1、第五章 数字信号的基带传输 5.错误！未定义书签。 设一数字传输系统传送八进制码元，速率为 2400波特，则这时的系统信息速率为多少？ 解： 22l o g 2 4 0 0 l o g 8 7 2 0 0 b p sbsR R M 5. 错误！未定义书签。 已知：信息代码 1 1 1 0 0 1 0 1 (1)写出相对码： 1 (2)画出相对码的波形图（单极性矩形不归零码）。 解 ： (1)写出相对码： 1 0 1 0 0 0 1 1 0 (2)画出相对码的波形图（单极性矩形不归零码）。 5.错误！未定义书签。 独立随机二进制序列的“ 0”、“ 1”分别由波形 1st及 2st表示，已知“ 0
2、”、“ 1”等概出现，比特间隔为 bT 。 （ 1）若 1st如图 (a)所示， 21s t s t ，求此数字信号的功率谱密度，并画出图形； （ 2）若 1st如图 (b)所示， 2 0st ，求此数字信号的功率谱密度，并画出图形。 解： (1)此时这个数字信号可表示为 PAM 信号 nbns t a g t nT 其中序列 na 以独立等概方式取值于 1 ， 0anm E a， 221a Ea ； 1g t s t ，其傅氏变换是 sincbbG f T fT 所以 st的功率谱密度为 2 2 2s in cas b bbP f G f T fTT。 （ 2）此时这个数字信号可表示为 nb
3、ns t a g t nT 其中序列 na 以独立等概方式取值于 0,1 ； 1g t s t ，其傅氏变换是 s in c22bbTTG f f 由于 1122nnab，其中 nb 以独立等概方式取值于 1 ，所以 1122n b bnns t b g t n T g t n T 12 nbnu t b g t nT 一项的功率谱密度是 2 2s in c4 1 6 2bbubGf TTP f fT 12 bnv t g t nT 是周期信号，可展成傅氏级数： 212 bmjtTbmnmv t g t n T c e 其中 22221 1 11212sin21102240 othe r 2b
4、bbbmmj t j tTTTTmbnbbbbbb bbc g t nT e dt g t e dtTTmkTm mTmGmTT TmmT 所以 12 bnv t g t nT 的功率谱密度是 2 221 1 1 2 144 21vn nkbbnkP f c f f fTT k 于是 st的功率谱密度为： 2 221 1 1 2 1s in c1 6 2 4 4 21bbs kbTT kP f f f f Tk 5. 错误！未定义书签。 假设信息比特 1、 0 以独立等概方式出现，求数字分相码的功率谱密度。 解一： 数字分相码可以表示成二进制 PAM 信号的形式 nbns t a g t nT
5、 其中序列 na 以独立等概方式取值 于 1 ， 0anm E a， 221a Ea ；gt如下图所示 其傅氏变换是 2244sin c sin c2 2 2 2sin sin c22bbTTj f j fb b b bbbbA T T A T TG f f e f efT fTjA T 所以 2 2 2 2 2s i n s i n c22a b bsbb fT fTP f G f A TT 。 解二： 假设二进制 0 映射为 -1， 1 映射为 -1。记信息码序列为 na ， 1na ，编码结果为 kb ， 1kb ， na 中的第 n个 na 对应 kb 中的2 2 1,nnbb 。则数
6、字分相码波形可以写成 kss t b g t kT 其中 2bs TT ， 00 sA t Tgt else 。 按照数字分相码的编码规则，有下面的关系 221nnba 因而 is e v e n is o d d22k s k s k sk k kkkn s n s snns t b g t k T b g t k T b g t k Ta g t n T a g t n T T 令 2nsnu t a g t nT ，则 ss t u t u t T 所以 222214 s in 2s s s sj fT j fT j fT j fTs u ubuP f P f e P f e e efT
