数的是（ ）A4 B C D【分析】根据无理数的定义，可得答案【解答】解：4 =2， ， 是有理数，是无理数，故选：B【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数2 （4 分） （2017连云港四模）已知 ab
9、 ，下列关系式中一定正确的是（ ）Aa 2 b2 B2a2b Ca+2b +2 D ab【分析】根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案【解答】解：A，a 2b 2，错误，例如：21，则 22（1） 2；B、若 ab，则 2a2b ，故本选项错误；C、若 ab，则 a+2b+2，故本选项错误；D、若 ab，则 ab，故本选项正确；故选：D【点评】此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变 （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （3）不第 7 页（共 27 页）等式两边乘（或除以）
10、同一个负数，不等号的方向改变3 （4 分） （2017青浦区一模）一次函数 y=kx1（常数 k0）的图象一定不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】一次函数 y=kx1（常数 k0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第象限【解答】解：一次函数 y=kx1（常数 k0） ，b=1 0，一次函数 y=kx1（常数 k0）的图象一定经过第二、三，四象限，不经过第象限故选：A【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要熟记的内容4 （4 分） （2017青浦区一模）抛物
11、线 y=2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（ ）A （0 ，2 ） B （0，2） C （0，4） D （0， 4）【分析】要求抛物线与 y 轴的交点坐标，即要令 x 等于 0，代入抛物线的解析式求出对应的 y 值，写成坐标形式即可【解答】解：把 x=0 代入抛物线 y=2x2+4 中，解得：y=4 ，则抛物线 y=2x2+4 与 y 轴的交点坐标是（0，4） 故选 C【点评】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与 x 轴交点坐标就要令 y=0，要求函数与 y 轴的交点坐标就要令 x=0，是学生必须掌握的基本题型第 8 页（共 27 页）5 （4 分） （2017宁津县模拟）
12、顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（ ）A菱形 B矩形 C正方形 D等腰梯形【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形【解答】解：连接 AC、BD，在ABD 中，AH=HD，AE=EBEH= BD，同理 FG= BD，HG= AC，EF= AC，又在矩形 ABCD 中，AC=BD，EH=HG=GF=FE，四边形 EFGH 为菱形故选：A【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分6 （4 分） （2017青浦区一模）如图，在梯形 AB
13、CD 中，ADBC，对角线 AC与 BD 相交于点 O，如果 SACD ：S ABC =1：2，那么 SAOD ：S BOC 是（ ）A1 ：3 B1：4 C1：5 D1：6第 9 页（共 27 页）【分析】首先根据 SACD ：S ABC =1：2，可得 AD：BC=1 ：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出 SAOD ：S BOC 是多少即可【解答】解：在梯形 ABCD 中，ADBC，而且 SACD ：S ABC =1：2 ，AD：BC=1 ：2；ADBC，AOD BOC，AD：BC=1 ：2，S AOD ：S BOC =1：4故选：B【点评】此题主要考查了相似三
14、角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7 （4 分） （2017青浦区一模）函数 y= 的定义域是 x1 【分析】根据分母不等于 0 列不等式求解即可【解答】解：由题意得，x10，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负8 （4 分） （2017松江区二模）方程 =2 的根是 x= 【分析】两边平方得出 3x1=4，求出即可【解答
15、】解： =2，第 10 页（共 27 页）3x1=4，x= ，经检验 x= 是原方程组的解，故答案为： 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键9 （4 分） （2008苏州）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 有实数根，则 m的取值范围是 m1 【分析】方程有实数根即0，根据建立关于 m 的不等式，求 m 的取值范围【解答】解：由题意知，=44m0，m1答：m 的取值范围是 m1【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根10 （4 分） （2017青浦区
