1、1海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数 2iA.B.C.D. ii2i2i（2）在极坐标系中 ，方程 表示的圆为OxsinA. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的 值为kA.4 B.5 C.6 D.7（4）设 是不为零的实数，则 “ ”是“方程 表示m0m21xym的曲线为双曲线”的2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（5）已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形
2、，则实数 的值为0xym2:1Oxy,ABOmA.B.C.或D.或32623262（6）从编号分别为 1,2,3,4,5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A.B.C.D.152354（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：三棱锥的体积为 16三棱锥的四个面全是直角三角形三棱锥的四个面的面积最大的是 32所有正确的说法是A. B. C. D. 3（8）已知点 为抛物线 的焦点，点 为点 关于原点的对称点，点 在抛物线 上，F2:(0)CypxKFMC则下列说法错误的是A.使得 为等腰三角形的点 有且仅有 4 个MKMB.使得 为直角三角形的点
3、 有且仅有 4 个FC. 使得 的点 有且仅有 4 个4D. 使得 的点 有且仅有 4 个6K第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）点 到双曲线 的渐近线的距离是 .(2,0)214xy（10）已知公差为 1 的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 的前 100 项和为 .na124ana（11）设抛物线 的顶点为 ，经过抛物线 的焦点且垂直于 轴的直线和抛物线 交于 两点，2:4CyxOCxC,AB则 .OAB（12）已知 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64:1，则 .(51)nx n（13）已知正方体 的棱长
4、为 ，点 是棱 的中点，点 在底面 内，点 在1ABCD42MBCPABCDQ线段 上，若 ，则 长度的最小值为 .1PMQ4（14）对任意实数 ，定义集合 .k20(,),kxyDxyRk若集合 表示的平面区域是一个三角形，则实数 的取值范围是 ；k当 时，若对任意的 ，有 恒成立，且存在 ，使得0(,)kxyD(3)1yax(,)kxyD成立，则实数 的取值范围为 .xyaa三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）如图，在 中，点 在 边上，且 .ABCDA3,7,36DBCADBC（）求 的值；（）求 的值.tan（16
5、） （本小题 13 分）据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌5处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21（）从品牌 A 的 12 次测试中，
6、随机抽取一次，求测试结果小于 7 的概率；（）从 12 次测试中，随机抽取三次，记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望 E（ X） ；（）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17） （本小题 14 分）如题 1，梯形 中， 为 中点.将 沿 翻折到ABCD/,1,2,BCDAEDABE的位置，如图 2.E（）求证：平面 平面 ；1E（）求直线 与平面 所成角的正弦值；1AB1CD（）设 分别为 和 的中
7、点，试比较三棱锥 和三棱锥 （图中未画出）的体,MN1E1MACD1NAC积大小，并说明理由.6（18） （本小题 13 分）已知椭圆 ，点2:9Cxy(2,0)P（）求椭圆 的短轴长和离心率；（）过 的直线 与椭圆 相交于两点 ，设 的中点为 ，判断 与 的大小，并证明你(1,0)lC,MNTPTM的结论.7（19） （本小题 14 分）已知函数 .2()xfea（）求曲线 在点处的切线方程；yf（）当 时，求证：函数 有且仅有一个零点；0a()fx（）当 时，写出函数 的零点的个数.（只需写出结论）f（20 ） （本小题 13 分）无穷数列 满足： 为正整数，且对任意正整数 ， 为前 项
8、， ， ， 中等于 的项的个数. na1 n1a12a nna（）若 ，请写出数列 的前 7 项；12na8（）求证：对于任意正整数 ，必存在 ，使得 ；M*kNkaM（）求证:“ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件。1a*mn2n海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 2018.1数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.92.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号1 2 3 4 5 6 7 8选项A D B A D C D C二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5
9、分，共 30 分.(有两空的小题第一空 3 分)（9） （10）5050 （11）2 （12）6 （13）25 3（14） (1,)12,5三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15.（本小题 13 分）解：（）如图所示， ，.1 分36DBCA故 ， .2 分设 ，则 ， .DCxBx3DA在 中，由余弦定理A.3 分22cosBAD即 ，.4 分217(3)37xx解得 ，即 .5 分1C（）方法一.在 中，由 ，得 ，故ADBAB60DAB.6 分362CC在 中，由正弦定理10.7 分sinsiACB即 ，故 ，.9 分471sin2ABC2sin7ABC由 ，得 ，.11
10、分(,)3cos713 分2tan3ABC方法二. 在 中，由余弦定理D.7 分22719cos 27AB由 ，故 .9 分(0,)ABD3sin27ABD故 .11 分tan3故3tanta26tata()61n1ABDABC13 分16. （本小题 13 分）（）从品牌 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有：A测试 1、2、5 、6、9、10、11 ，共 7 次设该测试结果打开速度小于 7 为事件 ，因此 .3 分A()12P11（）12 次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数有：AB测试 1、3 、4、5 、7、8，共 6 次随机变量 所有可能的取值为：0
11、，1，2 ，3X3612()CP63129()X6312()CP.7 分03612()X随机变量 的分布列为0 1 2 3P19291.8 分.10 分1913()02EX（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1 分；结合已有数据，能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由， 2 分.13 分.标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图
12、片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）12标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行
13、阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B）标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的
14、速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B）标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品牌 A 打开文件的平均速度快于 B）标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 这12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B）标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数、
15、后 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有2 次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B）标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（这 12次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2.故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当）参考数据期望 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 5.
