《 导数应用》全部教案.doc

1、1北师大版高中数学选修 2-2 第三章 导数应用全部教案扶风县法门高中 姚连省1 函数的单调性与极值第一课时 导数与函数的单调性（一）一、教学目标：1、知识与技能：理解函数单调性的概念；会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一） 创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研

2、究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用（二） 新课探究1问题：图 3.3-1（1） ，它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数ht 2()4.96.510htt的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间vt变化的函数 的图()9.865vtht像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，

3、即 是增函ht()ht数相应地， （2）从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函()0vth数相应地， 2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系2如图 3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率0()fx()fx0,)y在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增；0x0()fx ()fx0在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减1 1结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数(,)ab()0fx()yfx()0fx在

4、这个区间内单调递减()yfx说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数()fx()yfx3求解函数 单调区间的步骤：()yfx（1）确定函数 的定义域；（2）求导数 ；（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增()yfx()0fx区间；（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间()0fx（三） 典例探析例 1、已知导函数 的下列信息：()f3当 时， ；14x()0fx当 ，或 时， ；1当 ，或 时，x()fx试画出函数 图像的大致形状()yf解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；14x0x()yfx当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减；1()f当 ，或 时，

5、，这两点比较特殊，我们把它称为 “临界点” xx综上，函数 图像的大致形状如图 3.3-4 所示()yf例 2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1） ； （2）3()fx2()3fx（3） ； （4）sin(0,)x41x解：（1）因为 ，所以，3()f 22(3()0fx因此， 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示fx（2）因为 ，所以， 2()3fx()21fxx当 ，即 时，函数 单调递增；0f13f当 ，即 时，函数 单调递减；()x2()x函数 的图像如图 3.3-5（2）所示23fx（3）因为 ，所以，()sin(0,)fx()cos10fx因此，函数 在 单调递减

6、，如图 3.3-5（3）所示x（4）因为 ，所以 32()41fx4当 ，即 时，函数 ；()0fx2()3fx当 ，即 时，函数 ；函数 的图像如图 3.3-5（4）所示32()41fxx注：（3） 、 （4）生练例 3如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像ht分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上， （A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解： 1,2,3,4BDC思考：例 3 表明，通过函数图像

7、，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些如图 3.3-7 所示，函数 在 或 内的图像“ 陡峭”()yfx0,b,a，在 或 内的图像“平缓” ,b,a例 4、求证：函数 在区间 内是减函数321yxx2,1证明：因为 2666x当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数,1xx0y321yx2,5说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤：（ 1）求导函数 ；（2）判断 在 内的符号；fx,abf

8、xfx,ab（3）做出结论： 为增函数， 为减函数00fx（四） 课堂练习：课本 P59 页练习 1（1） ；2（五） 回顾总结：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）求解函数 单调区间；（3）证明可导函数()yfx在 内的单调性fx,ab（六） 布置作业：课本 P62 页习题 3-1A 组 1、2五、教后反思：第二课时 导数与函数的单调性（二）一、教学目标：1、知识与技能：理解函数单调性的概念；会判断函数的单调性，会求函数的单调区间。2、过程与方法：通过具体实例的分析，经历对函数平均变化率和瞬时变化率的探索过程；通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过程。3、情感、态度与价值观

9、：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数单调性的判定 教学难点：函数单调区间的求法三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、问题情境1情境：作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度） ，而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画2问题：那么导数与函数的单调性有什么联系呢？（二） 、学生活动：结合一个单调函数的图象，思考在函数单调递增的部分其切线的斜率的符号（三） 、建构数学如果函数 在区间 上是增函数，那么对任意 ， ，当 时， ，即 与()fx(,)ab1x2(,)ab1x212()fxf1x2同号，从而 ，即 12ff12()0fx

