1、1第二章 导数与微分一. 填空题1. , 则 = _.xf1)()(fn解. , 假设 , 则12)(!)( xf 1)()!2kkxf, 所以1)1()(!kkxf 1)()!nnf2. 设 , 则 _.tyxcos22dy解. , tdxin 322 4cosin14sicosintttdxtx 3. 设函数 y = y(x)由方程 确定, 则 _.0)co(yey dxy解. , 所以sin)()1(xexyeyxxisn4. 已知 f(x) =f(x), 且 , 则 _.kf)(0)(0xf解. 由 f(x) =f(x)得 , 所以x)(xf所以 kfxf)()(005. 设 f(x)
2、可导, 则 _.xnfmx )()li 0解. xffx()(lim00= + =x)0 nffnx)(li00 )(0xfnm6. 设 , 则 k = _.31()(li 00ffkfx 解. , 所以)(0xk )(31)(00xff所以 317. 已知 , 则 _.xfdx22f2解. , 所以 . 令 x2 = 2, 所以xf1232xf 12xf8. 设 f 为可导函数, , 则 _.)(sinfydy解. )(sinco)(cos)( xfxfxdy9. 设 y = f(x)由方程 所确定, 则曲线 y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程1)s(2eyeyx为_.解. 上式二
3、边求导 . 所以切线斜率0)sin()(2 xyx. 法线斜率为 , 法线方程为)0(k21, 即 x2y + 2 = 0.y21二. 单项选择题1. 已知函数 f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当 n 为大于 2 的正整数时, f(x)的2)(xffn 阶导数是(a) (b) (c) (d) 1)(!nxf 1)(nxfnf2)(nxf2)(!解. , 假设 = , 所以3!22f)(k1k= , 按数学归纳法)(1xfk 2!1)( kkxfxf= 对一切正整数成立. (a)是答案.)(n1!nf2. 设函数对任意 x 均满足 f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中 a, b
4、 为非零常数, 则)0(f(a) f(x)在 x = 1 处不可导 (b) f(x)在 x = 1 处可导, 且 a)1(f(c) f(x)在 x = 1 处可导, 且 b (d) f(x)在 x = 1 处可导, 且 ab)1(f 解. 在 f(1 + x) = af(x)中代入 )0(,0affx得= , 所以. (d)是答案fffx)(lim)(0 abfxx)(lim0注: 因为没有假设 可导 , 不能对于 二边求导.f )1(f3. 设 , 则使 存在的最高阶导数 n 为|3)(2f)(n(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 33解. . 324)(xf0xf124)( 024
5、limlim0 0 ff xx1)()(0f所以 n = 2, (c)是答案 .4. 设函数 y = f(x)在点 x0 处可导, 当自变量 x 由 x0 增加到 x0 + x 时, 记y 为 f(x)的增量, dy 为 f(x)的微分 , 等于dyli(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义 y = dy + o(x), 所以 . (b)是答案.0)(limli00xoxdyx5. 设 在 x = 0 处可导, 则baxfsin)(2(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常
6、数解. 在 x = 0 处可导一定在 x = 0 处连续, 所以, 所以 b = 0.)(lim1sinl2, , 所以 0 = a. (c)是答案.)0()(ff xaxx02li1sinl三. 计算题1. )31lncos(2yy， 求解. )310tan(6)0(i 22xx2. 已知 f(u)可导 , l(2yfy， 求解. y 2221)ln( xaxaxaf= 2lxf3. 设 y 为 x 的函数是由方程 确定的, 求 .xyyarctnln2y4解. 2221xyxy, 所以 4. 已知 , 求 .teyxtcosin2dxy解. ,tttdxtt sincindtxtdxtty
7、 1)sin(co)i(sico 222 32)sin(c2tedxyt5. 设 , 求2/xu， duy解. , yx)12( xd)1()(dxu)2(3)1()12(2yd6. 设函数 f(x)二阶可导 , , 且 , 求 , .0f)1(3tefyx0tdxy2t解. , 所以 =3. )(31tfedxytttdx3332332 )( )(1(1)( tf tfeftfetttttt 所以232 )0(69)0()0()(30 fffftdxy 57. 设曲线 x = x(t), y = y(t)由方程组 确定. 求该曲线在 t = 1 处的曲率.etxy2解. . 所以eytytt
8、 2 )2(1 ettexdtt 所以 .tdx1ttt eedxtety 232 )()1)2( 所以 . 在 t = 1 的曲率为2281tdx232323 )4(41)1(| eetyk四. 已知当 x 0 时, f(x )有定义且二阶可导, 问 a, b, c 为何值时cbaF2)( 0二阶可导.解. F(x)连续, 所以 , 所以 c = f(0) = f (0);)(lim)(li00xFxx因为 F(x)二阶可导, 所以 连续, 所以 b = , 且 )0)0(2(faFx存在, 所以 , 所以)0 F, 所以axffaxffxx 2)0(2lim)(lim00 21fa五. 已知 .)()(2nfxf， 求解. xxf 11611)( )(2)(!2nnn xxxf, k = 0, 1, 2, 0)1(kf, k = 0, 1, 2, !2n六. 设 , 求 .xyl)1(nf解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()( )!()!(ll nnnnn xxxf= 12112 !()!()1 nnnn所以 (2)fnn七. 已知 .,sico2002 ytdtexy 求解. 两边对 求导, 222 cos,cos 22 yexyxy
