1、1 第 9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 引 言 2 本章研究的问题 : 3 9.2 欧 拉 方 法 9.2.1 欧拉公式 1 欧拉公式 4 图 9.1 欧拉折线法 5 (2) (3) 6 7 2 欧拉公式的截断误差 (4) 8 3单步法的局部截断误差与阶 局部截断误差可以理解为计算一步的误差 . 9 局部截断误差可以理解为计算一步的误差 . 10 则称该方法具有 P阶精度 . )( nxyp定义 2 设 是初值问题的准确解，若存在最大整数 使显式单步法的局部截断误差满足 1111 ),()()( pnnnnnnn hOhyxhxyhxyyxyT 若把上式展开写成 )()(,( 211
2、 ppnnn hOhxyxT 1)(,( pnn hxyx则 称为局部截断误差主项 。 11 4 后退的欧拉方法 (5) (6) (6)式称为 后退的欧拉方法 ,它是 隐式的 ,欧拉公式 (2)是 显式的 , 12 13 (7) (6) 14 15 后退的欧拉方法的局部截断误差 : 16 5 梯形方法 (8)式称为梯形方法 . (8) 17 梯形方法的局部截断误差 : 18 9.2.4 改进欧拉法及局部截断误差 nnnn yxhfyy , 1 111 ,2 nnnnnn yxfyxfhyy预测步 校正步 cpnpnncnnnpyyyyxhfyyyxhfyy21,11或者写成 1.改进的欧拉公式
3、 : 19 2.改进的欧拉方法的局部截断误差 20 ),(1 kkkk yxhfyy ),(),(2 111 kkkkkk yxfyxfhyy考虑改进 Euler法 如果将其改成 )(2 211 KKhyy kk ),(1 kk yxfK ),( 12 hKyhxfK kk )( 00 xyy -(1) 9.3 Runge-Kutta法 21 改进 Euler法是由梯形公式和 Euler公式复合而成 梯形公式具有 2阶精度 (1)式为一种 二阶 Runge-Kutta法 同样可以证明 ,改进 Euler法也具有 2阶精度 22 Runge-Kutta方法的推导 23 Runge-Kutta方法
4、的一般形式： riKhyhxFKyxfKKchyyijjijnininnriiinn,3,2),(),(11111确定了阶数之后，再通过 Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数： ,i i ijc 24 二阶显式 Runge-Kutta方法 25 26 27 28 29 例 .1)0(,:O D E 2 yydxdy求解初值问题.1 1 xy 易知其精确解为： 21.01.0.1,21E u l e r,21.1222121221nnnnnyyyyycca积分公式：法：改进的 321.0321.0.23,31,32,31.2222121221nnnnnyyyyycca积分公式：分别用以下两种系数：步长都取为 1.0h30 结果及比较