10、fy这表明，导数大于 与函数单调递增密切相关0一般地，我们有下面的结论：设函数 ，如果在某区间上 ，那么 为该区间上的增函数；如果()yfx()0fx()fx在某区间上 ，那么 为该区间上的减函数；如果在某区间上 ，那么 为该区间上的常数函()fx()f ff数上述结论可以用下图来直观理解6思考：试结合 ：如果 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有 吗？3yx()fx ()0fx说明：若 为某区间上的增（减）函数，则在该区间上 （ ）不一定成立即如果在某区间上()f ()0fx（ ）是 在该区间上是增（减）函数的充分不必要条件0fxx()fx（四） 、知识运用1、例题探析：例 1、确定函数

11、在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数2()43fx解： 令 ，解得 因此，在区间 内， 是增函数()24fx0x(2,)()fx同理可得，在区间 内， 是减函数（如左图） (,)fx例 2、确定函数 在哪些区间内是增函数32()67fx解： 令 ，解得 或 2()61fxx()0fx2因此，在区间 内， 是增函数；在区间 内， 也是增函数,0)(,)()fx例 3、确定函数 ， 的单调减区间()sinfx0,2x解： 令 ，即 ，又 ，所以 ()coffcos,2x3(,)2x故区间 是函数 ， 的单调减区间注意：所求的单调区间必须在函数的定义域内,2()ix,x例 4、已知曲线 ， （1

12、）用导数证明此函数在 上单调递增；（2）求曲线的切线 的斜率的取值3260yRl范围 （1）证明： 恒成立所以此函数在 上递增 （2）解：23()3(1)30xxxR由（）可知 ，所以 的斜率的范围是 2()3)flk2、巩固练习：练习册 1，2，3（五） 回顾小结：函数单调性与导数的关系：函数 ，如果在某区间上 ，那么 为该区间上的()yfx()0fx()fx增函数；如果在某区间上 ，那么 为该区间上的减函数；如果在某区间上 ，那么 为该区()0fx()fx 间上的常数函数。用导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的导数 f( x)。令 f( x) 0 解不等式，7得 x 的范围就是递增

13、区间。令 f( x) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间。（六） 、作业布置：1、已知函数 的图象过点 P（0,2）,且在点 M 处的切线方程dab23( )1(,f为 .（）求函数 的解析式；（）求函数 的单调区间。076yx)xfy )(xfy解：（）由 的图象经过 P（0，2） ，知 d=2，所以)(xf ,2)(23cbxf由在 处的切线方程是 ，知1,M076yx.23)(cbxxf .6)1(,)(,)1( fff即故所求的解析式是 .3,03.1,6cb解 得即 .23)(23xxf（） .012,063)( 22 xxxxf 即令解得 当.1,21 ;)(,1f时或当

14、故 内是增函数，0)(,xfx时 ,3)(23在xxf在 内是减函数，在 内是增函数.),( ,2、已知向量 在区间（1，1）上是增函数，求 t 的取值范围。baxftxbxa )()1(,(2若 函 数解： 依定义 ,) 23tf 的图象是开口向下的抛物线，.0)()1,(,)1,(.23 xfxftx上 可 设则 在上 是 增 函 数在若 )(xf时且当 且 仅 当 05)(0tft.5.),)(),(tt xfxf的 取 值 范 围 是故 上 是 增 函 数在即上 满 足在五、教后反思：第三课时 导数与函数的单调性（三）一、教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利

15、用导数判断函数单调性的方法 奎 屯王 新 敞新 疆二、教学重难点：利用导数判断函数单调性 奎 屯王 新 敞新 疆.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、复习：1. 函数的单调性. 对于任意的两个数 x1， x2 I，且当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1， x2 I，且当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数.2. 8导数的概念及其四则运算 3、定义：一般地，设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 0，那么函/y数 y=f(x)

16、在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 奎 屯王 新 敞新 疆4、用/y导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的导数 f( x).令 f( x) 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令 f( x) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间.（二） 、探究新课例 1、确定函数 f(x)=x22 x+4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解： f( x)=(x22 x+4)=2 x2.令 2x20，解得 x1.当 x(1，+)时， f( x)0， f(x)是增函数.令 2x20，解得 x1.当 x(，1)时， f( x)0，

