1、线性代数第一章 行列式1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果 ，则二元线性方程组 12210a211xab的解为， 。1221bxa121axb定义：设 ，记 为 。称 为二阶行列式121,1221a12a12a有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为，1221bax121bxa二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：12133a12123123123123123aaaa定理：如果 ，则 是下面的三元线性方程组的解 212330Da*123(,)x121323xabx当且仅当, ,*1x1233/baD*2x11323/abD*3x1213/abD其中 为
2、系数行列式。12133a证明：略。性质 1：行列式行列互换，其值不变。即 。12132133aa性质 2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如 1213212313aa推论：行列式有两行相同，其值为零。性质 3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如 1213121333aakk推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。推论：行列式有一行全为零，其值为零。性质 4：行列式有两行成比例时，其值为零。性质 5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如 1121312131232 2333aaaabbb性质 6：将行列式的某一行(列 )的所有元素都乘以数 后加到另一行 (列
3、)对应位置的元k素上, 其值不变。例如 11213121322333aaak性质 7：行列式按某一行展开1213232132133aaaa定理的证明：用 乘第一个方程 ，得23a1213axaxb23232323112131xaa用 乘第一个方程 ，得12321232xab；123123123123123aaaxx同理，有。1231231231233123aaxaxxba+（-1）+，得 231231231 1( )axa231231231 2( )2312312313( )aaax231231231bbaaa利用性质 7，得 1213121313213121323 3abaxxxaa从而。1
4、21312133bxaa定理： 有非零解当且仅当系数行列式 。121330axax 0D证明：必要性：若齐次方程组有非零解，如果 ，由前面的定理，矛盾。0充分性：若 ，注意0D=12133a232132113aaa把 带入第 2 和第 3 个方程，容易验证它是方程组的解。2213213 3(,)aa因此，如果 不全为零，则定理得证。23212133,a如果 ，则 。原方程组实际232121330,0,0aaa23213a上等价于 。而该方程组一定有非零解（为什么？自己讨论） 。1213xxa2 全排列及其逆序数定义： 的一个排列是指这 个数组成的一个有序组。1,n n定义（逆序与逆序数）：设
5、是 的一个排列，如果 ，而 ，12i, jkjki则称 构成一个逆序对，排列 的所有逆序对的个数叫做置换排列 的逆(,)jki ni 12n序数，记为 。 叫做排列 的符号，记为 。12)ni12()ni12ni ()sgi的排列叫做偶排列， 的排列 叫做奇排列。 12()nsgi()sgi12ni定理 3.2.1：设 ， 是 的任意两个排列，那么总可以通过一系12ni12nj,列对换把是 变成 。例：排列 包含的逆序对有75346、 、 、 、 、 ；2176、 、 、 ；1。31故逆序数为 12。3 阶行列式的定义n一、 阶行列式的正式定义定义：数域 上的 阶行列式定义为Kn。nnaa 2
6、12112 121212()nnnjjjj a其中对任意的 ， 。通常记之为 。,ijijKA例 1： 。02134234例 2：01 例 3：12142340?0a例 4：。 。123451200aabbcde例 5：121220nnnaaa 5、行列式的性质性质 1：行列式行列互换，其值不变。即。121212nnnaa 211212nnna 性质 2：行列式某两行或列互换，其值变号。推论：行列式有两行相同，其值为零。性质 3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。推论：行列式有一行全为零，其值为零。性质 4：行列式有两行成比例时，