7、Pf 而 ut是速率为 112 sbTT 的双极性 RZ 码，所以 22 21 s i n c42bbu b A T fTP f G fT 故 2 2 2s i n c s i n22bbsb fT fTP f A T 解三： 假设二进制 0 映射为 -1， 1 映射为 -1。记信息码序列为 na ， 1na ，编码结果为 kb ， 1kb ， na 中的第 n个 na 对应 kb 中的2 2 1,nnbb 。则数字分相码波形可以写成 kss t b g t kT 其中 2bs TT ， 00 sA t Tgt else 。按照数字分相码 的编码规则，有下面的关系 221nnba kb 的自相
8、关函数为 ,b i i mR i i m E b b 若 i 为偶数，即若 2in ，则有 2102 , 2 1 10b n n mmR n n m E a b me ls e 若 i 为奇数，即若 21in，则有 21102 1 , 2 1 1 10b n n mmR n n m E a b me ls e 可见序列 kb 是非平稳的，是周期为 2 的循环平稳。求其平均自相关函数得 1 2 , 2 2 1 , 2 12101 120b b bR m R n n m R n n mmme lse 求其离散时间傅氏变换 22111221 c o s 2 sin 2s b bj fm T j fT
9、 j fTbbmbbP f R m e e efTfT 于是 22 22 2 211 2 sin sin c2 2 2 2sin sin c22b b bsbsbbbbfT A T fTP f P f G fTTfT fTAT 5. 错误！未定义书签。 已知信息代码为： 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0，请就 AMI 码、 HDB3 码、 Manchester 码三种情形， (1)给出编码结果； (2)画出编码后的波形； (3)画出提取时钟的框图。 解 ： (1) 信息代码： 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
10、0 0 1 0 AMI 码： +1 0 0 0 0 0 0 0 0-1+1-1 0 0+1 0 0 0 0-1 0 HDB3 码： +1 0 0 0+V-B 0 0-V+1-1+1 0 0-1+B 0 0+V-1 0 Manchester 码：100101010101010101101010010110010101011001 (2)波形如下： (3)AMI 码和 HDB3 码可以看成是一种双极 性的 RZ 信号，经过全波整流后成为单极性 RZ 信号，它包含时钟的线谱分量，故此可直接提取。提取时钟的框图如下： Macnshester 码经过全波整流后是直流，不能用上述办法。需要先微分，使之成为
11、一种双极性 RZ 信号，然后再用上述办法，不过注意这里提出的二倍频时钟，故需要二分频。提取时钟的框图如下： 5. 错误！未定义书签。 已知二进制序列的“ 1”和“ 0”分别由波形 1 00 bA t Tst else 及 2 0st 表示，“ 1”与“ 0”等概出现。此信号在信道传输中受到功率谱密度为 02N 的加性白高斯噪声 ()nt 的干扰，接收端用下 图所示的框图进行接收。图中低通滤波器的带宽是 B， B足够大使得 ist经过滤波器时近似无失真。 （ 1）若发送 1st，请写出 ()yt 表示式，求出抽样值 y 的条件均值 1|Ey s 及条件方差 1|Dy s ，写出此时 y 的条件概
12、率密度函数 11|p y p y s ； （ 2）若发送 2st，请写出 ()yt 表示式，求出抽样值 y 的条件均值 2|Ey s 及条件方差 2|Dy s ，写出此时 y 的条件概率密度函数 22|p y p y s ； （ 3）画出 1py及 2py的图形； （ 4）求最佳判决门限 TV 值； （ 5）推导出平均误比特率。 解： （ 1）此时在 0 btT 时间范围内， ( ) ( )y t A t ， t 是白高斯噪声nt通过低通滤波器后的输出，显然 t 是 0 均值的高斯平稳过程，其方差为 2 0NB 。于是抽样值 y 的 条件均值是 A，条件方差是 0NB，条件概率密度函数是 20