17、 f(x)是减函数. 例 2、确定函数 f(x)=2x36 x2+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解： f( x)=(2x36 x2+7)=6 x212 x，令 6x212 x0，解得 x2 或 x0当 x(，0)时， f( x)0， f(x)是增函数.当 x(2，+)时， f( x)0， f(x)是增函数.令 6x212 x0，解得 0 x2.当 x(0，2)时， f( x)0， f(x)是减函数. 例 3、证明函数 f(x)= 在(0，+)上是减函数.1证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1， x2(0，+)设 x1 x2.f(x1) f(x2)= x10， x20，

18、x1x202121 x1 x2， x2 x10， 0 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)21 f(x)= 在(0，+)上是减函数.证法二：(用导数方法证) f( x)=( )=(1) x2 = ， x0， x20， 0. f( x)0，1121 f(x)= 在(0，+)上是减函数.2例 4、求函数 y=x2(1 x)3的单调区间.解： y= x2(1 x)3=2 x(1 x)3+x23(1 x)2(1)=x(1 x)22(1 x)3 x= x(1 x)2(25 x)9令 x(1 x)2(25 x)0，解得 0 x . y=x2(1 x)3的单调增区间是(0， )552令 x(

19、1 x)2(25 x)0，解得 x0 或 x 且 x1. 为拐点，1 y=x2(1 x)3的单调减区间是(，0)，( ，+)52例 5、已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围234()fxaxR1,a解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即()2fxf, ()0fx1,对 恒成立，解之得： ；所以实数 的取值范围为 20a1,a说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解()fx()0fx（三） 、小结：本节课学习了利用导数判断函数单调性

20、.（四） 、课堂练习：第 62 页练习 4（五） 、课后作业：1、求证：函数 在区间 内是减函数321yxx2,1证明：因为 26166yx当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数,x0y32yxx2,12、已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围23()4()fxaxR1,a解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即f ()0fx,对 恒成立，解之得：20xa1,xa所以实数 的取值范围为 。五、教后反思：第四课时 函数的极值一、教学目标：1、知识与技能：理解函数极值的概念；会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会对函数的极大值与极小值。3

21、、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法10三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、复习引入1、常见函数的导数公式：； ； ； ； 0C1)(nxxcos)(sixsin)( x1)(ln； ； exaalog)(l x aln2、法则 1 )()( vuvu法则 2 , xxx()()Cux法则 3 2(0)v3、复合函数的导数： xuxy4、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 0，那么函数/yy=f(x) 在为这个区间内的增函数；

22、如果在这个区间内 4x)(4xf1f（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点11f(x2)f(x4)f(x5)f(x3) f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1 ba xOy4、判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值0x0)(f0x)(xf0x)(f点， 是极值，并且如果 在 两侧满足“左正右负” ，则 是 的极大值点， 是极大值；如果)(f )(f在 两侧满足“左负右正” ，则 是 的极小值点， 是极小值)(xf0 0x)(f )(0xf5、求可

23、导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 ；(2)求方程 =0 的根；(3)用函数的/ /()fx导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 在方程根左右的值的符号，如果/()f左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值。（三） 、典例探析例 1、求 的极值 奎 屯王 新 敞新 疆 314fx解： 因为 ，所以 。24()2fxx下面分两种情况讨论：（1）当 0,即 ，或 时；（2）当 4x)(4xf1f（）函数的极值点一定出现在区间的内部

24、，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果是函数 的极大（小）值点，那么在点0xyfx 附近找不到比0x更大（小）的值但是，在解决实际问题或研f 究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果 是函数0的最大（小）值，那么 不小（大）于函数0fx 在相应区yfx间上的所有函数值x3x2x1 ba xOy14y=x4-2x2+512108642-4-2 42 xOy（二） 、探究新课1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间

