1、1. 线性空间的判定 （否定，对特殊规定的加法和数乘） 2. 线性子空间的判定 （非空，两个封闭性） 3. 线性空间（线性子空间）的 基与 维数 1) W由集合形式给出（观察，选取，判定；一般给一个约束条件，自由度减少一个）； 2) 12W ( , , , )sL ，求 12, , , s 的秩和极大无关组即得 W的基与维数； 3) 1 1 2W ( , , , )sL ， 2 1 2W ( , , , )tL ，求 12WW 和 12WW的基与维数： 1 2 1 2 1 2W W ( , , , , , , , )stL 设 12WW ，则 1 1 2 2 1 1 2 2s s n nk k
2、 k l l l ， 则有 1 1 2 2 1 1 2 2()s s n nk k k l l l ，求解方程组确定,ijkl，代入表达式求 ； 4) mnA R ，求 R( )A 与 N( )A 的基与维数： dim R( ) rankAA， d im N ( ) ra n knAA， A 的列向量组的极大无关组是 R( )A 的基， Ax0 的基础解系是 N( )A 的基 ； 5) 设 T是 n维线性空间 Vn 的线性变换，求 R(T) 与 N(T) 的基与维数： 设 12, , , n 是 Vn 的基， 法一： 12R ( T ) L ( T ( ) , T ( ) , , T ( )
3、)n ； 设 N(T) ，由 T( ) 确定 N(T) 的基与维数； 法二： 1 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn A dim R(T) rank A， d im N (T ) ran kn A A 的列向量组的极大无关组是 R(T) 的基在 12, , , n 下的坐标； Ax0 的基础解系是 N(T) 的基 在 12, , , n 下的坐标； 6) 12W ( , , , )sL ，求 W 的基和维数： 设 W ，由 12( , ) 0 , ( , ) 0 , , ( , ) 0s 确定 W 的基和维数； 7) 特征子空间 0 0V | T ( ) ： 0dimV
4、T的属于 0 的线性无关特征向量的个数 ； 4. 求过渡矩阵 1) 两组基已知：用中介基方法求过渡矩阵（形式记法）； 2) 两个基都不知道，但知道其之间的关系： 直接写出形式记法，写出过渡矩阵； 3) 已知一组基及坐标之间的关系 ： 根据坐标间的关系写出坐标变换公式，再写出基变换公式，求出过渡矩阵和另一组基； 5. 求元素的坐标 1) 已知基：用待定法求坐标； 2) 已知元素在某个基下的坐标，求其在另一个基下的坐标： 坐标变换公式； 6. 子空间直和的判定 1) 12WW 是直和； 2) 零元素的分解唯一，即 1 2 1 1 2 2( W , W ) 当且仅当 12 时才成立； 3) 12W
5、W ； 4) 1 2 1 2d i m ( W W ) d i m W d i m W 7. 大空间分解成子空间直和的证明 步骤： 1) 对任意 V ，有 12 1 1 2 2( W , W )，则 12V W W； 2) 设 12WW ，可推得 ； 综上，可得 12V W W； 8. 线性变换的判定 T ( ) T ( ) T ( ) T( ) T( )kk 9. 求线性变换在一组基下的矩阵 1) 已知线性变换 T和基 12, , , n ： 用直接法； 间接法：先把基象组用简单基表示 1 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn A， 1 2 1 2( , , , ) (
6、, , , )nn C 则 11 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn CA 利用相似 1 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn A， 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn C 则 11 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn C A C 2) 不知道线性变换和基，知道 T 在基 (I) 12, , , n 下的矩阵 ，以及基 (I)与基 (II)之间的关系，求 T在基 (II)下的矩阵； 利用 T在两个不同基下矩阵相似； 3) 已知两个基： (I) 12, , , n ， (II) 12, , , n ，且 1 2
7、 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn ，求 T在两个基下的矩阵； 先求过渡矩阵，再整理； 10. 求线性变换的特征值和特征向量 步骤： 1) 取简单基 12, , , n ，并求 T在简单基下矩阵 1 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn A 2) 求 A的特征值 i 及与其对应的特征向量 ix ； 3) i 即为 A 的特征值， 12( , , , )i n i x为 T 对应特征值 i 的特征向量； 11. 使线性变换在某个基下矩阵为对角阵 步骤： 1) 取简单基 12, , , n ，并求 T在简单基下矩阵 1 2 1 2T ( , , , ) (
8、, , , )nn A 2) 求 1 P AP ； 3) 由 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn P确定基 12, , , n ，则 T 在此基下矩阵为对角阵； 12. 线性变换不变子空间的判定 T是 V的线性变换， W是 V的子空间 ，对任意 W ，有 T( ) W 13. 内积的验证与计算 1) ( , ) ( , ) ， 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , ) ( , )kk 4) ( , ) 0 ，当且仅当 时， ( , ) 0 14. 度量矩阵的计算与证明 n维欧氏空间 V对基 12, , , n 的 度量矩阵 1 1 1 2 12 1 2
9、2 212( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )nnn n n n AT1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )n n n ni i j j i j i ji j i jx y x y x A y度量矩阵是对称正定矩阵 ； 不同基的度量矩阵是合同的 ； 15. 求标准正交基 Schmidt正交化 过程，单位化 16. 正交变换及其性质（证明） (T ( ), T ( ) ( , ) ( , V) 正交变换的等价条件 1) T是正交变换 ； 2) ()T ，即 T保持元素长度不变 ； 3) T把标准正交基变成标准正交基； 4
10、) T在 V的任意一个标准正交基下的矩阵为正交矩阵 ； 17. 对称变换及其性质 (T ( ), ) ( , T ( ) ( , V) T在 V的任意一个标准正交基下的矩阵为实对称矩阵 设 T 是 n 维欧氏空间的对称变换，则存在 V 的标准正交基，使 T 在该基下的矩阵为对角阵 ； 18. 使对称变换在某个标准正交基下的矩阵为对角阵 步骤： 1) 取标准正交基 12, , , n ，并求 T在此 基下矩阵 1 2 1 2T ( , , , ) ( , , , )nn A 2) 求 正交矩阵 Q ，使得 1 Q AQ ； 3) 由 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn Q确
11、定基 12, , , n ，则 T在此基下矩阵为对角阵； 19. 投影矩阵及其性质 1) 性质 ： 矩阵 P 是投影矩阵的充要条件是 2PP； 2) 计算方法： 1, ,LM P X O X Y 其中 12( , , , ) nrr X x x x C， ()12( , , , ) n n rnr Y y y y C 12, , , rx x x 是子空间 L的基， 12, , , nry y y 是子空间 M的基； 20. 正交投影矩阵及其性质 1) 性质： 矩阵 P 是正交投影矩阵的充要条件是 2PP且 HPP； 2) 计算方法： H 1 H()L P X X X X 其中 12( , , , ) nrr X x x x C， 12, , , rx x x 是子空间 L的基。