7、其值为零。性质 5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。性质 6：将行列式的某一行(列 )的所有元素都乘以数 后加到另一行 (列)对应位置的元k素上, 其值不变。6 行列式按行展开定义 1：在121212nnnaa 中，把位于 行， 列的元素划去后留下的 行列式叫做 的余子式，记为 。而ij 1ijaijM叫做 的代数余子式。()ijijiAMija引理： 。1210nnnnaA证明：注意 的逆序数与 的逆序数的关系，其中 是121nj121nj 121nj的一个排列。1,2()n引理：在 阶行列式 中，若 ，而对所有的 ， 。则 。A0ijakj0ikaijAa定理 3：12121212
8、niiinnnaaAaA 推论：如果 ，则ik120ikikinka例 13：行列式的计算1）一般方法：把它化为上三角行列式。2）递推法例 7：3125403例 8：31例 9： 例 10：12121321330acb例：计算下面行列式的值 10100n 例：计算下面行列式的值01 1201210nnnnaxaxaa解： 0 11 2021 101010 0n naxx xDaaxax 1nx例 12：例 10：补充 拉普拉斯定理1方阵中某 k 阶子式的余子式和代数余子式定义 1：在 中，选取位于 、 、 行， 、 、121212nnnaaD 1i2ki1j2列的元素构成的行列式 叫做原行列式
9、的 阶子式。划去这些kj 12(,;,)kkiijj行列的元素后余下的元素按照原来的位置组成的行列式称为该子式的余子式。记为。1212(,;,)kkMiijj定义： 叫做原121212 1212(;,()(,;,)kkiijjk kkAij Mijj子式的的代数余子式。2拉普拉斯(Laplace)定理定理：设在 阶行列式 中任意取定 行，则由这 行元素组成的一切 阶子式与它nDkkk们的代数余子式的乘积之和等于 。即 1212121212 1212(,;,)(,;,)kkk iijjkk kkjjDijj ijj3. 拉普拉斯(Laplace)定理的应用例 1：例 2：计算 121212121
10、212000nnnnnnaabb定理：121212nnncc 121212nnnaa 121212nnnbb 这里 。ijijijijcabab证明：构造 121212121212000nnnnnnaabb7 克拉默法则线性方程组的有关概念定理 7.1：克拉默法则推论：齐次线性方程组 （1）有非零解当且仅当系数行1212120nnnaxax列式为零。证明：必要性。若齐次线性方程组有非零解，由克拉默法则，系数行列式为零。充分性。若系数行列式为零，利用归纳法。当 时，结论成立。2n假设 时，结论成立。现在证明 时，结论成立。1kkn不妨设 。把方程化为0a（2） 。 12121200nnnxaxb
11、 其系数行列式为 121220nnnaab 注意方程 （3）的系数行列式23320nnbx。32233nnnbb 1212120nnnaa 所以（3）有非零解，从而（2）有非零解。因此（1）有非零解。推论 7.3：在齐次线性方程组 （1）中，若 ，则1212120nmmnaxax mn它有非零解。例 1：求一个二次多项式 ，使得 ， ， 。()fx()f(1)9f(2)3f例 2：若 的系数行列式为零，证明 ，12314234124340axax 1xA， ， 是它的一个解。21xA31xA第二章 矩阵1 矩阵1矩阵的定义定义 1：数域 上的 矩阵为 行 列的数表Kmnn121212nmmna
12、a记为 或者 。ijmnAan叫做矩阵 的第 行 列的元。对角元素。当 = ，矩阵 叫做 阶方阵。ij ij nA实矩阵与复矩阵。矩阵的相等 矩阵 与 是相等的，若 （n()ijAa()ijBbijijab） 。1,2.,.imj零矩阵 若 （ ） ，则称矩阵 为零矩阵。0ija1,2.,.imjn()ijAa负矩阵 叫做矩阵 的负矩阵，记为 。()ijmn()ijAa上三角矩阵 形如 和 的矩阵叫1211220.mnmnaa1212.0.0.0.nna做上三角矩阵。对角矩阵 阶方矩阵 叫做 阶对角矩阵。n120.nnaEa单位矩阵 叫做 阶单位矩阵。10.nEn2 矩阵的运算【矩阵的加法】+