13、2101 yANBp y eNB 。 （ 2）此时在 0 btT 时间范围内， ( ) ( )yt t ， t 是白高斯噪声 nt通过低通滤波器后输出的 0 均值高斯平稳过程，其方差为 2 0NB 。因此，抽样值 y 的条件均值是 0，条件方差是 0NB，其条件概率密度函数是 202201 yNBp y eNB 。 （ 3） （ 4）最佳门限 TV 是后验概率相等的分界点，即为方程 12|P s y P s y的解。由于 | iii p y s P sP s y py ，所以 TV 是方程 1 1 2 2P s p y P s p y的解，由于“ 1”与“ 0”等概出现，所以 TV 是 12p
14、 y p y 的解，即 1py和 2py的交点。由上图可知 2T AV 。 （ 5） 1 1 2 2 1 21| | | |2bP P s P e s P s P e s P e s P e s 211001 2 1| | e r f c e r f c2 2 2 2 82T A A A AP e s P y V s P A P NBNB 22201| | e r f c2 2 2 8T A A AP e s P y V s P P NB 201 e rfc28b AP NB 5. 错误！未定义书签。 下图中 1st与 2st等概出现，白高斯噪声 wnt的功率谱密度是 02N 。 （ 1）画出
15、匹配滤波器的冲激响应 ()ht ； （ 2）求发 1st条件下求抽样瞬时值 y中信号分量的幅度及功率、噪声分量的平均功率； （ 3）求发 2st条件下抽样值 y 的均值、方差和概率密度函数 2py； （ 4）求平均误比特率。 解： (1) 12() bh t s T t s t ，波形如下 （ 2）抽样值 y中的信号分量是 21 2 2 bbs T h d s s d A T E 此处 12bE E E是每个比特的能量。抽样瞬时值中信号分量的功率是2bE 。抽样值中的噪声分量的功率是 222 0 0 022 2 2 bN N N EH f d f S f d f (3)此时 y中的信号分量是
16、22 1 2 bbs T h d s s d A T E byE 噪声分量 是 0 均值高斯随机变量，其方差是 02bNE 。因此，在发送 2st的条件下， y 是均值为 2bbE AT 、方差为 02bNE 的高斯随机变量 ，所以 20201 bbyENEbp y eNE (4)类似地，也可以得到发送 1st条件下 y的概率密度函数为 2011 | 101| bbyENEys bp y p y s eNE最佳门限 TV 是 12p y p y 的解，即 0TV 。平均错误率为 1 1 2 2 1 21| | | |2bP P s P e s P s P e s P e s P e s 其中
17、11| 0 | 0b b bP e s P y s P E P E P E 22| 0 | 0bbP e s P y s P E P E 2 011e r f c e r f c222 bbb EEPE N 01 erfc2 bb EP N 5. 错误！未定义书签。 设基带传输系统的发送滤波器、信道和接收滤波器的总传输特性 H(f)如图所示，其中 f1=1MHz， f2 3MHz。试确定该系统无码间干扰的传输时的最高码元速率和频带利用率。 解： 由下图可见，当 12sf f f时 1sn H f nf ，且不存在更大的 sf 使 sn H f nf 等于常数，因此该系统无码间干扰的传输时的最高
18、码元速率是 12 4 M baudsR f f ，对应的频带利用率是 2 4 Baud/Hz3sRf 。 5.9 下 图中示出了一些基带传输系统的总体传输特性 Hf，若要以2000 波特的码元速率传输，请问哪个 Hf那些满足抽样点无码间干扰的条件？ 解： （ a）由下图可见， 2000n H f n 不是常数，因此该系统以 2000波特的码元速率传输时不满足抽样点无码间干扰的条件。 （ b）本图 0.5，则 1 15002sR， 2 1500 20001 0.5sR ，故该系统以2000 波特的码元速率传输时满足抽样点无码间干扰的条件。 （ c）由图可知，该系统以 2000 波特的码元速率传输
19、时满足抽样点无码间干扰的条件。 5.10 设滚降系数为 1 的升余弦滚降无码间干扰基带传输系统的输入是十六进制码元，其 码元速率是 1200BaudsR ，求此基带传输系统的截止频率、该系统的频带利用率以及该系统的信息传输速率。 解： 此系统的截止频率为 1 1 2 0 0 H z2sRB ，频带利用率为1 B a u d /H z = 4 b it /s /H zsRB ，信息传输速率为 2lo g 4 8 0 0 b it/sbsR R M 5.11 将二进制双极性不归零脉冲序列通过 16 进制脉冲幅度调制器（ MPAM），然后通过网孔均衡器 Hf及 1 的根号升余弦滤波器，再将此数字基带