25、 上的函数ba, 的图象图中)(xf与 是极小值， 是极大值函数)(1xf3f2()fx 在 上的最大ba,值是 ，最小值是 b3结论：一般地，在闭区间 上函数ba, 的图像是一条()yfx连续不断的曲线，那么函数 在 上必有最大值与最小值()yfx,说明：在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值如函数 在 内连续，但没有最(,) xf1)(),0(大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件)(xfba,)(xfba,(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值

26、最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、 “最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 奎 屯王 新 敞新 疆极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数 的图象可以看出，只要把

27、连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数)(xf的最值了设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：求 在)(fba,(,)ab)(xfba, )(xf内的极值；将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值,ab)xff )(xfba,（三） 、例题探析例 1、求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值524y2,解 ： 先求导数，得 x3/令 0 即 解 得/y043x 1,0,132xx3x2x1 ba xOy15导 数 的正负以及 ， 如下表/y)2(f(fX -2 （ -2,-1） -1 （ -1,0） 0 （ 0,1） 1 （ 1,

28、2） 2y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13从上表知，当 时，函数有最大值 13，当 时，函数有最小值 4 奎 屯王 新 敞新 疆2x 1x例 2、已知 , (0,+).是否存在实数 ,使 同时满足下列两个条件：（1） )3()logabfxab、 )(xf (xf在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数；（2） 的最小值是 1，若存在，求出 ，若不存在，说明)(xf ab、理由.解：设 g(x)= f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数ba2g(x)在（0，1）上是减函数，在 1，+)上是增函数. 解得 经检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件。33b

29、a（四） 、课堂练习：1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数 y=f(x)在区间 a,b上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f( x) ( )A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能3.函数 y= ，在1，1上的最小值为( )2341xA.0 B.2 C.1 D. 234.函数 y= 的最大值为( )。A. B.1 C. D.x 2135.设 y=|x|3,那么 y 在区间3，1上的最小值是( )A.27 B.3 C.1 D.16.设 f(x)

30、=ax36 ax2+b 在区间1，2上的最大值为 3，最小值为29，且 ab,则( )A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=2, b=3（五） 、小结 ：函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间)(xf,)(xf16上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 内ba, ba, ),(ba的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值 ， 若 有 唯 一 的 极 值 ， 则 此 极 值 必 是 函 数 的 最 值 。（六

31、） 、作业布置：课本 P69 页习题 3-2A 组 2、4五、教学反思：第六课时 函数的最大值与最小值（二）一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化” ，即建立数学模型.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习引入1函数 y = xex在 x0, 4的最小值为（ A ）A0 B C D1e4e2e2给出下面四个命题.函数 y = x

32、2 5x + 4 (x1，3)的最大值为 10，最小值为 ；94函数 y = 2x2 4x + 1 (x(2, 4)的最大值为 17，最小值为 1；函数 y = x3 12x (x(3, 3)的最大值为 16，最小值为 16；函数 y = x3 12x (x(2, 2)无最大值，也无最小值.其中正确的命题有（ C ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（二） 、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出)(xf函数的最值了设函数 在 上连续，在 内可导，则求 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(fba,(,)ab

33、)(xfba,求 在 内的极值；x将 的各极值与 、 比较得出函数)(f)(ff 在 上的最值 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf,17说明：在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值如函数 在 内连续，但没有最(,)ab)(xf xf1)(),0(大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件)(xfba,)(xfba,(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 奎 屯王 新 敞新 疆（三）典例探析例 1、求函数

34、的最大值与最小值。2,2sin)( xxf解析： 121co,cs0cos,23fxx令 得列表： x(,)(,)3(,)32)f- 0 + 0 -y 极小值 极大值 ， ，3()=()2fxf极 大 值 3()=(-)+2fxf极 小 值，,2ffmaxmin,()2fffxf练习：求函数 的最大值与最小值。,0,sin)(x例 2、已知函数 ， （I）求函数 在 上的最大值和最小值.（II）过点 作曲线3fx()fx3,(2,6)P的切线，求此切线的方程.()yf解析：（I） ， 当 或 时， ，(1)fx,1)(,2x()0fx为函数 的单调增区间 当 时， ，3,12f (x)f为函数

