1、1习题 1.1 衰减因子 衰减模量5110/.0.2mRs21msR力学品质因素530.*/0mmKQ共振频率 22200111.158.9Hz习题 1.3 增加质量 ， 02Kf 00Kfm可得 ， ，0 01fm20 f2200 4ff习题 1.4 有一动圈传声器，当作质点系统处理，测得振膜固有频率 600Hz，质量 0.8 克，求弹性系数和力顺。(牛顿/米)，力顺 (米/ 牛顿，秒 2/千克)2037Kf 518.0CK习题 1.5 简单振子的固有频率是 100Hz，在频率为 300Hz 的外力作用下振动，求振动的质量抗和弹性抗之比。2201mmC习题 1.6 标准重物质量 ， ，弹簧弹
2、性系数 ， 地球重力加速度.1l 10mgKl石块质量 kg 弹簧伸长 mm，12298.5K15， m/s21mgl 2211097ll习题 1.7 质点系统受幅度调制的振荡力 ， ，求振动。thfsin)i(111sincosco2hftt1 1221131exp()icos2eitmRKithRhittx2习题 1.8 有下列形式的作用力作用于简单振子上，求振动位移。 1, ()2()aFkTtf.2,10,.k12,012,aFktf kT把外力展开为傅利叶级数 0122cossinnttfabT，01fdt0co0Tntfd0 2si4Tn antbfF偶1,35. 1,35.422
3、sinexpa an nFit intfTT221,35. ean itxZ 习题 1.9 直接证明* MERGEFORMAT (1.116)。0 0000 expexpexpsinexp() 2tittitdttitdi 0 00 e12tittiti 0001iii 00012iii20i2201i3习题 1.10 画出图示弹簧并联系统的导纳型类比线路图，求出系统的等效弹性系数。2mKC并习题 1.11 图示隔振系统的弹簧置于阻尼材料中，力阻 ，画出系统的导纳型类比线路图，分析 的作用。1R1mR恒流源 112mVFiCG得到： 1121 22 mm mmViRKiiGC习题 1.12 一
4、弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单振子。质点同时受到向下的重力。分析质点的振动和能量的转换。， ，特解 ， 弹簧受力为零2dxmgKxt2dxgtm0gxK0x通解 ，平衡位置 ，简谐振动0cosa速度 invt动能： 2210sinEat弹簧势能： 22 01comgKxtK2200ssatat4重力势能： 30cosmgEmgxatK。20t取为平衡位置， 通解0xMgxK0cosaxt速度 ，0sinavt动能： 221 0sinEmat弹簧势能：22 01cosgmgKxtK22001cosatat重力势能： 3Emgxt习题 1.13 火车以速度 运动，车上有一简单振子，弹
5、簧与火车运动方向平行，一端固定在火车上，另一端连接的质点沿火0v车运动方向振动。分析质点的振动和能量转换的规律。见课本第二章习题 2.1 图中 3 个相同的质点和 4 个相同的弹簧组成的一维的耦合共振系统。求其共振频率和模式，验证模式的正交性。02Km11222333=0 xxx022200/，模式是 ， ，模式是10122,301/2125正交：质量相同 ， ，11201201221习题 2.2 图 2.1 中两个质点和三个弹簧组成一维振动系统，如果两个质点的质量相同，三个弹簧的弹性系数相同。两个质点分别受力 和 ，验证用简正坐标解的结果和非齐次方程组的结果一致。1expfit2expfit