20、信号送至基带信道中传输，如下图所示。其中网孔均衡的作用是使其输出具有平坦频谱（近似冲激序列） 设二进制信息速率为 4Mb/sbR ， nb 以独立等概方式取值于 1 ，16PAM 的幅度取值于集合 1, 3, 5, , 15 ， gt是幅度为 1，宽度为sT 的矩形脉冲。求： (1)求 A点符 号速率 sR 及功率谱密度表达式，并画出功率谱密度图； (2)求 B 点功率谱密度表达式，并画出功率谱密度图。 (3)写出 2Hf 表达式； 解： (1) 2 1M B a u dlo g 1 6bs RR 。 因为 nb 独立等概，所以序列 ma 也是独立等概的。从而有 0mEa ，222 1 3 1
21、 5 858mEa 。由于 gt的傅氏变换是 sincssG f T fT ，故此 A 点的功率谱密度是 2 2 28 5 s in cmA s ssEaP f G f T fTT (2)B 点信号可写成 B m B sms t a g t m T ，则依题意脉冲 Bgt的傅氏变换是 rcosBG f H f ，其中 2r c o s 11 c o s c o s220 e l s esssssT fTfT T fH f T 故此 B 点的功率谱密度是 2 22 18 5 c o s 200smA B ssfTEa fP f G f TT (3)网孔均衡器输出有平坦的功率谱，故需 H f G
22、f 为常数。由于 sincssG f T fT ，所以 2 2sin c sKHf fT ， K是任意常数。 5.错误！未定义书签。 某基带传输系统接收端的抽 样值为 my a n i ，其中 a 代表发送信息，它等概取值于 1 。 n 代表高斯噪声分量，其均值为 0，方差为 2 。 mi 代表码间干扰， mi 有 3 个可能的取值： 11,0,22 ，它们的出现概率分别为 111,424。若接收端的判决门限是 0，求该系统的平均误比特率。 解 ： | 1 1 | 1 1| 1 | 12eP P e a P a P e a P aP e a P e a 2 2 22 2 2| 1 1 0 11
23、 1 3 1102 2 2 21 1 2 1 1 1 3 2e r f c e r f c e r f c8 4 82 2 21 1 1 1 1 3e r f c e r f c e r f c8 4 88 2 8mmm m mP e a P n i P n iP n P i P n P i P n P i 2 2 22 2 2| 1 1 0 11 1 3 1102 2 2 21 1 2 1 1 1 3 2e r f c e r f c e r f c8 4 82 2 21 1 1 1 1 3e r f c e r f c e r f c8 4 88 2 8mmm m mP e a P n i
24、 P n iP n P i P n P i P n P i 所以 2 2 21 1 1 1 1 3e r f c e r f c e r f c8 4 88 2 8eP 5. 错误！未定义书签。 下图中，速率为 9600bit/sbR 的二进制序列经串并变换、 D/A 变换后输出 8PAM 信号，然后经过频谱成形电路使输出脉冲具有滚降因子 0.5 的根号升余弦频谱，再发送至基带信道。求发送信号的符号速率 sR 、 要求的基带信道的带宽以及该系统的频带利用率。 解 ：发送信号的符号速率为 3 2 0 0 B au d3bs RR ，要求的基带信号的带宽为 1 2 4 0 0 H z2sRW ，频
25、带利用率为 9600 4 b it s /s /H z2400bRW 5.14 二进制信息序列经 MAPM 调制及升余弦滚降频谱成形后通过基带信道传输，已知基带信道的带宽是 W=3000Hz。若滚降系数 分别为 0、 0.5、 1。请 (1)分别求出该系统无码间干扰传输时的符号速率； (2) 若 MPAM 的进制数 M 是 16，请写出其相应的二进制信息速率。 解 ： (1) 21 21s sR WWR 。因此， 0 时， 6000BaudsR ；0.5 时， 4000BaudsR ； 1 时， 3000BaudsR 。 (2) 2logbsR R M ， 0 时， 6 0 0 0 b a u
