1、 圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法 1：定义转化法根据圆锥曲线的定义列方程；将最值问题转化为距离问题求解例 1、已知点 F 是双曲线 1 的左焦点，定点 A 的坐标为(1,4)，P 是双曲x24 y212线右支上的动点，则|PF| |PA|的最小值为_ 方法 2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：求与直线平行的圆锥曲线的切线；求出两平行线的距离即为所求的最值例 2、求椭圆 y 21 上的点到直线 yx2 的距离的最大值和最小值，并x22 3求取得最值时椭圆上点的坐标方法 3：参数法（函数法） 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；求解关于这个参数的
2、函数最值例 3、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是椭圆 y 21 上的一个动点，x23则 Sxy 的最大值为_ 方法 4：基本不等式法将最值用变量表示利用基本不等式求得表达式的最值例 4、求椭圆 y 21 内接矩形 ABCD 面积的最大值x23二、圆锥曲线的范围问题方法 1：曲线几何性质法由几何性质建立关系式；化简关系式求解例 1、已知双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在x2a2 y2b2双曲线的右支上，且|PF 1|4|PF 2|，则此双曲线中 的取值范围是_ac方法 2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联
3、立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 联立曲线方程，消元后求判别式；根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆2y 21 有两个不同的交点 P 和 Q.x22(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A，B，是否存在常数 m，使得向量 与 共线？如果存在，求 m 值；如果不存在，请说明理由OP OQ AB 三、圆锥曲线的定值、定点问题方法 1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 根据特殊情况确定出定值或定点；对确定出来的定值或定
4、点进行一般情况的证明例 1、已知双曲线 C：x 2 1，过圆 O：x 2y 22 上任意一点作圆的切线y22l，若 l 交双曲线于 A，B 两点，证明：AOB 的大小为定值方法 2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点 (或定值). 引进参数表示变化量；研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点例 2、如图所示，曲线 C1： 1，曲线 C2：y 24x ，过曲线 C1 的右焦点x29 y28F2 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 C1，C 2 依次交于 B，C，D，E 四点若 G 为 CD 的中点、H 为 BE 的中点，证明 为
5、定值|BE|GF2|CD|HF2|课堂知识运用训练1设 P 是曲线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到x1 直线的距离之和的最小值为( ) A. B. C. D.2 3 5 62椭圆 b2x2a 2y2a 2b2(ab0)和圆 x2y 2 2 有四个交点，其中 c 为(b2 c)椭圆的半焦距，则椭圆 的范围为( ) acA. B0 C. D. 55 ac35 25 25 ac35 35 ac553设 F 是椭圆 1 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点x27 y26Pi(i1,2,3， )，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，组成公差为 d 的
6、等差数列，则 d 的取值范围为_4过抛物线 y22px (p 0)上一定点 P(x0，y 0)(y00)作两直线分别交抛物线于A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则 的值y1 y2y0为_5椭圆 b2x2a 2y2a 2b2(ab0)的左焦点为 F，过 F 点的直线 l 交椭圆于A，B 两点，P 为线段 AB 的中点，当PFO 的面积最大时，求直线 l 的方程6已知O过定点 A(0，p)( p0)，圆心 O在抛物线 C：x 22py(p0)上运动，MN 为圆 O在轴上所截得的弦(1)当 O点运动时， |MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)
7、当| OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线 C 的准线与圆 O的位置关系，并说明理由答案解析圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法 1：定义转化法根据圆锥曲线的定义列方程；将最值问题转化为距离问题求解例 1、已知点 F 是双曲线 1 的左焦点，定点 A 的坐标为(1,4)，P 是双曲x24 y212线右支上的动点，则|PF| |PA|的最小值为_ 解析 如图所示，根据双曲线定义| PF| PF| 4，即|PF|4|PF|.又|PA | PF| |AF| 5，将|PF|4|PF|代入，得|PA| PF|45，即|PA|PF|9，等号当且仅当 A，P，F三点共线，即 P 为图