13、 =121212nmmnaa121212nmnbb11212 212.nmmnmabab 【矩阵与数的标量乘法】 121212nmmnaak11212212.nmmnkak命题：对数域 上的任意 矩阵 、 、 ，以及任意的 ，有KABC,klK1） ()()ABC2）3） 04） ()5） klAl6） ()7） kBk8） 。1A【矩阵的乘法】定义：对数域 上的任意 矩阵 ， 矩阵 ，定义Kmn()ijAanr()ijBb。其中 （ ） 。()ijABc12.ijijijijabb1,2.,.mr命题：1）矩阵的乘法满足结合律： ；()BC2） ()ABCA()BC3） 4） （ 为 阶方阵
14、）En矩阵的方幂【矩阵的转置】定义： 矩阵 叫做 矩阵 的转置矩阵，记为nm121212.mnmnaa()ijAa。TA命题：1） ()TA2） ；TB3） ；()k4） 。TA【方阵的行列式】定义：行列式 叫做 阶方阵 的行列式。记为 。121212.nnnaa()ijAaA命题：1） TA2） ；n3） ；B4） 。()TA3 逆矩阵1矩阵的定义定义：数域 上的 矩阵为 行 列的数表Kmnn121212nmmnaa记为 或者 。ijmnAan叫做矩阵 的第 行 列的元。对角元素。当 = ，矩阵 叫做 阶方阵。ij ij nA行列式 叫做 阶方阵 的行列式。记为 。121212.nnnaa(
15、)ijAa矩阵的相等 矩阵 与 是相等的，若 （m()ija()ijBbijijb） 。,.,.ij零矩阵 若 （ ） ，则称矩阵 为零矩阵。0ija1,2.,.ijn()ijAa负矩阵 叫做矩阵 的负矩阵，记为 。()ijmn()ijAa上三角矩阵 形如 和 的矩阵叫1211220.mnmnaa1212.0.0.0.nna做上三角矩阵。对角矩阵 阶方矩阵 叫做 阶对角矩阵。n120.nnaEa单位矩阵 叫做 阶单位矩阵。10.nEn转置矩阵 矩阵 叫做 矩阵 的转置矩阵，记nm121212.mnmnaa()ijAa为 。TA2矩阵的运算矩阵的加法+ =121212nmmnaa121212nm
16、nbb11212 212.nmmnmabab 矩阵与数的标量乘法 121212nmmnaak11212212.nmmnkak命题：对数域 上的任意 矩阵 、 、 ，以及任意的 ，有KABC,klK1） ()()ABC2）3） 04） ()5） klAl6） ()7） kBk8） 。1A矩阵的乘法定义：对数域 上的任意 矩阵 ， 矩阵 ，定义Kmn()ijAanr()ijBb。其中 （ ） 。()ijABc12.ijijijijabb1,2.,.mr命题：1）矩阵的乘法满足结合律： ；()BC2） ()CAA3） TTB4） ()k5） 。TA6） （ 为 阶方阵）EAn3矩阵的初等变换：初等行
17、变换，初等列变换初等行变换：1）交换两行的位置；2）用一个数乘以某一行；3）用一个数乘以某一行后加到另一行。4 矩阵分块法1矩阵的定义定义：数域 上的 矩阵为 行 列的数表Kmnn121212nmmnaa记为 或者 。ijmnAan叫做矩阵 的第 行 列的元。对角元素。当 = ，矩阵 叫做 阶方阵。ij ij nA行列式 叫做 阶方阵 的行列式。记为 。121212.nnnaa()ijAa矩阵的相等 矩阵 与 是相等的，若 （m()ija()ijBbijijb） 。,.,.ij零矩阵 若 （ ） ，则称矩阵 为零矩阵。0ija1,2.,.imjn()ijAa负矩阵 叫做矩阵 的负矩阵，记为 。
18、()ijmn()ijAa上三角矩阵 形如 和 的矩阵叫1211220.mnmnaa1212.0.0.0.nna做上三角矩阵。对角矩阵 阶方矩阵 叫做 阶对角矩阵。n120.nnaEa单位矩阵 叫做 阶单位矩阵。10.n转置矩阵 矩阵 叫做 矩阵 的转置矩阵，记nm121212.mnmnaa()ijAa为 。TA2矩阵的运算矩阵的加法+ =121212nmmnaa121212nmnbb11212 212.nmmnmabab 矩阵与数的标量乘法 121212nmmnaak11212212.nmmnkak命题：对数域 上的任意 矩阵 、 、 ，以及任意的 ，有KABC,klK1） ()()ABC2）
19、3） 04） ()5） klAl6） ()7） kBk8） 。1A矩阵的乘法定义：对数域 上的任意 矩阵 ， 矩阵 ，定义Kmn()ijAanr()ijBb。其中 （ ） 。()ijABc12.ijijijijabb1,2.,.mr命题：1）矩阵的乘法满足结合律： ；()BC2） ()CAA3） TTB4） ()k5） 。TA6） （ 为 阶方阵）EAn3矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换初等行变换：1）交换两行的位置；2）用一个数乘以某一行；3）用一个数乘以某一行后加到另一行。第一章 向量代数1 向量的线性运算一向量的基本概念1向量的概念、有向线段、向量的表示2向量的长度或模、单位向量、
