1、第 10 章 动量定理 115115第 10 章 动量定理一、是非题(正确的在括号内打 “”、错误的打“”)1内力虽不能改变质点系的动量，但可以改变质点系中各质点的动量。 ( )2内 力 虽 不 影 响 质 点 系 质 心 的 运 动 ， 但 质 点 系 内 各 质 点 的 运 动 ， 却 与 内 力 有 关。( )3质点系的动量守恒时，质点系内各质点的动量不一定保持不变。 ( )4若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心坐标保持不变。 ( )5若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心运动的速度保持不变。 ( )二、填空题1质点的质量与其在某瞬时的速度乘积，称为质点在该瞬时的动量。2力与作用时
2、间的乘积，称为力的冲量。3质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。4 质 点 系 的 动 量 随 时 间 的 变 化 规 律 只 与 系 统 所 受 的 外 力 有 关 ， 而 与 系 统 的 内 力 无 关 。5质点系动量守恒的条件是质点系所受外力的主矢等于零，质点系在 轴方向动量x守恒的条件是质点系所受外力沿 x 轴方向投影的代数和等于零。6若质点系所受外力的矢量和等于零，则质点系的动量和质心速度保持不变。三、选择题1如图 10.12 所示的均质圆盘质量为 m，半径为 R，初始角速度为 ，不计阻力，0若不再施加主动力，问轮子以后的运动状态是( C )运动。(A) 减速 (B) 加速(
3、C) 匀速 (D) 不能确定2如图 10.13 所示的均质圆盘质量为 m，半径为 R，可绕 O 轴转动，某瞬时圆盘的角速度为 ，则此时圆盘的动量大小是( A )。(A) (B) 0PP(C) (D) mR2/R 0 O R O 图 10.12 图 10.133均质等腰直角三角板，开始时直立于光滑的水平面上，如图 10.14 所示。给它一个微小扰动让其无初速度倒下，问其重心的运动轨迹是( C )。(A) 椭圆 (B) 水平直线A B C 图 10.14理论力学116116(C) 铅垂直线 (D) 抛物线4质点系的质心位置保持不变的必要与充分条件是( D )。(A) 作用于质点系的所有主动力的矢量
4、和恒为零(B) 作用于质点系的所有外力的矢量和恒为零(C) 作用于质点系的所有主动力的矢量和恒为零，且质心初速度为零(D) 作用于质点系的所有外力的矢量和恒为零，且质心初速度为零四、计算题10-1 计算如图 10.15 所示的下列各刚体的动量。(a) 质量为 m，长为 L 的细长杆，绕垂直于图面的 O 轴以角速度 转动；(b) 质量为 m，半径为 R 的均质圆盘，绕过边缘上一点且垂直于图面的 轴以角O速度 转动；(c) 非 均 质 圆 盘 质 量 为 m， 质 心 距 转 轴 ， 绕 垂 直 于 图 面 的 O 轴 以 角 速 度 转Ce动；(d) 质量为 m，半径为 R 的均质圆盘，沿水平面
5、滚动而不滑动，质心的速度为 。Cv解：（a）由于刚体质心的速度 ，方向水平向右。根据刚体动量的计算公式，LvC21有mP方向水平向右。（b）由于刚体质心的速度 ，方向水平向右，故刚体的动量为RvC方向水平向右。（c）由于刚体质心的速度 ，方向垂直于 的连线，故刚体的动量为evCOCmP方向垂直于 的连线。OC（d）由于刚体质心的速度为 ，方向水平向右，故刚体的动量为Cv方向水平向右。第 10 章 动量定理 117117(a) O A L (d) R C v (b) O R C (c) e C O 图 10.1510-2 如图 10.16 所示的皮带输送机沿水平方向输送煤炭，其输送量为 7200