26、 d 4 2 4 K b i t / sbR ； 0.5 时，16 Kbit/sbR ； 1 时， 12 Kbit/sbR 5.错误！未定义书签。 设计一 M 进 制 PAM 系统，其输入的比特速率为 14.4 bit/s K ，基带信道带宽 W=2400Hz，画出此基带传输系统的框图。 解 ：假设系统的滚降系数为 ，则 2112 2 l o gsbRRW M 21 2 2 2 4 0 0 1lo g 1 4 4 0 0 3bWMR 25 log 118 M 按 0 设计，最小的 M 是 16，相应的滚降系数是 13 。系统框图如下： 发送端框图： 接收端框图： 5.16 下图是一个数字基带传
27、输系统，图中信道 Cf是理想低通，发送滤波 TGf和接收滤波 RGf满足 r c o sTRG f G f H f， cosrHf是升余弦滚降特性。 wnt是功率谱密度为 02N 的白高斯噪声， na 独立等概取值于 1 ， A 点平均比特能量为 bE 。 （ 1）求最佳抽样时刻抽样值中的信号幅度值、瞬时信号功率值及噪声平均功率、抽样时刻的信噪比 ； （ 2）求系统的平均误比特率。 解： （ 1）记 Tgt、 Rgt、 gt分别为 TGf、 RGf、 rc o sTRG f G f H f的傅氏反变换，则 A 点接收信号可写为 n T b w wnr t a g t n T n t s t n
28、 t A 点有用信号 st的功率谱密度为 2 r c o sTsbbG f C f HfPf TT 平均每比特的能量是 r c o sb b sE T P f d f H f d f 。 不妨考虑第 0 个取样及发送 0 1a 的情况，由于 20r c o s0 jf bg H f e d f E 所以取样结果为 00 0 by a g n E n n 是样值中的噪声分量。因此样值中有用信号的幅度是 bE ，瞬时信号功率是 2bE ，噪声平均功率是 222 0 0 0r c o s2 2 2 bRN N N EE n E n t G f d f H f d f 抽样时刻信噪比为 20022bb
29、bEEN E N 。 （ 2）由对称性可知最佳判决门限 0TV ，因而 00011|12222bbbbEEP e a P n E e rfc e rfcNNE 同理可得 0001| 1 | 1 e r f c2 bEP e a P e a N 于是 0 0 0 0011 | 1 1 | 1 e r f c2 bb EP P a P e a P a P e a N 注：对于任意的二元星座点，高斯干扰，对称分布的情形，最佳门限是两个星座点之中点。若星座点之间的 欧氏距离为 d ，则错误率为221 erfc28d。 5.错误！未定义书签。 一个双极性矩形不归零 2PAM 信号受到功率谱密度为 0/2
30、N 的加性白高斯噪声 wnt的干扰，若发送正极性脉冲1st和负极性脉冲 2st的概率分别是 1 1/3Ps 、 2 2/3Ps 。求 （ 1）最佳接收系统的最佳判决门限； （ 2）平均误比特率。 解 ：（ 1） 设比特能量为 bE ，脉冲宽度为 bT ，则 1 00 e lseb bbE tTst T 21s t s t 假设接收机的匹配滤波器对 1st匹配，则其冲激响应为 11bh t K s T t K s t ，最佳取样时刻是 btT 。取 1K ，则 1h t s t 。 发 1s 时，抽样值为 11000bbbTb w bTbbwbbbTbb w b bbZy s s T n T d
31、EEn T dTTEE n T d E ZT Z 为高斯随机变量， 00 0bbTTw b w bE Z E n T d E n T d ， 200000000 22bbbbbbTTbw b w bbTTw b w bTT bEE Z E n T d n T dTE n T n T d dN N Edd 所以发送 1s 条件下 y的概率密度函数为 20101 bbyENEbp y eNE 同理可 得，发送 2s 条件下 y的概率密度函数为 20201 bbyENEbp y eEN 。 最佳判决门限 TV 是后验概率 1|Ps y 、 2|Ps y 相等的分界点，即 12|TTP s V P s