16、50 9.83 7.6713品牌 B 4.33 11.83 8.08品牌 A 与品牌B4.92 10.83方差 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 12.30 27.37 23.15 品牌 B 5.07 31.77 32.08 品牌 A 与品牌B8.27 27.97 17. （本小题 14 分）（）证明：因为 ， ， ， ， 平面1BEADE1AEI1AD1AE1 分所以 平面 2 分1因为 平面 ，所以平面 平面 3 分BECD1AEBCD（）解：在平面 内作 ，1F由 平面 ，建系如图. 4 分BE1AD则 ， ， ， ，13(0,)2(,0)(1,)C(0,1)D .(0,)E1,
17、ABur B CE DA1zxyMN14， ， 7 分13(0,)2ADur(1,0)Cur设平面 的法向量为 ，则1C(,)nxyzr，即 ，令 得， ，10nADru302x1z3y所以 是平面 的一个方向量. 9 分(0,31)nr1C10 分11 36cos, 42|ABnurr所以 与平面 所成角的正弦值为 . 11 分11CD（）解：三棱锥 和三棱锥 的体积相等.12 分1MA1NACD理由如:方法一：由 ， ，知 ，则13(0,)41(,0)213(,)4Mur 0MNnur因为 平面 ，所以 平面 . 13 分MN1ACD/N1ACD故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和
18、同底等高，所以体积相等. 1 11NACD14 分方法二：如图，取 中点 ，连接 ， ， .DEPMNP因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以1A1ADE1/MAD因为在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，所以BCBC/NPC因为 ， ， 平面 ， ， 平面MPNPNP1115所以平面 平面MNP/1ACD因为 平面 ，所以 平面 13 分/MN1ACD故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. 1A11NACD14 分B CE DA1MNPB CE DA1MNQ法二法三方法三：如图，取 中点 ，连接 ， ， .1ADQMQ因为在 中， ， 分别是 ， 的中点，
19、所以 且1E1AED/MED12Q因为在正方形 中， 是 的中点，所以 且BCNB/NC所以 且 ，故四边形 是平行四边形，故/MQQ/NC因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 13 分1AD1AD/M1AD故点 、 到平面 的距离相等，有三棱锥 和 同底等高，所以体积相等. N1C1114 分18. （本小题 13 分）16解：（） ： ，故 ， ， ，C219xy29a2b29c有 ， . 3 分3a2bc椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .5 分C2cea（）结论是： . 6 分|TPM设直线 ： ， ，l1xmy1(,)xy2(,)Ny，整理得： 8 分29xy2()80m222()3(
20、)64m故 ， 10 分12y128ymPMNur11 分1212()xy1212)my21212()(y2228()()1m12 分256m0故 ，即点 在以 为直径的圆内，故 13 分9MPNPMN|TPM1719. （本小题 14 分）（）因为函数 2()xfae所以 2 分xf故 ， 4 分(0)f()0f曲线 在 处的切线方程为 5 分yfx0y（）当 时，令 ，则0a()2xgfae()20xgae6 分故 是 上的增函数. 7 分()gxR由 ，故当 时， ，当 时， .00x()0gx()0gx即当 时， ，当 时， .f f故 在 单调递减，在 单调递增.9 分()fx,0)
21、(0,)函数 的最小值为 .10 分f)f由 ，故 有且仅有一个零点. .12 分(0)f(fx（）当 时， 有一个零点；当 且 时， 有两个零点.1a)f 0a1()fx14 分20. （本小题 13 分）解：（）2，1，1 ，2，2，3，1 3 分18（）假设存在正整数 ，使得对任意的 ， . 由题意，M*kNkaM1,23.,kaM考虑数列 的前 项：na21， ， ，1a2321Ma其中至少有 项的取值相同，不妨设M121Miiiaa此时有： ，矛盾.1Mia故对于任意的正整数 ，必存在 ，使得 . 8 分*kNka（）充分性：当 时，数列 为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
22、，1ana123141k特别地， ，21k2k故对任意的 *nN（1）若 为偶数，则 21na（2）若 为奇数，则n23nna综上， 恒成立，特别地，取 有当 时，恒有 成立2na1m2na.11 分必要性：方法一:假设存在 （ ） ，使得“存在 ，当 时，恒有 成立”1akmNn2na19则数列 的前 项为na21k，k， ， ， ， ， ， ， ， ， ，12341k， ， ， ， ， ， ， ，2， ， ， ， ， ，341k， ， ， ，2k2， ，1k后面的项顺次为， ， ， ， ，1k21k， ， ， ， ，2， ， ， ， ，33对任意的 ，总存在 ，使得 ， ，这与 矛盾，故若
23、存在 ，当mnnak21n2namN时，恒有 成立，必有n2na1 13 分方法二：若存在 ，当 时， 恒成立，记 .mNn2na12max,ms由第（2）问的结论可知：存在 ，使得 （由 s 的定义知 ）kkk不妨设 是数列 中第一个大于等于 的项，即 均小于等于 s. kan1s121,ka则 .因为 ，所以 ，即 且 为正整数，所以 .1km1ka1k 1ka记 ，由数列 的定义可知，在 中恰有 t 项等于 1.katsn121,ka假设 ，则可设 ，其中 ，112tiiia 12tii20考虑这 t 个 1 的前一项，即 ，121,tiiia因为它们均为不超过 s 的正整数，且 ，所以 中一定存在两项相等，ts121,tiiia将其记为 a，则数列 中相邻两项恰好为（ a，1）的情况至少出现 2 次，但根据数列 的定义可知：第n na二个 a 的后一项应该至少为 2，不能为 1，所以矛盾！故假设 不成立，所以 ，即必要性得证！ 13 分11a综上， “ ”是“存在 ，当 时，恒有 成立”的充要条件.1amNn2na