35、 的单调减区间 ()f又因为 ，398,12,(),()28f ff所以当 时， 当 时， 3xmin()fx1xmax()2f（II）设切点为 ，则所求切线方程为 3,Q 31)(yx由于切线过点 ， ，6P32()()解得 或 所以切线方程为 即0 64(或或 3xy2450xy18练习：已知函数 。若 f（ x） 在-1，2上的最大值为 3，最小值为 29，求： a、 b 的值baxxf236)(例 3、已知 a 为实数， （）求导数 ；（）若 ，求 在 上的最)(4/()fx/(1)0f)(xf2,大值和最小值；（）若 在 和2，+上都是递增的，求 a 的取值范围。)(xf,2解：()

36、由原式得 ,3a .4)(2xxf()由 得 ,此时有 .01f1a 43)(,21)(4)( 22 xfxf由 得 或 x=-1 , 又)(34x ,0)(,9,7503ff所以 f(x)在-2,2上的最大值为 最小值为 29.() 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得42)(axxf即 -2a2. 所以 a 的取值范围为-2,2. ,0,f08.（四） 、课堂小结：1、函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2、函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；)(xfba,)(xfba,3、闭 区

37、间 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值 ， 若 有 唯 一 的 极 值 ， 则, )(此 极 值 必 是 函 数 的 最 值 奎 屯王 新 敞新 疆 4、利用导数求函数的最值方法（五）课后作业：练习册 P41 中 2、4、5、7五、教学反思：第七课时 导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法二、教学重点：函数建模过程

38、教学难点：函数建模过程三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一） 、复习：利用导数求函数极值和最值的方法（二） 、探究新课19例 1、在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为 xcm，则箱高 cm，得箱子容积602xh260)(32hxV)() )60(x令 0，解得 x=0（舍去） ，x=40， 并求得 V(40)=16 00023()6Vx由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值

39、 奎 屯王 新 敞新 疆 答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2 x)cm，则得箱子容积 （后面同解法一，略）xV2)60()0(由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值 出现在极值点处事实上，可导函数 、 在各自的定义域中都只有一个极值点，从图26)(32xhVxV2)60()象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 奎 屯王 新 敞新 疆例 2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为

40、R，则表面积S=2Rh+2R 2由 V=R 2h，得 ，则VS(R)= 2R + 2R 2= +2R 22R令 +4R=0()s解得，R= ，从而 h= = = =232V223()V343V即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值 奎 屯王 新 敞新 疆 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 奎 屯王 新 敞新 疆变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示： S=2+ h=R2RS2x xxx6060x60-2x60-2x 60-2xx60-2x606020V(R)= R = S22 321)(1RSS)=0 )

41、 26h222例 3、已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求qp8125产量 q 为何值时，利润 L 最大？分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 ，21258qpq利润 221(04)08LRCq(10)q214Lq令 ，即 ，求得唯一的极值点 奎 屯王 新 敞新 疆 答：产量为 84 时，利润 L 最大 奎 屯王 新 敞新 疆014q4（三） 、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四） 、课堂练习：第 6

42、9 页练习题 （五） 、课后作业：第 69 页 A 组中 1、3 B 组题。五、教后反思：第八课时 导数的实际应用（二）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一） 创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题（二） 新课探究

43、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通21建立数学模型过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案（三） 典例分析例 1、海

44、报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为 xdm，则版心的宽为 dm,此时四周空白面积为128x。185()4)(),0Sxx求导数，得。 25()令 ，解得 舍去） 。 10Sx16(x于是宽为 。86当 时， 0.(,1)x()Sx(,)()Sx因此， 是函数 的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm，宽为 8dm 时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为 16dm，宽

45、为 8dm 时，海报四周空白面积最小。例 2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶20.8rr子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是r22建立数学模型332240.2.80.,06ryfrr r令 解得 （ 舍去）.8()f当 时， ；当 时， 0,2r0fr2,6r0fr当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，利润越高；f当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，利润越低rfrr（1）半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负220f值（2）半径