20、零向量、负向量二向量的运算1向量的加法定义平行四边形法则、三角形法则加法的性质2向量的减法3向量的标量乘法标量乘法的定义，标量乘法的性质 2 向量的共线与共面1共线与共面的含义2共线与共面的判断和性质命题 2.1 （1）如果存在实数 ，使得 ，则 与 共线；（2）如果 与 共kakbab线并且 ，则存在唯一的实数 ，使得 。0b命题 2.4 如果存在实数 ，使得 ，则 、 、 共面。,kmckac命题 2.5 如果 、 、 共面，并且 与 不共线，则存在唯一的实数对 ，使得abab,km。ck3线性相关与线性无关线性相关与线性无关的定义命题 2.1、2.4、2.5 的等价描述。问题：若一组向量
21、线性相关，再加进一个向量后还是否线性相关？若一组向量线性无关，去掉一个向量后还是否线性无关？4自由向量、位置向量、空间点与向量的一一对应3向量的线性关系与线性方程组命题：取定空间仿射标架 ，对任意三个向量 、 、 ，设123;,Oeabc， ， 。则 、 、1231aeae2bae1323ceab线性相关当且仅当c121330xxaa有非零解。对任意三个不共面的向量 、 、 ，向量 可被它们线性表示与线性方程组解的关bcd系。命题 4.2推论 4.3命题 4.4推论 4.5第三章 线性方程组 1 n 维向量空间定义：数域 中 n 个数组成的有序数组 称为数域 上的一个 维向量。K12(,.)n
22、aKn称为该向量的分量。记 。 叫做零向量。向量ia12(,.)na0叫做向量 的负向量。记为12(,.,)n, 12(,.,)naa定义：数域 中两个向量 叫做相等的，若对所有的K12(.)na12(,.)nb，都有 。这时记 。,.iiab定义：对数域 中的任意两个向量 、 ，定义12(,.)n12(,.)nb。12(,ab叫做 与 的和。ab定义：对数域 中的任意向量 、任意 ，定义K12(,.)naakK。k12(,.k叫做 与 的标量乘法。ka命题：对数域 中的任意向量 、 、 ，以及任意的 ，有abc,kl1） ()bc()c2） a3） 04） ()5） klal6） ()a7）
23、 kbkb8） 。1a定义：数域 中的全体 维向量 关于上面定义的加法和标量乘法构Kn12(,.)naa成数域 上的 维向量空间。记为 。nK定义：数域 上的 维向量空间 的一个非空子集 叫做 的线性子空间，如果WnK它满足下面的性质：1）对任意的 、 ，有 ；abnnab2）对任意的 和任意的 ，有 。Kkn命题： 维向量空间 的任意有限个线性子空间的交仍然是 的线性子空间。nn nK所有的 维向量空间 以及它的任意线性子空间通称为向量空间。命题：对于向量空间 中的向量 、 、 ，定义1a2ma ， 12(,.)mLa12.mkki1,2.i则 是 的子空间。称为由 、 、 张成的线性子空间
24、。nK12m 3 用消元法解线性方程组三个例子：1） 1234546x12358x2） 12341x1230x3） 12350x123x1. 线性方程组与矩阵系数矩阵 增广矩阵 线性方程组的矩阵形式线性方程组 121212nmmnaxaxb系数矩阵 增广矩阵12212nmmnaa121212nmmnaab线性方程组的矩阵形式 或1212212nmmnmaaxbAx2. 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换的定义。 命题：线性方程组的初等变换把线性方程组变成和它同解的方程组。3阶梯形方程组与行阶梯矩阵定义（149 页）：注意：对方程组作一个初等变换等价于对它的增广矩阵作一个同样的初等行变换。
25、121323axaxb 12132313131()()()axaxbakkkkb121323ab11213122233 aabkk 4消元法和将矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵命题：任一线性方程组都可以用初等变换化为阶梯形方程组。命题（154 页）：任一矩阵都可以用初等行变换化为行阶梯矩阵。5判断方程组解的情况定理（160 页）：线性方程组 经初等变换化为阶梯形121212nmmnaxaxb方程组后，1）若阶梯形方程组出现“ ”，其中 为常数，则原线性方程组无解；0d02）若阶梯形方程组不出现“ ”，且阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数 ，则原线性方程组有唯一解；n3）若阶梯形方程组不