6、2 1220XmKk，模式是 ， ，模式是13Km121121mXKf两式相加和相减 122AX，1121mKfQ22123mAKfQ，2AA12123X12223KfKfm2123ff121222QXAK21223mfmKf212ff6用解非齐次方程的方法解 21211mKXf22121 3fmfKf2121222mKfffX习题 2.3 写出习题 2.1 的振动系统的投影矩阵。如果在中间的质点上有稳态的作用力，求系统的振动，分析各个模式的贡献。归一化模式是 ， 。 ，102m1211012TPXm，2142P312411102()2()00j jnnj jFFmPXH2()2(3)44习题
7、 2.4 用质量归一化的方法分析图 2.1 的振动系统。， ，120TmN120m12mXYN，11KIYF111221ccKfI习题 2.5 图中机器 工作时产生单频振动，为了降低通过弹簧 对地基的作用，机器上方加装一质点弹簧系统1m1，画出类比图，并分析加装系统的理想参数。2K7并联电路各支路电流与电导成正比，希望 上的电流小， 支路的电阻抗应该小， ，1C2 210iCim221mC习题 2.6 图中的质点被两个相同的弹簧固定，平衡的时候弹簧中的张力是 ，质点可以在三维空间中运动，位移很小，分析T其振动。质点位置 ，平衡位置是原点，弹簧原长xyz0l平衡位置处弹簧长度 ， 弹性系数0Tl
8、K固定点的坐标 质点位移后弹簧长度,221,2lxlyz保留一阶小量 质点在 方向的受力21, llxyzx02012xKllll质点在 方向的受力2xy102002ryyTllKlKyl质点在 方向的受力 ，z1020rzzll zl2xrTl运动方程 三个方程是解耦的，就是简正坐标 频率方程 0xrmKyz22xr12xKm8方向的振动，振动与张力 无关 ，简并， 平面内的椭圆振动， 平xT232rKTmlyzyz面内的任意方向都可以作为简正方向。运动12expAityBzCit习题 2.7* 如果习题 2.1 中的三个质点运动时还受到方向与速度相反，大小与速度成正比的阻力，分析系统的阻尼
9、振动性质和受迫振动性质。 1121223233= mxRKxff111212232333 mXiXFR， mi0mKiR202200/， ，10112mi21iK， 2,302,3/miR2,32,31/0miRK习题 2.8* 图 2.8 所示的振动系统，两个质点可以在三维空间中运动，分析其振动模式。习题 3.1 有一质量为 1 克，长度为 1 米的细弦以 1 牛顿的张力张紧，两端固定，求弦的自由振动的基频；当弦以基频振动，中点位置的位移振幅为 10 毫米，求振动的总能量；距一端 0.25 米处的速度振幅是多少？模式的概念 lctlxAuosinHz8.15012./2lTlcfJ ,407
10、4EAl lctlxfAvsin290.25m 处振速振幅 m/S70.4sin201.f习题 3.2 长为 的弦两端固定，在距一端 处敲击弦，使其产生 的初速度，求解弦的振动位移，分解为各l0x00xv个模式的和，求各个模式的能量。给定了初始条件分析自由振动， 1sincosinmmlctbltalxu0ma，100 ilxlv lxv00sin2根据能量守恒定律外力做功等于初始时刻弦的动能10sinsin2mlctlxcu l mml lxlvdxllvdvE0 102021002 sinsi2, 模式 ： lctlxlcuminsin动能 l lctlxlvdltlv0 202020 o
11、ssinoisi21 势能 ll dxltmllxcvTdxuT0 20002 sisin1lctlml202ii模式 能量 ，得到mlxlvE020sin1mE习题 3.3 有一长度为 1 米，截面积 的铝棒(密度 2700kg/m3)，两端自由。求棒作纵振动时的基频和位移振幅最24小的位置。如果在棒的一端负载着 0.054kg 的重物，求基频和位移振幅最小的位置。基频 Hz，310105.27/85.6/2Elcf kl基频振动 osxctuAl振幅 ，最小为零 ， ，中点ck2llx10， ，0Ux2Ulmlzcxcoskx， ,2.10754.tanMkl 65.lHz3.26.25.