6、0kg/h，皮带的速度 ，求在匀速传动中，皮带作用于煤炭上的水平推力。15msv./解：设皮带作用于煤炭上的水平推力为 ，则由质点系的动量定理，有xFdtP而 ，故水平推力为)(305.13672NvdtPx )(30Fx10-3 如图 10.17 所示的重物 A、B 的重量分别为 P1、P 2，不计滑轮和绳索的重量，A物下降加速度为 ，求支点 O 的反力。1a解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点系的动量定理，有210FdtPy而 ，而由图示的结构可以看出， ，即 ，代入上12vgPy 1v12vgPy式，有 1210agPPF vO 2P O A B a1 F v v C 图 1
7、0.16 图 10.1710-4 人站在车上，车以速度 前进。设人的质量为 m1，车的质量为 m2，如果人以相1v理论力学118118对于车的速度 向后跳下，求此时车前进的速度。rv解：若不计车与路面之间的摩擦，则人和车组成的系统在沿地面方向的动量应守恒。设人以相对于车的速度 向后跳下，此时车前进的速度为 ，应用质点系动量守恒定理，r v有)()(2121 rmvm解得r2110-5 物体沿倾角为 的斜面下滑，它与斜面间的动滑动摩擦系数为 ，且 ， ftanf如物体下滑的初速度为 ，求物体速度增加一倍时所经过的时间。0v解：选沿斜面下滑的物体为研究对象，受力分析如图所示。应用动量定理，有tFP
8、vgd)sin()2(0而 ，代入上式，可得cofFfNdtfvP)cossi()(0解得物体速度增加一倍时所经过的时间 )cos(sin0fgt10-6 如图 10.18 所示的椭圆规尺 的质量为 ，曲柄 的质量为 ，而滑块AB12mOC1m和 的质量均为 。已知 ，曲柄和尺的质心分别在其中点上，曲柄AB2mOCl绕 轴转动的角速度 为常量。求当曲柄水平向右时质点系的动量。O解：质点系的动量为四个物体动量的矢量和，即iP四个物体的动量分别为jjvPtlmAmBA cos22iiBnjtltlCsn111ivDOcs22这样，质点系的动量可表示为jiP )cos2os5()snsin25( 1
9、21 tlmtltlmtli 当曲柄水平向右时，即 时，代入上式，可得0t j)5(21ll说明质点系的动量方向垂直向上。0vPdFN第 10 章 动量定理 119119A B C O t D v v P AB 1mx B A M k x y O F N gm g图 10.18 图 10.1910-7 如图 10.19 所示质量为 的滑块 ，可以在水平光滑的槽中运动，具有刚度系mA数为 的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆 长为 ，质量忽略不计， 端与滑k BlA块 铰接， 端装有质量 的小球，在铅直平面内可绕点 旋转。设在力偶 的作用下AB1 AM转动角速度 为常数，求滑块 的运动微分方程
10、。解：取整体为研究对象，受力如图所示，建立水平向右的坐标轴 Ox，点 O 取在运动初始时滑块 A 质心上，质点系的质心坐标为： 11sin)sin(mtlxmtlxxC根据质心动量定理： ，得：k)(1tlxsin12110-8 如图 10.20 所示的质量为 m，半径为 2R 的薄壁圆筒置于光滑的水平面上，在其光滑内壁放一质量为 m，半径 R 的均质圆盘。初始时两者静止，且质心在同一水平线上。如将圆盘无初速释放，当圆盘最后停止在圆筒的底部时，求圆筒的位移。解：以整体为研究对象，受力分析如图所示。建立水平向左的坐标轴 Ox 如图所示。从受力图可以看出，在水平方向所有外力的投影均等于零，即在水平
11、方向的质心运动守恒。而由于圆盘无初速释放，即系统初始时质心的速度等于零，可知质心在水平方向的坐标保持不变。设圆盘最后停止在圆筒的底部时，圆筒的位移为 ，应用质心运动守恒定律，可s知msR2很容易解得圆筒的位移为 s10-9 在图 10.21 所示曲柄滑块机构中，曲柄 以匀角速度 绕 轴转动。当开始时，OAO曲柄 水平向右。已知曲柄重 ，滑块 A 重量为 ，滑杆重量为 ，曲柄的重心在OA1P2P3P的中点，且 ，滑杆的重心在点 C，且 。试求：(1)机构质量中心的运L/BL动方程； (2)作用在点 O 的最大水平力。理论力学120120OyF C1 2R C2 gm NF R O x O 3P