26、出现“ ”，且阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的个数 ，则原线性方程组有无穷多个解。推论（163 页）：齐次线性方程组 经初等变换化为阶梯1212120nmmnaxax形方程组后，1）若阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数 ，则原方程组只有零解；2）若阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的个数 ，则原方程组有无穷多个解（有非零解） 。 4 向量组的线性相关性教材 166 页定义：设 、 、 （ ）是数域 上的向量空间 中的向量组，如果存1a2ma1KV在 中不全为零的数 、 、 ，使得 ，则称 、Kkk1a2.k0ma1a、 是线性相关，否则称为线性无关。2m定义：设 、 、
27、（ ）是数域 上的向量空间 中的向量组，如果存1a2maKV在 中不全为零的数 、 、 ，使得 ，则称 可被Kkk1a2.kma、 、 线性表示（线性表出） ，或者 是 、 、 线性组合。12m例 1：包含零向量的向量组一定线性相关。例 2：由一个向量组成的向量组线性无关当且仅当该向量是非零向量。例 3：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关；若向量组线性无关，则向量组的任一个部分组线性无关。命题 4.1 向量组 、 、 （ ）线性相关的充分必要条件是其中至少有1a2ma2一个向量可以被其余向量线性表示。推论 4.1 向量组 、 、 （ ）线性无关的充分必要条件是其中任何一12个向
28、量都不能被其余向量线性表示。命题 4.2 如果向量 可以被向量组 、 、 线性表示，则表示方式唯一的充b1a2ma分必要条件是 、 、 线性无关。1a2m命题 4.3 如果向量组 、 、 线性无关，而 、 、 、 线性相关，12mb12ma则向量 可以被向量组 、 、 线性表示。ba推论 4.2 如果向量组 、 、 线性无关，并且向量 不能被向量组 、12ma1、 线性表示，则 、 、 、 线性无关。2amb命题 4.4 维向量空间 中的向量 可被 个向量nnK12(,.)nbm线性表示当且仅当方程12(,.)iiniaa(1,2.)m1121222mnnmnxaxba有非零解。命题 4.5
29、维向量空间 中 个向量 线性相关当nK12(,.)iiniaa(1,2.)m且仅当方程 1212120mnnmaxxa有非零解。例 5. 维向量空间 的自然基向量 、 、 是线性无关的。这里K12n。(0,.1)i例 6. 维向量空间 个数超过 的向量组一定线性相关。nn例 7 中 个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是向量组的行列式不等于K0。 5 向量组的秩定义：设（）= 、 、 ， （）= 、 、 是向量空间 中的1a2sa1b2tbV两个向量组，如果向量组（）中的每一个向量都能被向量组（）线性表示，则称向量组（）可以被向量组（）线性表示；如果向量组（）和向量组（）可以互相线性表示，
30、则称向量组（）和（）线性等价。命题 5.1（231 页）：向量组（）= 、 、 可以被向量组（）= 、1a2sa1b、 线性表示的充分必要条件是 。向量组（）2bt (,.)sL12(,.)tLb和向量组（）线性等价的充分必要条件是 。12,s,t推论 5.1：如果向量组（）可以被向量组（）线性表示；向量组（）可以被向量组（）线性表示，则向量组（）可以被向量组（）线性表示。定义（232 页）：向量空间 中非零向量组的一个部分组称为极大线性无关组，如果V这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组是线性相关的。命题 5.2：向量空间 中
31、非零向量组的极大线性无关组一定存在。证明：推论 5.2：向量空间 中非零向量组的极大线性无关组一定和这个向量组本身等价。V引理 5.1（181 页）：在向量空间 中，若()= 、 、 可以被向量组()1b2sb= 、 、 线性表示，如果 ，则 、 、 、 线性相关。1a2tasts证明：设 （ ） 。12.jjjjtba,.则 12 12.(.)ssjjjtjxxa1211()().()ss sj j jtj j jaxx考虑方程组 112220sttstaaxx因为 ，所以它有非零解。即有不全为零的数 使得st12,.s。所以 、 、 线性相关。12.0sxbxb12bs推论 5.3：在向量