12、lcf零点满足 ， mkx59.06.lk习题 3.4 位于 的弦，两端固定，作横振动。若初始时刻的位移为 ，速度为 ，用模0l 02 3laxu0v式展开和达朗贝尔解两种方法求振动位移随时间的变化。，12,cosinntxuxtalll012sinnxuall00/3i2si il l lnxdaddlll 23sila216,incosin3nltxuxt ll，0()， ， ， ，2xct0()2uxct012()ulxct012()ulxct014()ul， ， ， ，xct01()lxct0()2lxct04()2lxct0()2l习题 3.5 ， ，22tcux0),(t tiFx
13、tluSE0ep),(，)ep(ossin000tixkbAck011,)exp(sinco000 tiklESkFu)exp(tan00tilkESFlu低频，保留一项 ，)e(0til llutiK)exp(0条件： ， ，02.3lk2lcfl习题 3.6 ,12expe 0xpUAikBikxl(3.106), (3.107), , 0mzikZU,mzikZUlx, 12Ux12xTF22epexp0mmzZikzZikliF2x 1epmirilzk mzZr习题 3.7 ， 1sinuAkx2sinuBxl2l或12llisikklABsin02kl2121lllTuumuxx2
14、cosinl klTmA（） ， ， ， ，偶数阶模式sin0kllnAB2sinkx（） ，比较(3.157)2cosilklTtallm习题 3.8* xg12(3.160) , ,2()()0dUxTxx 20dUxg, , , ,220dgd24y2yxyx2222ddddgygygy偶 偶零阶贝塞尔方程20dUy00xUJ， ， ， ，0lJg2nnlg2ngl0n0nnxUJl： 2.4048, 5.5201，8.6537，11.7915, 14.9309 n0Jx习题 4.1 利用极坐标和直角坐标的转换关系由 证明 。22yx2r， ， ， ，cosxrinyr21tanxcos
15、rinry， ， ， ，ixrcosyrsiicorsrsixr， ，sinyrcssinic，sincoxrossinyr，siricsxy2sincoxr1322222sinsicosinsicocoxrrxrr2cosiy22222scosinsicoinrryrr2 i1cosinsinxyx xy 22211rrrr习题 5.2 根据哈密顿原理和变分法由膜的能量密度 推导膜的运动方程.22()TVEuc。.22uxyc22TVuEct221122t tTVSSddut取极值欧拉方程21222ttSuctxy取极值的充要条件21,ttSudFttxy0Futxuy得到 2220ctx习
16、题 5.3 矩形薄膜的长宽比是 1:2，求前 5 个共振频率与基频的比值。14， ，ba2 22, 4nmacbnamcfn 5421, nmfn， ， ，6.1581,2f 61.531,f 8.57,2f 0.21,2f， ，注意选取合适的模式,(.0),(.),(2.7),4(,2620323,1.,.4()4 72.531,f习题 5.4 圆形膜的共振频率 ，基频 ， 最大的张力acmn, 02Tfa02.45N/m4max1.20Th最高的频率 kHz5720.5. maxmaxax hTTf 习题 4.5 已知周围固定的圆膜以基频振动，中心点的振幅是 ，求振动的能量。 （提示：利用
17、(4.88)。 ）A， ，00expUAJitc00ca2.450000osostutAJ(4.10) 动能 22 200000 inaa ctdcdaa ，总能量220sinTtAJ偶 220.45TAJTA偶习题 4.6 周围固定的圆膜受到介质的阻尼力 ，分析圆膜的振动。mRu2uT15220mUTiRU220k， ， ，2miRkTmic2miRckexpeexp()2mRtitickt习题 4.7* 内外半径分别是 和 的圆环膜的边界固定，求固有频率方程。如果内半径受到与膜垂直的均匀的简谐力，求膜的ab位移。 cosmmUAJkBY自由振动 0ammJkb频率方程： mYkaJb受迫振
18、动：00uaTABYka11kJF00bY，101100FkaAJkbY101100JkabBY0101FkJkUJaab 习题 5.1 复习声波方程的推导。基本假设基本方程，线性化 0vp，20pc00,1ssSKd不可压缩流体 ， ， ， ，速度无散，声压调和sK0偶v偶 20p16一维的解 ， ， ， ， 。,pxt2000ptftxvfxft声波 eex1epiktikitikit0 01xpepxvititcc习题 5.2 如果介质中有体力分布，作用在单位体积上的体力为 ，求声波方程。zyxF,分析体力是重力的情况。 体力 ,VxyzdfF运动方程 dxyzptv0t波动方程 F20
