1、4.4 求积公式的误差,当f(x)是次数不超过n次的多项式时，f(x)的插值多项式pn(x)就是它本身，这时，如果不计舍入误差，则公式(1)将准确地成立，即有特别地，令f(x)=1知：,求积公式的误差,如果数据f(xk)的舍入误差均不超过，则根据第1章第2节的讨论，积分值：的舍入误差限为：而在求积系数k全为正数的情况下，上述误差限等于：可见，只要数据f(xk)有足够多的有效数字，就可以控制积分值I的舍入误差充分小。由此得知，舍入误差对数值积分的影响不像数值微分那样显著。,求积公式的截断误差,分析求积公式的截断误差。 先考察梯形法则。假定f(x)的二阶导数在(a,b)上改变不大，即设f(x)近似
2、地取某个定值C2。将f(x)在x=a处泰勒展开，有：再对上式两端在(a,b)上求积分，得：,（4.4.1）,截断误差,另一方面，注意到代入梯形公式(2)，知式(4.4.1)与(4.4.2)的前两项相同，相减即得在长为h=(ba)/n的每个子区间(xk-1,xk)上用梯形公式计算积分值，其误差按(4.4.3)式近似地取定值C2h3/12，因此将它乘上n倍即得复化梯形公式(5)的余项：,（4.4.2）,（4.4.3）,辛卜生公式的误差,继续考察辛卜生公式。假定f(4)(x)在(a,b)上近似地取定值C4，将f(x)在(a,b)的中点c=(a+b)/2展开：然后将该展开式在(a,b)上求积分，注意到
3、其中的第二项f (c)(xc)和第四项f (c)(xc)3/3!的积分均为0，我们有,辛卜生公式的误差,另一方面，将辛卜生公式(3)右端各项同样在点c展开，得：代入(3)式，得：,辛卜生和柯特斯公式的误差,于是利用(14)式，有如果在每个子区间(xk-1,xk)上使用这个估计式，即得复化辛卜生公式(6)的余项类似地可以证明，如果f(6)(x)在(a,b)上改变不大，近似地取某个定值C6，则柯特斯公式(7)的余项为：,（4.4.6）,求积公式的误差余项的证明,上面讨论积分余项时，我们曾分别假定f(x)，f(4)(x)和f(6)(x)在(a,b)上近似地取定值。其实这些限制（它们都很苛刻）可以放弃
4、。,求积公式的误差余项的证明,对梯形公式，假定f(x)在(a,b)有连续的二阶导数，将f(x)在x=a处作泰勒展开其中，T1(x)为一阶泰勒多项式，R1(x)为泰勒余项。梯形公式的余项即为,求积公式的误差余项的证明,因为梯形公式对一次多项式精确成立，且考虑到R1(a)=0，故有将上式中累次积分交换积分次序，则可推得其中，,求积公式的误差余项的证明,因为K(t)在(a,b)内为非正，故利用广义积分中值定理可得它是余项公式(12)的准确形式。,求积公式的误差余项的证明,考察辛卜生公式。设函数f(x)在(a,b)上有连续的四阶导数，将f(x)在x=a处作泰勒展开其中，T3(x)为三阶泰勒多项式，R3(x)为泰勒余项。于是辛卜生公式的余项为这里c=(a+b)/2。,求积公式的误差余项的证明,由于R3(a)=0，故有对上式中累次积分交换积分次序，并定义函数则可推得其中，,求积公式的误差余项的证明,经算后可得：所以在(a,b)内K(t)0，据广义积分中值定理有其中，是区间(a,b)，内某一点。于是，辛卜生公式的余项为：这就得到前述公式(15)的准确形式。,