16、一模）从点数为 1、2、3 的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是 【分析】首先画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两张牌的点数之和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图如下：第 11 页（共 27 页）一共有 6 种等可能结果，其中和为素数的有 4 种，点数之积为素数的概率是 = ，故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率=所求情况数与总情况数之比11 （4 分） （2017青
17、浦区一模）将抛物线 y=x2+4x 向下平移 3 个单位，所得抛物线的表达式是 y=x 2+4x3 【分析】根据向下平移，纵坐标要减去 3，即可得到答案【解答】解：抛物线 y=x2+4x 向下平移 3 个单位，抛物线的解析式为 y=x2+4x3，故答案为 y=x2+4x3【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|12 （4 分） （2017青浦区一模）如果点 A（2，y 1）和点 B（2，y 2）是抛物线y=（x +3） 2 上的两点，那么 y1 y 2 （填“”、 “=”、 “”）【分析】把点 A、B 的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解【解
18、答】解：当 x=2 时， y1=（ 2+3） 2=1，当 x=2 时，y 2=（2+3） 2=25，y1y 2，故答案为【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象上的点满足函数解析式求出相应的函数值是解题的关键第 12 页（共 27 页）13 （4 分） （2017青浦区一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的 2 倍，那么这个多边形的边数为 6 【分析】多边形的外角和是 360，内角和是它的外角和的 2 倍，则内角和是2360=720 度 n 边形的内角和可以表示成（n 2） 180，设这个多边形的边数是 n，就得到方程，从而求出边数【解答】解：设这个多边形的边数为 n，n
19、 边形的内角和为（n2）180，多边形的外角和为 360，（n2）180=360 2，解得 n=6此多边形的边数为 6故答案为：6【点评】本题主要考查了根据正多边形的外角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记14 （4 分） （2017青浦区一模）点 G 是ABC 的重心，GDAB，交边 BC 于点D，如果 BC=6，那么 CD 的长是 4 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍解答即可【解答】解：延长 AG 交 BC 与 F，点 G 是ABC 的重心，BC=6 ，BF=3，点 G 是ABC 的重心，AG：GF=2 ：1，GDAB，第 13 页（共 27 页
20、）BD：DF=DG：GF=2：1，BD=2，DF=1，CD=3+1=4 ，故答案为：4【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键15 （4 分） （2017青浦区一模）已知在ABC 中，点 D 在边 AC 上，且AD：DC=2：1设 = ， = 那么 = + （用向量 、 的式子表示）【分析】由 =2 得 = ，即 AD= AC，在根据 = = + = （）+ 可得答案【解答】解：如图， =2， = ，即 AD= AC，则 = += （ ） += += + ，故答案为： + 第 14 页（共 27 页）【点评】本题主要考查平面向量，注
21、意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用16 （4 分） （2017青浦区一模）如图，在ABC 中， C=90 ，AC=3，BC=2，边 AB 的垂直平分线交 AC 边于点 D，交 AB 边于点 E，联结 DB，那么 tanDBC的值是 【分析】由 DE 垂直平分 AB，得到 AD=BD，设 CD=x，则有 BD=AD=3x，在直角三角形 BCD 中，利用勾股定理求出 x 的值，确定出 CD 的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可【解答】解：边 AB 的垂直平分线交 AC 边于点 D，交 AB 边于点 E，AD=BD，设 CD=x，则有 BD=AD=ACCD=3x，在 RtBCD 中
22、，根据勾股定理得：（3 x） 2=x2+22，解得：x= ，则 tanDBC= = ，故答案为：【点评】此题考查了解直角三角形，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键17 （4 分） （2017青浦区一模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD上，联结 CE 并延长，交对角线 BD 于点 F，交 BA 的延长线于点 G，如果DE=2AE，那么 CF：EF：EG= 6：4：5 第 15 页（共 27 页）【分析】设 AE=x，则 DE=2x，由四边形 ABCD 是平行四边形得BC=AD=AE+DE=3x，ADBC，证GAEGBC、DEF BCF 得 = = 、=
23、= ，即 = ，设 EF=2y，则 CF=3y、GE= y，从而得出答案【解答】解：设 AE=x，则 DE=2x，四边形 ABCD 是平行四边形，BC=AD=AE +DE=3x，ADBC，GAEGBC，DEFBCF， = = ， = = ， = ，设 EF=2y，则 CF=3y，EC=EF +CF=5y，GE= y，则 CF： EF：EG=3y：2y： y=6：4：5，故答案为：6：4：5【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键18 （4 分） （2017青浦区一模）如图，已知ABC ，将ABC 绕点 A 顺时针旋转，使点 C 落
