1、考研数学知识点线性代数 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1第一讲 基本知识 二矩阵和向量 1线性运算与转置 ABBA +=+ () ()CBACBA +=+ () cBcABAc +=+ () dAcAAdc +=+ ()()AcddAc = 00 = ccA 或 0=A 。 向量组的线性组合 s ,21 ， ssccc +2211。 转置 A的转置TA （或 A） () AATT= ()TTTBABA = () ()TTAccA = 。 3 n阶矩阵 n行、 n列的矩阵。 对角线，其上元素的行标、列标相等 ,2211aa 对角矩阵*000*000*数量矩阵 E330003
2、0003=单位矩阵 IE或100010001上（下）三角矩阵*00*0*对称矩阵 AAT= 。 反对称矩阵 AAT= 。 三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 初等变换分初等列变换初等行变换三类初等行变换 交换两行的上下位置 BA 用非零常数 c乘某一行。 把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵 34120100000320001521002014如果有零行，则都在下面。 各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格单调上升。 或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调上升，直到全为 0 。 台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。 简单阶梯形矩阵： 3台角位置的元素都为 1 4台
3、角正上方的元素都为 0。 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。 如果 A是一个 n阶矩阵 A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵，反之不一定，如 100010100是上三角，但非阶梯形 四线性方程组的矩阵消元法 用同解变换化简方程再求解 三种同解变换： 交换两个方程的上下位置。 用一个非 0 数 c乘某一个方程。 把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。 本人花万元报名参加北京一内部考研辅导班，该辅导班考前会发布押题，押题命中率百分之90左右 ，去年该培训班考生全部高分过线。如果需要发布的押题可以联系我QQ673351717免费索取来者不拒 一一
4、发布 希望大家都能顺利高分通过2012研考考研数学知识点线性代数 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2矩阵消元法： 写出增广矩阵 ()A ，用初等行变换化 ()A 为阶梯形矩阵 ()B 。 用 ()B 判别解的情况。 i）如果 ()B 最下面的非零行为 ()d0,0 ，则无解，否则有解。 ii）如果有解，记 是 ()B 的非零行数，则 n= 时唯一解。 n ，则s ,21 一定相关。 0=Ax 的方程个数 ， 则t ,1一定线性相关。 记 ()sA ,1= ， ()tB ,1= ，则存在 ts 矩阵 C ，使得 ACB = 。 0=Cx 有 s个方程， t个未知数， ts |
5、 唯一解 ( )()nAA = | 无穷多解 ( )()nAA 的特征值检查。 推论：如果 A有 n个不同的特征值，则 A一定可对角化。对角化的实现（可逆矩阵 U 的构造） ： 对每个特征值i ，求出 ()0= xAEi 的一个基础解系，把它们合在一起，得到 n 个线性无关的特征向量，n ,1 。令 ()nU ,21= ，则 =nAUU000000000000211，其中i 为i 的特征值。 第七讲 二次型（实二次型） 一基本概念 1二次型及其矩阵 二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如 ()32312123222132156423, xxxxxxxxxxxxf +=是一个三元二次型，它的每
6、一项都是二次，或是一个变量的平方，称为平方项或是两个不同变量的乘积，称为交叉项。 一个 n元二次型的一般形式为 ()jijiijniiiinxxaxaxxxfnxxxf 。 例如，标准二次型( )222221121,nnnxdxdxdxxxf += 正定0id ， ni ,1= （必要性“ ” ，取 11=x ， 02=xxx ，此时 ( ) 00,0,11= df 同样可证每个 0id ） 实对称矩阵正定即二次型 AxxT正定，也就是：当0x 时， 0AxxT。 考研数学知识点线性代数 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 19例如实对角矩阵n00000000 0000 21正
7、定0 i ， ni ,1= 2性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性。 ()nxxxf ,21 变为 ()nyyyg ,21 ， 则它们同时正定或同时不正定。 BA，则 A， B同时正定，同时不正定。 例如 ACCBT= 。如果 A正定，则对每个 0x () 0= ACxCxACxCxBxxTTTT（ C 可逆， 0x ， 0Cx ！ ） 我们给出关于正定的以下性质。 A正定 EA存在实可逆矩阵 C ， CCAT= 。 A 的正惯性指数 n= 。 A 的特征值全大于 0 。 A 的每个顺序主子式全大于 0 。 设 A是一个 n阶矩阵，记rA 是 A的西北角的 r阶小方阵，称rA 为 A的第 r