8、中的点 P0时成立，故| PF|PA| 的最小值为 9.故填 9.方法 2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：求与直线平行的圆锥曲线的切线；求出两平行线的距离即为所求的最值例 2、求椭圆 y 21 上的点到直线 yx2 的距离的最大值和最小值，并x22 3求取得最值时椭圆上点的坐标解 设椭圆的切线方程为 yx b，代入椭圆方程，得 3x24 bx2b 220.由 (4b) 243(2 b22) 0，得 b .3当 b 时，直线 yx 与 yx2 的距离 d1 ，将 b 代入方程3 3 362 33x24bx2b 220，解得 x ，此时 y ，233 33
9、即椭圆上的点 到直线 yx2 的距离最小，最小值是 ；( 233，33) 3 62当 b 时，直线 yx 到直线 yx2 的距离 d2 ，将 b 代3 3 3362 3入方程 3x2 4bx2b 22 0，解得 x ，此时 y ，233 33即椭圆上的点 到直线 yx2 的距离最大，最大值是 .(233， 33) 3 362方法 3：参数法（函数法） 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；求解关于这个参数的函数最值例 3、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y)是椭圆 y 21 上的一个动点，x23则 Sxy 的最大值为_ 解析 因为椭圆 y 2 1 的参数方程为Error!( 为参数)x2
10、3故可设动点 P 的坐标为( cos ，sin )，其中 02.3因此 Sxy cos sin 2 2sin ，所以，当 3 (32cos 12sin ) ( 3)时，S 取最大值 2.故填 2.6方法 4：基本不等式法将最值用变量表示利用基本不等式求得表达式的最值例 4、求椭圆 y 21 内接矩形 ABCD 面积的最大值x23二、圆锥曲线的范围问题方法 1：曲线几何性质法由几何性质建立关系式；化简关系式求解例 1、已知双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在x2a2 y2b2双曲线的右支上，且|PF 1|4|PF 2|，则此双曲线中 的取值范围是_ac解析 根据双
11、曲线定义|PF 1|PF 2|2a， 设|PF 2|r，则|PF 1|4r ，故 3r2a，即 r ，|PF2| .2a3 2a3根据双曲线的几何性质，|PF 2|ca，即 ca，即 ，即 e .又 e1，2a3 ca 53 53故双曲线的离心率 e 的取 值范围是 .故填 .(1，53 (1，53方法 2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 联立曲线方程，消元后求判别式；根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0， )且斜率为 k 的直线 l
12、与椭圆2y 21 有两个不同的交点 P 和 Q.x22(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A，B，是否存在常数 m，使得向量 与 共线？如果存在，求 m 值；如果不存在，请说明理由OP OQ AB 解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 ykx ，2代入椭圆方程，得 (kx )21，整理得 x22 kx10.x22 2 (12 k2) 2由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 8k 24 4k 220，(12 k2)解得 k 或 k ，即 k 的取值范围为 .22 22 ( ， 22) ( 22， )(2)设 P(x1，y 1)，Q
13、( x2，y 2)，则 (x 1x 2，y 1y 2)OP OQ 由方程，知 x1x 2 .42k1 2k2又 y1y 2k(x 1x 2)2 .2221 2k2由 A( ，0) ， B(0,1)，得 ( ，1)2 AB 2所以 与 共线等价于 x1x 2 (y1y 2)，OP OQ AB 2将代入，解得 k .由(1)知 k 或 k ，22 22 22故不存在符合题意的常数 k.三、圆锥曲线的定值、定点问题方法 1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 根据特殊情况确定出定值或定点；对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明例 1、已知双曲线 C：x 2 1，过圆 O：x 2y
14、22 上任意一点作圆的切线y22l，若 l 交双曲线于 A，B 两点，证明：AOB 的大小为定值证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为 x .2当 x 时，代入双曲线方程，得 y ，2 2即 A( ， )，B ( ， )，此时AOB 90 ，2 2 2 2同理，当 x 时，AOB90.2当切线的斜率存在时，设切线方程为 ykxb，则 ，即 b22(1k 2)|b|1 k2 2由直线方程和双曲线方程消掉 y，得(2 k2)x22kbx(b 2 2)0，由直线 l 与双曲线交于 A，B 两点故 2k 20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)则 x1x 2 ，x 1x2 ，2kb2 k2
15、b2 22 k2y1y2(kx 1b)(kx 2b)k 2x1x2kb(x 1x 2)b 2 ， k2b2 2k22 k2 2k2b22 k2 2b2 k2b22 k2 2b2 2k22 k2故 x1x2y 1y2 ， b2 22 k2 2b2 2k22 k2 b2 21 k22 k2由于 b22(1k 2)，故 x1x2y 1y20，即 0，AOB 90.OA OB 综上可知，若 l 交双曲线于 A，B 两点，则AOB 的大小为定值 90.方法 2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点 (或定值). 引进参数表示变化量；研究变化的量与参数