12、A D 2L 1 NF x y x BC 图 10.20 图 10.21解：（1）建立如图所示的坐标系，应用质点系质心坐标公式计算机构质量中心坐标为3211)2cos(coscos2PLttLtPxC)(3t)(2sinsinsin231312PtLPtLtyC （2）应用质心运动定理，有gtxgPFCOx cos(212作用在点 O 的最大水平力为LPx2)(231ma10-10 如图 10.22 所示，长为 的均质杆 ，直立在光滑的水平面上。求它从铅直位lAB置无初速地倒下时，端点 相对图示坐标系的轨迹方程。A解：选均质杆 为研究对象，受力分析如图所示。B由于杆 所受的全部外力在水平轴 方
13、向的投影均为零，Ax即在水平方向杆质心运动守恒。而杆是从铅直位置无初速地倒下，即在 方向质心坐标保持不变。杆在倒下的过程x中，质心 C 沿着 轴下降。端点 的运动方程可写为yAcos2lAin消去参数 ，可得端点 相对图示坐标系的轨迹方程为224lyxA10-11 如图 10.23 所示重量为 的电机放在光滑的水平P面地基上，长为 ；重量为 的均质杆的一端与电机轴垂直地固结，另一端则焊上一重lGy BCA xgmNF图 10.22第 10 章 动量定理 121121量为 的重物。设电机转动的角速度为 ，求：(1)电机的水平运动方程； (2)如果电机外W壳用螺栓固定在基础上，则作用于螺栓的最大水
14、平力为多少？y B t x 1NF 2 P G W A y t x xFP G W y A 图 10.23解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的坐标系，其中轴和当均质杆 处于垂直方向时重合。从受力图可知，在水平方向系统所受的全部外yAB力的投影均等于零，故系统在水平方向质心运动守恒。假设电机在 时刻 方向的坐标为tx，则应用质心运动守恒定理，有x0)sin2()sin( tlxWtlxGP解得tli（2）如果电机外壳用螺栓固定在基础上， 轴通过电机轴。此时系统质心的坐标为ytlGPxsin2应用质心运动定理，有xFgW将质心坐标代入上式，可得tlFxsin2作用于螺栓的最
15、大水平力为 2maxlgG10-12 如图 10.24 所示的物体 和 的质量分别是 和 ，用跨过滑轮 的不可伸AB1m2C长的绳索相连，这两个物体可沿直角三棱柱的光滑斜面滑动，而三棱柱的底面 则放在DE光滑水平面上。设三棱柱的质量为 ，且 ，初瞬时系统处于静止。试求物1246体 降落高度 时，三棱柱沿水平面的位移。绳索和滑轮的质量不计。A10ch解：由物体 、 和三棱柱组成的质点系，在水平方向不受外力作用，故质心在水平B方向运动守恒。又因起始系统静止，故在水平方向，系统质心位置不变。建立如图所示的坐标系。设物体 、 和三棱柱的初始质心坐标分别为 、 和 。当物体 降落高度1x2A时，不妨假设
16、三棱柱沿水平方向向右移动 ，则此时物体 、 和三棱柱的质10cmh BBA理论力学122122心坐标可分别表示为 、 和 。初始位置系统xxo130cs2xo206cs质心坐标为mC21末位置系统质心坐标为xxxxmC 21oo12 )()60cs()30cs(由于质心水平方向位置不变，故有 ，求解，得三棱柱沿水平面的位移为Ccmx7.310-13 如图 10.25 所示机构中，鼓轮 质量为 ，转轴 为其质心。重物 的质量为A1OB，重物 的质量为 。斜面光滑，倾角为 。已知 物体的加速度为 ，求轴承 处2m3BaO的约束反力。 g3m B r A R O C a NF g1m 2 xF y
17、v v B 30 60 A C D E g1m g2 NFx y O 图 10.24 图 10.25解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。假设某时刻物体 的速度为 ，物体v的速度为 。它们之间满足关系 ，即 。质点系的动量在两坐标方向的CCvrvRCvrRC投影可表示为coscos33mrvPxvmCy 22inin应用动量定理，有siNOxFdtcos321ygmgFtP其中： ， 。解得轴承 处的约束反力为cos3gmFNadvcos)sin(33arRgOxsin)in()321 amrgmFy 第 10 章 动量定理 12312310-14 如图 10.26 所示质量为 的平台 AB
