1、学点一,学点二,学点三,1.如果有n个数x1,x2,xn,那么 = 叫做 这n个数的平均数. 总体中所有个体的平均数叫做 . 样本中所有个体的平均数叫做 .2.s= ， 标准差的平方s2叫做方差, s2= .,总体平均数,样本平均数,其中xn是 ,n是 ,x是 . 是反映总体波动大小的特征数,通常用样本方差估计总体方差,当样本容量很大时,样本方差 总体方差.,第n个样本数据,样本容量,样本平均数,方差,很接近,学点一用样本平均数估计总体平均数,【分析】本题考查平均数公式.,1.一个球队所有队员的身高如下(单位:cm): 178,179,181,182,176,183,176,180,183,1
2、75,181,185, 180,184,问这个球队的队员平均身高是多少?(精确到1 cm),【解析】方法一:利用平均数的公式计算: (178+179+181+180+184)= 2 523180.,方法二:建立新数据,再利用平均数简化公式计算:取a=180,将上面各数据同时减去180,得到一组新数据:-2,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4. (-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4)= 3=0.2, +a=0.2+180180.方法三:利用加权平均数公式计算: = (1851+1841+1832+1821+1812+1802+1791+1781+17
3、62+1751)= 2523180.,【评析】(1)平均数公式是一个计算平均数的基本公式,在一般情况下,要计算一组数据的平均数可使用这个公式.(2)当数据较大,且大部分数据在某一常数左右波动时,方法二可以减轻运算量,故此法比较简便.,方法四:建立新数据,再利用加权平均数公式计算: 51+41+32+21+12+02+(-1)1+(-2)1+(-4)2+(-5)1=30.2, =0.2+180180.答:这个球队队员的平均身高是180 cm.,【分析】注意到30天的日产量是30个数据,可直接用定义求平均数;但所给数据多是重复出现的,故简便算法是用加权平均数公式;又由于这组数据都比50稍大一点,因
4、此,也可以利用“新数据”法求平均数.,2.某工人在30天中加工一种零件的日产量,有2天是51件,3天 是52件,6天是53件,8天是54件,7天是55件,3天是56件,1天 是57件.试计算这个工人30天中的平均日产量.,【解析】方法一:利用加权平均数公式.平均日产量= (251+352+653+854+755+356+157),54(件).方法二:利用“新数据”法.各个数据减去50后,得到:2个1,3个2,6个3,8个4,7个5,3个6,1个7,新数据的平均数= (21+32+63+84+75+36+7)= 4.故30天中平均日产量为50+4=54(件).,【评析】本题考查平均数公式.,为了
5、了解市民的环保意识,某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如下表.,求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数.,解:根据平均数和标准差的公式计算即可.平均数 (26+316+415+513)= =3.7.,学点二用样本标准差估计总体标准差,(1)数据501,502,503,504,505,506,507,508,509的标准差 是 ( ) A.203 B. C. D.1(2)已知样本数据x1,x2,xn的方差是3,则样本数据 2x1+2,2x2+2,2xn+2的方差是 .,【分析】(1)由标准差定义知,要计算方差或标准差首先应求平均数;
6、(2)此题看起来不好求,如果注意整体代换,是否能求出来呢?,B,12,【解析】(1)可知=505,则标准差s=.故应选B.(2)设样本数据x1,x2,xn的平均数为,方差为s2,数据2x1+2,2x2+2,2xn+2的平均数为,方差为s2.则 = (2x1+2)+(2x2+2)+(2xn+2)= 2(x1+x2+xn)+2n=2 (x1+x2+xn)+2,=2 +2,于是s2=(2x1+2-2-2)2+(2x2+2-2-2)2+(2xn+2-2-2)2=22(x1-)2+22(x2-)2+22(xn-)2=22(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2=22 s2.即s2=4s2,s2=3,故s
7、2=12.,【评析】方差与平均数有如下性质:设x1,x2,xn的平均数为 ,方差为s2,则(1)数组x1+b,x2+b, xn+b的平均数为 +b,方差为s2;(2)数组ax1,ax2,axn的平均数为a ,方差为a2s2;(3)数组ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数为a +b,方差为a2s2.,对10名高三男生的身高测量后得到如下一组数据(单位:cm)168175171182170173169174178180计算他们的平均身高及标准差.,解:由于样本数据较大,且相对集中,考虑整体代换,使数据变小,方便运算.记原样本数据为xi,最大值为182,最小值为168,且 =175,令yi=x