16、何时没有关系，找到定值或定点【例 2】如图所示，曲线 C1： 1，曲线 C2：y 24x ，过曲线 C1 的右焦x29 y28点 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 C1，C 2 依次交于 B，C，D，E四点若 G 为 CD 的中点、H 为 BE 的中点，证明 为定值|BE|GF2|CD|HF2|证明 由题意，知 F1(1,0) ，F 2(1,0)，设 B(x1，y 1)，E(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，直线 yk(x1)，代入 1，x29 y28得 8 29y 2720，即(89k 2)y216ky64k 20，(yk 1)则 y1y 2 ，y
17、1y2 .16k8 9k2 64k28 9k2同理，将 y k(x1)代入 y24x ，得 ky24y4k 0，则 y3y 4 ，y 3y44，4k所以 |BE|GF2|CD|HF2| |y1 y2|y3 y4|12|y3 y4|12|y1 y2| y1 y22y1 y22y3 y42y3 y42y1 y22 4y1y2y1 y22 y3 y42y3 y42 4y3y4 3 为定值 16k28 9k22 464k28 9k2 16k28 9k22 (4k)2(4k)2 16课堂知识运用训练1设 P 是曲线 y24x 上的一个动点，则点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到x1 直线的距离之
18、和的最小值为( ) A. B. C. D.2 3 5 6解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x 1，由抛物线的定义知：点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离；于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小； 显然， 连 AF 交曲线于 P 点故最小值为 ，即 为 .答案 C22 1 52椭圆 b2x2a 2y2a 2b2(ab0)和圆 x2y 2 2 有四个交点，其中 c 为(b2 c)椭圆的半焦距，则椭圆 的范围为( ) cA. B0 C. D. 55 ac35 a25 25 ac35 3
19、5 ac55解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即：Error!Error!Error! e .答案 A55 353设 F 是椭圆 1 的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点x27 y26Pi(i1,2,3， )，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围为_解析 若公差 d0，则|FP 1|最小，| FP1| 1；7数列中的最大项为 1，并设为第 n 项，7则 1 1(n1)dn 121d ，7 72d 110注意到 d0，得 0d ；若 d0，易得 d0.110 110那么，d 的取值范围为 . 1
20、10，0) (0，1104过抛物线 y22px (p 0)上一定点 P(x0，y 0)(y00)作两直线分别交抛物线于A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则 的值y1 y2y0为_解析 设直线 PA 的斜率为 kPA，PB 的斜率为 kPB，由 y 2px 1，y 2px 0，得 kPA ，同理 kPB ，21 20y1 y0x1 x0 2py1 y0 2py2 y0由于 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，因此 ，即 y1y 22y 0(y00)，那么 2.2py1 y0 2py2 y0 y1 y2y05椭圆 b2x2a 2y2a 2b
21、2(ab0)的左焦点为 F，过 F 点的直线 l 交椭圆于A，B 两点，P 为线段 AB 的中点，当PFO 的面积最大时，求直线 l 的方程解 求直线方程，由于 F(c, 0)为已知，仅需求斜率 k，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则 y0 ，y1 y22由于 SPFO |OF|y0| |y0|只需保证|y 0|最大即可，12 c2由Error!(b 2a 2k2)y22b 2ckyb 4k20，|y0| |y1 y22 | | b2ckb2 a2k2| b2cb2|k| a2|k| bc2a得：S PFO ，此时 a 2|k|k ，bc24a b2|k|
22、ba故直线方程为：y (x c)ba6已知O过定点 A(0，p)( p0)，圆心 O在抛物线 C：x 22py(p0)上运动，MN 为圆 O在轴上所截得的弦(1)当 O点运动时， |MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当| OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线 C 的准线与圆 O的位置关系，并说明理由解 (1)设 O (x0，y 0)，则 x 2py 0(y00)，20则O的半径|OA| ，x20 y0 p2O的方程为(x x 0)2(yy 0)2x (y 0p) 2，20令 y0，并把 x 2py 0，代入得 x22x 0xx p 20，20 20解得 x1x 0p，x 2x 0p，所以|MN| |x 1x 2|2p，这说明|MN|是不变化，其为定值 2p.(2)不妨设 M(x0p,0)，N(x 0p,0)由题 2|OA|OM |ON|，得 2p|x 0p| x0p|，所以px 0 p.O到抛物线准线 y 的距离 dy 0 ，p2 p2 x20 p22pO的半径|OA| .x20 y0 p2x20 (x202p p)2 12px40 4p4因为 rdx 4p 4 2x p2，40 (x20 p2) 2032又 x p 2 p2(p0)，所以 rd，2032即O与抛物线的准线总相交