19、2tcp重力 zFgzcpgzg 20cptp2020估计重力的影响 ， ，因此 ，这个数一般很小，频率t:kz202pgczkgct:很低时才有作用 对于空气如果 ，相当于 Hz1gc.05f习题 5.3 设夏天的气温比冬天高 40C ，如果大气密度近似认为不变，求这样的温差下同样声压的声波声强变化的百分比和声强级差。理想气体绝热过程声速 ，20pc偶理想气体平衡状态方程 ， 分子数， 绝对温度，0VNkTT波尔兹曼常数 ，231.8k0pkm0c17声强 ，声强变化 201epIcT2130267T合 dB21log(/).3I习题 5.4 S0594cS6.13lT320l偶习题 5.5
20、 空间中有两个传播方向相同的平面波 和11expxPitc，求总声场的能量密度、能流密度和它们的平均值。22expxPitc能量问题，先求实部，12p11222oscosxxtPtcc能量密度0xvc2020vp2 2111220oscosxxPtPtcc121122cstt 平均能量密度 波印廷矢量 方向210Px20xpvc习题 5.6 20C 空气中一平面声波，声压级为 74dB，求有效声压、平均声能量密度与声强。如果水中一个平面声波有同样的质点振动速度幅度，求声强。帕 焦耳/米 31.01022/745ep 82210.7453.cpe瓦/米 2 52cIe 2avI， 瓦/米 236
21、1212 107.48.I 2106.8I18习题 5. 上题中空气中的平面声波垂直入射到界面上，界面的声压反射系数是 0.4，求介质中的声压和声强。， ， 帕210.4pzr2211.4pzzt1.0ep， 瓦/米 212210.8atzz5.I习题 5.8 验证平面声波斜入射到平面界面发生反射和透射时的能量守恒关系。，21rnpiz21tnpiz入射角小于临界角，反射波和透射波都是平面波入射波声强 反射波声强 2211cosiiinIz透射波声强 222111cosrinpIz2221tintnzI21cosscostri III全反射，反射系数的模为 1。反射波强度等于入射波的强度，反射
22、角等于入射角。透射波是不均匀波，法向能流为零。习题 5.9 推导* MERGEFORMAT (5.149)。理论声学Theoretical Acoustics1. 推导球坐标系中介质的运动方程、连续性方程，进而推导波动方程。单元的三边垂直，尺度： ， ，drsinrd19标量函数 的梯度，沿着坐标轴方向的导数p,rrpr，,prpr,sinsinprpr，运动方程sinrr tv矢量函数 的散度，各个坐标面流出量的总和与体积的比v2sinsii rr rr rvvsisinsinivrr sinsinvvrr ，连续性方程2sisirrv 0tv222 211in1si sinrr 声波方程
23、22 22isinsippprrct2. 对于脉动球源，在满足 的条件下，使球源半径比原来增加一倍，表面振速与10k频率不变，辐射声压增加多少分贝？如果在 的条件下球源半径增加一倍，表10kr面振速与频率不变，辐射声压增加多少分贝？，rtkiApex00exp1irikrcVA低频，kr 0 很小 ，声压与 成正比， 增加一倍，声压增加到四倍2020r20dB124log0log2012p高频，kr 0 很大 ，声压与 成正比， 0crVA0rdB62loglog210120p3dB，6dB，10dB ，20dB的意义3. 演讲者辐射的声功率是 10-3W，如果人耳听音时感到满意的最小声压是
24、0.1Pa，求无限空间中听众的最大距离。， mcprvW2248.142pdB710.log54. 求两个强度相等、相距 、相位差 的点声源的远场辐射声压。l/21 4exp4/exprikArikAsinsin22,1 lllr 指向性4/sinexpkrA42sinco4/sin22klk5. 半径为 5mm 的脉动球源向空中辐射 100Hz 的声波，球源表面振速幅度为 0.008m/s，求辐射功率。如果有这样相同的两个球，相距 0.15m，求辐射的总功率。如果两个球的振动反相，求辐射的总功率。m-1， ，85.12cfk092.kr8.klW1020000 5.3rVccVAW相同的两个
25、球 ，功率是 倍，即 W98.sinkl 9.sin12kl 97.反相小球 W120202 08.3cAklc216. 如右图所示，将火车看作有限长声源，火车首尾与观察点连线（对于垂线 ）的夹角分别为0r和 ，证明 ，这里121202cWpe是单位长度的火车发出的声功率。，204Rc2024cdxdER22211 1120000tanxxxdrrr 刚性地面 2 倍7. 设一半径为 的圆形声源，总输出声功率 平均分布在圆面上，但是各点的相位是无aW规的且不相干，求声源中心轴上平均平方声压随距离的变化规律。 2 22 222 10 lnlazazadzaEPzRdz :8. 已知一半径为 的带障板的活塞声源表面的振速分a布为 ，求远场分布 ,分析主瓣的性质。201V2000exp1expsinco2aikrPi dkdr20 00exp1sinaikriVJkd220 00iii ar