18、，放在水平面上，平台与水平面间的动摩1m擦系数为 f。质量为 m2 的小车 D 由绞车拖动，相对于平台运动规律为 ，其中 为21sbt已知常数。不计绞车的质量，求平台的加速度。解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示坐标系。小车相对于平台的相对速度为 ，不妨设平台在运动过程中 时刻有向左的速度 ，则小车的btdsvrt ABv绝对速度为ABABravbtv由质点系的动量定理 有xxFdtPdABABFvtmvt)(21其中： ， ， ，代入上式，可得平台的加速度NdfFgm21adt21)(gfbaAB A D B s y x g1m 2 NF d Bv A C B h C1 y
19、x gm 2 NF NF 图 10.26 图 10.2710-15 如图 10.27 所示用相同材料做成的均质杆 和 用铰链在点 连接。已知ABC， 。处于铅直面内的各杆从 处静止释放。当 、 、25cmAC40cB124cmAB运动到位于同一直线上时，求杆端 、 各自沿光滑水平面的位移 和ABs解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于水平面光滑，故系统在水平方向不受外力作用，质心在水平方向运动守恒。由于初始时系统静止，故质心在水平方向的坐标在运动过程中保持不变。不妨设杆单位长度的质量为 ，单位是 ，则两杆的质量ckg/分别为 ， 。建立如图所示的坐标系，则两杆在初始时刻 方向坐标分m25
20、1402 x别为， 。杆在下落的过程中，端 会向左滑.31x 2340217x A动，而端 会向右滑动。当 、 、 运动到位于同一直线上时，两杆的质心 坐标分别BABCx为 ， 。由质心运动守恒定理 ，有5.21As 55 Ass CmsmmA402)45().1(403. 理论力学124124解得杆端 沿光滑水平面的位移AAs)(17cm杆端 沿光滑水平面的位移 为BB2540329()s c10-16 匀质曲柄 OA 重 ，长为 ，初始时曲柄在 位置。曲柄受力偶作用以角速1Gr0OA度 转动，转角 ，并带动总重 的滑槽、连杆和活塞 B 作水平往复运动，如图t210.28 所示。已知机构在铅
21、直面内，在活塞上作用着水平常力 。试求作用在曲柄轴 O 上F的最大水平分力。不计滑块的质量和各处的摩擦。解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的水平坐标轴 ，质点x系的质心坐标可用公式表示为211 )cos(cos2GbtrtrxC应用质心运动定理 ，有FmFxgOxC21将质心坐标公式代入上式，计算可得tGrFOx cos)(221作用在曲柄轴 O 上的最大水平分力为)(21maxgr10-17 10-17 质量为 ，半径为 的匀质半圆形板， 点为半圆板的质心RC（ ）。受力偶 作用，在铅垂面内绕 O 轴转动，转动的角速度与角加速度分别43RCM为 和 ，如图 10.29 所示。当 与水平线成任意角 时，求该瞬时轴 O 的约束反力。C O 1G B A C2 x b C1 A0 F N 1NF x y OyF x mg x yCa n O A M 图 10.28 图 10.29解：选半圆形板为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的坐标系，质心 的法C第 10 章 动量定理 125125向加速度 ，切向加速度为 ，方向如图所示。质心加速度在两坐标轴243nCRa43CRa上的投影分别为24cosincosin3nCxCRa4i i3y Ra应用质心运动定理，有，CxOmFCyOmg联立求解，可得杆 O 端的反力为24(cosin)3xRcsOyg