24、在边 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，连接 BD，如果DAC=DBA，那么 的值是 第 16 页（共 27 页）【分析】由旋转的性质得到 AB=AD，CAB= DAB，根据三角形的内角和得到ABD=ADB=72 ，BAD=36，过 D 作ADB 的平分线 DF 推出ABDDBF，解方程即可得到结论【解答】解：如图，由旋转的性质得到 AB=AD，CAB= DAB，ABD=ADB ，CAD=ABD，ABD=ADB=2 BAD，ABD+ADB+BAD=180，ABD=ADB=72 ， BAD=36，过 D 作ADB 的平分线 DF，ADF=BDF=FAD=36，BFD=72，AF=DF
25、=BD ，ABD DBF， ，即 ，解得 = ，故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判第 17 页（共 27 页）定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19 （10 分） （2017青浦区一模）计算： （a 1）+ 【分析】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可【解答】解：原式= += += += 【点评】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握分式混合运算的运算法则20 （10 分） （2017青浦区一模）解方程组： 【分析】由得出 x2y=2 或 x2y=2，原方程组转化成两个二元一次方程
26、组，求出方程组的解即可【解答】解：由得：x2y=2 或 x2y=2原方程可化为 ，解得，原方程的解是 ， 【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键21 （10 分） （2017青浦区一模）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反第 18 页（共 27 页）比例函数 y= 的图象与正比例函数 y=kx（k0）的图象相交于横坐标为 2 的点A，平移直线 OA，使它经过点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求平移后直线的表达式；（2）求OBC 的余切值【分析】 （1）根据点 A 在反比例函数图象上可求出点 A 的坐标，进而可求出正比例函数表达式，根
27、据平移的性质可设直线 BC 的函数解析式为 y=2x+b，根据点 B 的坐标利用待定系数法即可求出 b 值，此题得解；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 C 的坐标，从而得出 OC 的值，再根据余切的定义即可得出结论【解答】解：（1）当 x=2 时，y= =4，点 A 的坐标为（2，4） A（2，4 ）在 y=kx（k0）的图象上，4=2k，解得：k=2设直线 BC 的函数解析式为 y=2x+b，点 B 的坐标为（3，0） ，0=23+b，解得：b=6，平移后直线的表达式 y=2x6（2）当 x=0 时，y= 6，点 C 的坐标为（ 0，6 ） ，OC=6 第 19 页（共 27
28、页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，根据点 B 的坐标利用待定系数法求出直线 BC 的解析式是解题的关键22 （10 分） （2017安阳一模）某校兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度如图，大楼前有一段斜坡 BC，已知 BC 的长为 12 米，它的坡度 i=1： 在离 C 点 40米的 D 处，用测角仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37，测角仪 DE 的高为 1.5 米，求大楼 AB 的高度约为多少米？（结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin370.60，cos37 0.80 ，tan370.75， 1.73 ）【分析】延长 AB
29、 交直线 DC 于点 F，过点 E 作 EHAF，垂足为点 H，在 RtBCF 中利用坡度的定义求得 CF 的长，则 DF 即可求得，然后在直角AEH 中利用三角函数求得 AF 的长，进而求得 AB 的长【解答】解：延长 AB 交直线 DC 于点 F，过点 E 作 EHAF，垂足为点 H在 RtBCF 中， =i=1： ，设 BF=k，则 CF= ，BC=2k又BC=12，k=6，BF=6，CF= 第 20 页（共 27 页）DF=DC+CF ，DF=40 +6 在 RtAEH 中，tanAEH= ，AH=tan37 （40+6 ）37.8（米） ，BH=BFFH ，BH=61.5=4.5 A
30、B=AHHB ，AB=37.84.5=33.3答：大楼 AB 的高度约为 33.3 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法23 （12 分） （2017青浦区一模）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB CD，对角线 AC、 BD 交于点 E，点 F 在边 AB 上，连接 CF 交线段 BE 于点G，CG 2=GEGD（1）求证：ACF=ABD；（2）连接 EF，求证：EFCG=EGCB第 21 页（共 27 页）【分析】 （1）先根据 CG2=GEGD 得出 ，再由 CGD=EGC