32、 V ，由贝叶斯准则，有 1 1 2 2TTP s p V s P s p V s，即 2200002200001 1 2 133l n 22 l n 2 2l n 24T b T bbbV E V EN E N EbbT b T bbbT b b T bTeeN E N EV E V EN E N EV E N E V ENV （ 2） 00110000l n 2 l n 2|44l n 2l n 211 4e r f c e r f c 12 2 4T b bbbbbNNP e s P y V s P E Z P Z ENEENNENE 00220000l n 2 l n 2|44l n
33、2l n 211 4e r f c e r f c 12 2 4T b bbbbbNNP e s P y V s P E Z P Z ENEENNENE 平均误码率为： 1 1 2 20000|l n 2 l n 211e r f c 1 e r f c 16 4 3 4bbbbbP P s P e s P s P e sE N E NN E N E 注：匹配滤波器可以有任意的常系数 K，不同 K 时所得到的最佳门限值也相差一个系数 K，但最佳的误码率与 K 无关。 5.18 某数字基带传输系统在抽样时刻的抽样值存在码间干扰，该系统的冲激响应 xt的离散抽样值为 1 0.3x ， 0 0.9x
34、 ， 1 0.3x 。若该系统与三抽头迫零均衡器相级联，请求出此迫零均衡器的抽头器的抽头系数 1 ， 0 ， 1 值，并计算出均衡前后的峰值畸变值。 解 ： (1)包含均衡器后总的系统响应 是 k k khx 代表卷积，即 1 1 0 1 1 1 10 . 3 0 . 9 0 . 3k k n n k k k k k knh x x x x 三抽头迫零均衡将使 1001k kh k 由此得线性方程组 101 0 1010 .9 0 .3 00 .3 0 .9 0 .3 10 .3 0 .9 0 得解为 110110211037 （ 2）计算均衡前后的峰值畸变 均衡前的峰值畸变 110 01 0
35、 .3 0 .3 20 .9 3kkkDxx 均衡后的总体响应为 1110010 .3 0 .9 0 .3 1270 e l sek k k kkkhk 均衡后的峰值畸变值为 220 01 1 1 27 7 7kkkDhh 5.错误！未定义书签。 二进制序列 nb 通过加有预编码器的第一类部分响应系统，如下图所示。 请写出以下的编码及相应电平、判决结果： 输入数据 nb 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 预编码器输出 nd 二电平序列 na 抽样序列 nc 判决输出 nb 解： 输入数据 nb 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 预编码器输出 nd 0 1 1 1 0 0 1 0 0
36、 0 1 二电平序列 na 抽样序列 nc 判决输出 nb 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 5.错误！未定义书签。 设有数字基带信号如下图示，此信号经过一个限带滤波器后成为限带信号，试画出从此限带信号中提取符号同步信号的原理框图，并说明原理，并指出这种提取时钟的方法对限带滤波器有什么要求。 解： 原理框图如下： 限带信号可写成 0nsnu t a x t n T t 其中 xt是限带后的脉冲波形，若限带滤波器的特性是 Hf，则 xt的频谱为 s i n cbsX f A T H f fT 平方后的信号是 2 00n m s snmu t a a x t n T t x t m T t 假设 na 是取值于 1 的独立等概序列，则平方器输出信号的数学期望是 22 0 0 0n m s s sn m mv t E u t E a a x t n T t x t m T t x t m T t 令 2g t x t ，则 vt等价于 sm t mT 经过一个冲激响应为 0gt t的线性系统的输出。注意到 21 snjtTsmnst m T eT 设 Gf 是 gt 的傅氏变换，由于 2 snjtTe 通过 Gf 后的输出是2 snjtTsnGeT