8、个顺序主子式（或 r阶顺序主子式） 。 判断 A正定的三种方法： 顺序主子式法。 特征值法。 定义法。 附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化 以下谈到的向量，矩阵都是在实数的范围中心，而向量的分量都是实数，矩阵的元素也都是实数。 一向量的内积 1定义 两个 n维实向量 , 的内积是一个数，记作 ( ), ，规定为它们对应分量乘积之和。 设=nnbbbaaa2121, ，则 ( )nnbababa += 2211, T= 2性质 对称性： ( )( ) , = 双线性性质： ( )( )( ) ,2121+=+ ( )( )( )2121, +=+ ( )( )( ) ccc , = 正交
9、性： ( ) 0, ，且 () 00, = ()=niia12, 3长度与正交 向量 的长度 ()=niia12, 00 = cc = 单位向量：长度为 1的向量 001，010，22022， 若 0 ，则是单位向量，称为 的单位化。 11= 两个向量 , 如果内积为 0： ()0, = ，称它们是考研数学知识点线性代数 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 20正交的。 如果 n维向量组s ,21 两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。 二正交矩阵 一个实 n阶矩阵 A如果满足 EAAT= ，就称为正交矩阵。 1= AAT定理 A是正交矩阵 A 的行向量组是单位
10、正交向量组。 A 的列向量组是单位正交向量组。 证：设 ()naA ,21= ，则 ()()()()=21221212121,nnnTAA于是nTEAA ,21= 是单位正交向量组。 三施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。 c=12设321, 线性无关 正交化：令11 = ()()1112122, = （设122 k= ， ()()( )111212, k= 当()()1112,=k 时，12, 正交。 ） ( )()()()222321113133, = 单位化：令111 = ，222 = ，333 = 则321, 是与321, 等价的单位正交向
11、量组。 四实对称矩阵的对角化 设 A是一个实的对称矩阵，则 A的每个特征值都是实数。 对每个特征值 ，重数 ()AErn = 。即 A可以对角化。 属于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩阵 Q，使得 AQQ1是对角矩阵。 对每个特征值 ，找 ()0= xAE 的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 附录二 向量空间 1 n维向量空间及其子空间 记为nR 由全部 n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。 设 V 是nR 的一个子集，如果它满足 （ 1）当21, 都属于 V 时，21 + 也属于 V 。 （ 2） 对 V
12、的每个元素 和任何实数 c， c 也在 V 中。 则称 V 为nR 的一个子空间。 例如 n 元齐次方程组 0=AX 的全部解构成nR 的一个子空间，称为 0=AX 的解空间。 但是非齐次方程组 =AX 的全部解则不构成nR 的子空间。 对于nR 中的一组元素s ,21 ，记它们的全部线性组合的集合为 ( ) 任意isssccccL +=221121, ，它考研数学知识点线性代数 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 21也是nR 的一个子空间。 2基，维数，坐标 设 V 是nR 的一个非 0 子空间（即它含有非 0 元素） ，称 V 的秩为其维数，记作 Vdim 。 称 V 的
13、排了次序的极大无关组为 V 的基。 例如 0=AX 的解空间的维数为 ()Arn ， 它的每个有序的基础解系构成基。 又如 ()()ssrL ,dim2121= ，s ,21 的每个有序的极大无关组构成基。 设k ,21 是 V 的一个基，则 V 的每个元素 都可以用k ,21 唯一线性表示： kkccc +=2211称其中的系数 ()kccc ,21 为 关于基k ,21的坐标，它是一个 k 维向量。 坐标有线性性质： （ 1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和： 如果向量 和 关于基k ,21 的坐标分别为()kccc ,21 和 ()kddd ,21 ，则 + 关于基k ,21 的坐标为
14、 ()()()kkkkdddcccdcdcdc ,21212211+=+（ 2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如果向量 关于基k ,21 的坐标为()kccc ,21 ，则 c 关于基k ,21 的坐标为()()kkcccccccccc ,2121= 。 坐标的意义：设 V 中的一个向量组t ,21 关于基k ,21 的坐标依次为t ,21 ，则t ,21 和t ,21 有相同的线性关系。 于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。 3过渡矩阵，坐标变换公式 设k ,21 和k ,21 都是 V 的一个基，并设1 在k ,21 中的坐标为 ()kiiiccc ,21
15、，构造矩阵 =kkkkkkcccccccccC212222111211， 称 C 为k ,21 到k ,21 的过渡矩阵。 ( ) ( )Ckk ,2121 = 。 如果 V 中向量 在其k ,21 和k ,21 中的坐标分别为 ( )Tkxxxx ,21= 和 ()Tkyyyy ,21= ，则 ( )xk ,21= ( )k ,21= ()Cyyk ,21= 于是关系式： Cyx = 称为坐标变换公式。 4规范正交基 如果 V 的一基k ,21 是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设 的坐标为 ()kccc ,21 ， 的坐标为( )kddd ,21 ， 则 ( )kkdcdcdc += 2211, 两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。