31、可知GCD GEC，GDC= GCE根据 ABCD 得出ABD=BDC，故可得出结论；（2）先根据ABD=ACF，BGF=CGE 得出 BGFCGE，故 再由FGE=BGC 得出FGE BGC，进而可得出结论【解答】证明：（1）CG 2=GEGD， 又CGD=EGC ，GCD GECGDC=GCEABCD，ABD=BDCACF=ABD （2）ABD=ACF，BGF=CGE，BGFCGE 又FGE=BGC，FGEBGC FECG=EGCB第 22 页（共 27 页）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键24 （12 分） （2017青浦区一模）已知：
32、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax24ax+1 与 x 轴的正半轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且OB=3OC，点 P 是第一象限内的点，连接 BC，PBC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形（1）求这个抛物线的表达式；（2）求点 P 的坐标；（3）点 Q 在 x 轴上，若以 Q、O 、P 为顶点的三角形与以点 C、A、B 为顶点的三角形相似，求点 Q 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先判断出PMCPNB ，再用 PC2=PB2，建立方程求解即可；（3）先判断出点 Q 只能在点 O 左侧，再分两种情况讨论计算即可【解答】解：（1）抛物线
33、y=ax24ax+1，点 C 的坐标为（ 0，1 ） OB=3OC，点 B 的坐标为（3，0） 9a12a+1=0， （2）如图，第 23 页（共 27 页）过点 P 作 PMy 轴，PN x 轴，垂足分别为点 M、NMPC=90 CPN ，NPB=90 CPN，MPC=NPB在PCM 和 PBN 中， ，PMC PNB，PM=PN设点 P（a ，a） PC 2=PB2，a 2+（a 1） 2=（a3） 2+a2解得 a=2P（2，2） （3）该抛物线对称轴为 x=2，B （3，0） ，A（1，0 ） P（2，2） ，A（1，0） ，B（3，0） ，C （0，1） ，PO= ，AC= ，AB=
34、2CAB=135 ，POB=45，在 RtBOC 中，tanOBC= ，OBC 45，OCB90，在 RtOAC 中，OC=OA，第 24 页（共 27 页）OCA=45，ACB45，当OPQ 与ABC 相似时，点 Q 只有在点 O 左侧时（i）当 时， ，OQ=4，Q （ 4，0） （ii）当 时， ，OQ=2，Q （ 2，0） 当点 Q 在点 A 右侧时，综上所述，点 Q 的坐标为（4，0）或（ 2，0） 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是判断出点Q 只能在点 O 的左侧，是一道很好的中考常考题2
35、5 （14 分） （2017青浦区一模）已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，联结BD，sinABD= 点 P 是射线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 重合） ，联结AP，与对角线 BD 相交于点 E，联结 EC （1）求证：AE=CE；（2）当点 P 在线段 BC 上时，设 BP=x，PEC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；第 25 页（共 27 页）（3）当点 P 在线段 BC 的延长线上时，若PEC 是直角三角形，求线段 BP 的长【分析】 （1）由菱形的性质得出 BA=BC，ABD=CBD由 SAS 证明ABECBE，即可得出结论（2）联结
36、 AC，交 BD 于点 O，过点 A 作 AHBC 于 H，过点 E 作 EFBC 于 F，由菱形的性质得出 ACBD由三角函数求出 AO=OC= ，BO=OD= 由菱形面积得出 AH=4，BH=3由相似三角形的性质得出 ，求出 EF 的长，即可得出答案； ，（3）因为点 P 在线段 BC 的延长线上，所以EPC 不可能为直角分情况讨论：当ECP=90时，当CEP=90时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，BA=BC，ABE=CBE在ABE 和CBE 中，又BE=BE，ABECBEAE=CE （2）连接 AC，交 BD 于点 O，过点
37、A 作 AHBC，过点 E 作 EFBC ，如图 1 所示：垂足分别为点 H、F四边形 ABCD 是菱形，ACBD第 26 页（共 27 页）AB=5， ，AO=OC= ，BO=OD= ，AH=4，BH=3ADBC， ， ， ， EF AH， ， （3）因为点 P 在线段 BC 的延长线上，所以EPC 不可能为直角如图 2 所示：当ECP=90时ABECBE ，BAE=BCE=90 ， ， ，BP= 当CEP=90时，ABECBE ，AEB=CEB=45 ，第 27 页（共 27 页） ， ， ADBP， ， ，BP=15综上所述，当EPC 是直角三角形时，线段 BP 的长为 或 15【点评】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键