32、空间 中，若()= 、 、 可以被向量组()= 、V12sb1a、 线性表示，如果 、 、 线性无关，则 。2at 12st推论 5.4：向量空间 中非零向量组的任意两个极大线性无关组都包含相同个数的向量。定义：向量空间 中非零向量组的极大线性无关组所含向量的个数叫做这个向量组的V秩。向量组 、 、 的秩记为 rank 、 、 、 。1a2sa1a2sa推论 5.5：两个等价的向量组有相同的秩。命题 5.3（233 页）：向量组 、 、 线性无关的充分必要条件是 rank 、12s 1a、 。2as6 矩阵的秩定义：矩阵的行秩和列秩。引理 6.1：设 、 、 是向量空间 中的向量组，1a2sa
33、nK12(,.)iiniaa。每个 都添上 个分量（所添分量的位置对于 、 、 都一样） ，(1,2.)isit 1s便得到 中的向量组，称为原向量组的延伸组。若 、 、 线性无关，则它的ntK 12s延伸组也线性无关。引理 6.2：如果齐次线性方程组 的系数矩阵的行秩1212120nmmnaxax，那么它有非零解。rn证明：不妨设系数矩阵的前 行线性无关。则原方程经过初等变换可以化为r1212120nrrrnaxax该方程有非零解。所以原方程有非零解。定理 6.1：任意矩阵的行秩和列秩相等。证明：设矩阵 的行秩和列秩分别为 和 。不妨设矩阵的121212nmmnaaAr前 行线性无关，记 ，
34、则 只有零解。即r(,.)iiiaa12.0rxax122120rnrnxaax只有零解。所以 的行秩等于 。不妨前 行线性无关，由引理 6.1，121212.rnrnaarr矩阵 的前 列线性无关。所以 。同理可证 。因此 。Ar定义：矩阵的行秩叫做矩阵的秩。推论 6.1： 。()()TrankrkA定理 6.2：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。定理 6.3：设矩阵 经过初等行变换化为行阶梯矩阵 ，则 的秩等于 的非零行的TAT数目。设 的主元所在的列为 、 、 ，则 的第 、 、 列构成 的1j2rj1j2rjA列向量组的一个极大线性无关组。推论 6.2：设 是 阶方阵，则 。An()0an
35、kA定理 6.4：一个 阶矩阵的 的秩等于 当且仅当 有一个 阶子式不为零，而所mrr有 阶子式全为零。1r 7 用矩阵的秩判断线性方程组解的情况（3.1） 121212nmmnaxaxb记 为（3.1）的系数矩阵， 为（3.1）的增广矩阵。AA定理 7.1 线性方程组（3.1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，即 。()()rankr证明：方程（3.1）改写为。112112 2212.nmmnaabxx定理 7.2 线性方程组（3.1）有解时，如果它的系数矩阵的秩等于未知量的个数，则（3.1）有唯一解；如果它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，则（3.1）有无穷多个解。推论
36、7.1：线性方程组（3.1）有唯一解的充分必要条件是 。()()rankArn（3.1）有无穷多解的充分必要条件是 。()()rankArn推论 7.2：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。 8 向量空间的基与维数定义：设 是一个向量空间， 中的向量组 、 、 叫做 的一个基，如果VV1a2maV中的任一向量都可以被 、 、 线性表示，并且表示方式是唯一的。1a2m命题 8.1： 中的向量组 、 、 是 的一个基当且仅当 、 、 线12ma性无关，并且 中的任一向量都可以被 、 、 线性表示。V12am定理 8.1：数域 上任一非零向量空间 都有一个基。KV
37、证明：首先证明对任意的 ， 有一个基恰好包含 个向量。nn其次，证明对 的任一非零子空间 都有一个基。n推论 8.1：数域 上非零向量空间 的任何两个基都包含相同个数的向量。定义：数域 上非零向量空间 的基包含的向量个数叫做 的维数，记为 。KVVdimKV零向量空间 的维数规定为 0。V命题 8.2：设数域 上非零向量空间 的维数是 ，则 中任意 个线性无关的向量rr组是 的一个基。命题 8.3：设 、 是向量空间 的两个非零子空间，如果 ，则WZVWZ。dimi命题 8.4：设 、 是向量空间 的两个非零子空间，如果 且，则 。ii命题 8.5：设（）= 、 、 是 中的非零向量组，则（）的一个部分1a2saV组是极大线性无关组当且仅当它是 的一个基。1(,.)sL推论 8.2：设 、 、 是 中的非零向量组，则12srank 、 、 asa12dim(,.)sa
