1、 11-12 学年 2 学期 第 页 共 页 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 总分人 得分 得分 阅卷人 一、 判断正误 (正确填 ,错误填 X )（每题 1 分，共 10 分 ,） 1. If two real numbers are exactly representable as floating-point numbers, then the result of a real arithmetic operation on them will also be representable as a floating-point number. （ ） 2. Extra
2、polation to step size zero mean that the result is exact. ( ) 3. 3点 Newton-Cotes积分公式 (Simpsons rule)的代数精度为 3. （ ） 4. If A is any nxn nonsingular matrix, then cond(A)=cond(A-1) ( ) 5. In solving a nonsingular system of linear equations, Gaussian elimination with partial pivoting usually yields a smal
3、l residual even if the matrix is ill-conditioned. （ ） 6. 分段多项式插值可消除过分振荡和不收敛现象，光滑性 比高次多项式插值也好 。 （ ） 7. 对有噪声的数据进行拟合时，采用插值比较适合 。 （ ） 8. 收敛速率是衡量迭代方法收敛快慢的重要指标。在一维非线性方程求根问题中，收敛速度由快到慢的顺序为：割线 （ Secant） 法 牛顿 （ Newton） 法 二分法 . （ ） 9. 对给定的 n 个互不相同的观测点及观测值，采用 n-1 次多项式插值或 n-1 次多项式 拟合逼近 ，所得结果完全一样。 （ ） 10. 对给定的一组观
4、测数据，采用直线拟合是线性最小二乘拟合问题，采用二次多项式拟合则为非线性最小二乘拟合问题。 （ ） 得分 阅卷人 二、 填空题（每题 2 分，共 20 分） 1. The approximate relative errors in approximating by 3 is 。 2. 用两点 Newton-Cotes积分公式（梯形公式）计算 10 3dxx，结果为 _。 3. 矩阵20006-0004A 在 1-范数下的条件数为 。 4. 求解线性方程组的 (1)Gauss-Jordan消去法、 (2)列主元 Gauss消 去法、 (3)Cramer法则、(4)直接求逆 矩阵 ，按 计算 量
5、 递 增 排序是 _. 5. 矩阵22484548416 的 Cholesky分解为 。 6. 如果 t1=-2, y1=-27, t2=0, y2=-1, t3=1, y3=0，差商 (divided difference) ft1,t2,t3=_. 7. 采用 Newton插值时，对应的基矩阵 (basis matrix)是 _矩阵。 8. 对线性方程组 ,bAx 若 A 是 nm 阶矩阵， x 是 n 列向量， b 是 m 维列向量，则此方程组当 _时，称为超定的（ overdetermined） 。 9. 用割线法 （ Secant） 求解一维非线性方程时，需要 _个迭代初始值 。 1
6、0. 在一维不动点迭代中，迭代格式 )(1 nn xgx ，对给定初值 0x ，局部收敛的判定条件是 _. 得分 阅卷人 三、 简答 题（每题 4 分，共 20 分） 1、 一个问题被称为 “ well-posed” 的，表示什么含义？ 2、 对比说明简单积分公式 (simple quadrature rules)与复化积分公式 (composite quadrature rules)的特点。 学院专业级学号姓名山东大学 数值计算 课程试卷 A 第 1 页 共 4 页 密封线 11-12 学年 2 学期 第 页 共 页 3、 矩阵条件数的几何 意义是什么？与矩阵的奇异程度有什么关系？ 4、 (
7、a) How many parameters are required to define a piecewise cubic polynomial with n knots? (b) Obviously, a similar number of equations is required to determine those parameters. Assuming the interpolating function is to be a natural cubic spline, explain how the requirements on the function account f
8、or the necessary number of equations in the linear system to be solved for the parameters. 5、 简述线性最小二乘曲线拟合（ Linear Least Square Curve Fitting）的基本思想。 得分 阅卷人 四、 （共 10 分） 区间 -1,1上的两点高斯积分公式： )()()()()( 222111 1 fGxfwxfwdxxffI 其中节点 1x 、 2x 及系数 1w 、 2w 的选取要使得积分公式的代数精度达到最高。 （ 1）写出确定节点及系数的方程组； （ 7分） （ 2）写出区
9、间 -1,1上的两点高斯积分公式。 （ 3 分） 学院专业级学号姓名山东大学 数值计算 课程试卷 A 第 2 页 共 4 页 密封线 11-12 学年 2 学期 第 页 共 页 得分 阅卷人 五、 （共 10 分） 用 Jacobi和 Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组 (1) 分别写出迭代公式，并执行一次迭代，初始值是 0,0,0。 (2) Which method is more rapidly convergent? (3) Which method requires less storage for the successive approximate solutions?
10、得分 阅卷人 六、 (共 10 分） 给点 3 个数据点 (-2,-27),(0,-1), (1,0), 分别 用单项式基函数（ monomial basis）、Lagrange 基函数（ Lagrange basis）、 Newton 基函数（ Newton basis）进行插值。 学院专业级学号姓名山东大学 数值计算 课程试卷 A 第 3 页 共 4 页 密封线 10-11 学年 2 学期 第 页 共 页 得分 阅卷人 七 、 （共 10 分） 求方程 0134 xx 在 (0,1)之间的一个根。 （ 1）用两步二分法确定一个近似根 ；（ 5分） （ 2）写出牛顿迭代公式，检验收敛条件 ，并迭代一次 ； （ 5分） 得分 阅卷人 八 、 (共 10 分） 说明使用矩阵的奇异值分解 (SVD)压缩图像数据的原理和步骤。 （ 7分） 给定一幅 128X128 的灰度图像 (每个像素用一个字节表示 )，取前多少个奇异值时，能起到压缩数据的作用。 （ 3分） 学院专业级学号姓名山东大学 数值计算 课程试卷 A 第 4 页 共 4 页 密封线