8、i-175,则得到另一组数据yi :-7047526-135=(-7+0-4+7-5-2-6-1+3+5)10=(-10)10=-1,s2y = (36+1+9+64+16+1+25+0+4+36)=192=19.2.sy=4.38.从而=175+=175-1=174,sx=sy=4.38.,请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.,学点三用样本的数字特征估计总体情况的实际应用,1.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图2-5-1所示.,【分析】根据各个角度对测试结果进行数据统计、计算,再发表看法.,(1)从平均数和方差相结合看;(2)从平均数和中位数相结合看(分析谁
9、的成绩好些);(3)从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩 好些);(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜 力).,【解析】根据各问情况作如下统计表:,则(1)平均数相同,且s甲2 s乙2,甲比乙优, 甲稳定些.(2)平均数相同,甲的中位数s乙,乙比甲稳定,用乙较合适.,【评析】本题考查平均数与方差的求法.,返回目录,甲、乙两台机床同时生产一种零件,在10天中,两台机床每天出的次品数分别是,分别计算出两个样本的平均数与方差.从计算结果看,哪台机床10天生产中出次品的平均数较小?出次品的波动较小?,【解析】 甲= (03+12+23+31+41)=1.5, 乙= (0
10、2+15+22+31)=1.2,s甲2=(0-1.5)23+(1-1.5)22+(2-1.5)23+(3-1.5)2+(4-1.5)2=1.7. s乙2=(0-1.2)22+(1-1.2)25+(2-1.2)22+(3-1.2)2=0.76. 乙 甲,乙机床10天生产中出次品的平均数较小, 又 s乙2 s甲2,乙机床出次品的波动较小.,(1)平均数平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.(2)用样本平均数估计总体平均数两次从总体中抽取容量相同的样本,分别求出样本的平均数,两个样本的平均数一般是不同的,所以用样本平均数去估计总体平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似值
11、.,1.如何用样本平均数估计总体平均数?,(1)方差、标准差、极差与数据的离散程度数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,其中极差(全距)是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感.方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差.(2)计算标准差的算法算出样本数据的平均数;算出每个样本数据与样本平均数的差xi- (i =1,2,n);,2.如何用样本标准差估计总体标准差?,算出(xi - )2(i =1,2,n);算出(xi - )2(i =1,2,n)这n个数的平均数,即为样本方差s2;算出
12、方差的算术平方根,即为样本标准差s.统计在对数据处理时的计算量较大,要借助科学计算器或计算机,一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键,使用时要看说明书(不同的计算器的参数可能不同)进入统计状态就可以求值了.,1.方差的计算方法(1)定义法:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2;(2)简化公式:s2=(x12+x22+xn)-2;(3)“新数据”法:s2=( + + )- ,其中 = xi+ b .这表明将一组数据全部加或减同一个常数后,所得新数据组的方差不变.这为方差的简化计算带来方便(请读者自行证明此结论).,2.统计与数据打交道,整理数据的工作量较大,计算比较麻烦,
13、学习时务必耐心、仔细,否则极易出错,即使用计算器计算也要细心,因为只要错误输入一个数据,就会影响到所得结果.,3.关于统计的有关性质及规律(1)若x1,x2,xn的平均数为 ,那么mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数是m+a.(2)数据x1,x2,xn与数据x1+a,x2+a,xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,xn的方差为s2,那么ax1,ax2,axn的方差为a2s2.,要从总体上去认识各部分内容之间的联系.例如,样本平均数与样本方差或标准差是反映样本的特征数(平均数反映了这组数据的平均水平,方差或标准差反映了这组数据的稳定与波动、集中与离散程度),频率分布反映的是样本数据(或一组数据)落在各个小范围内的比的大小,反映了样本在整体上的分布情况,将它们合在一起,就可使我们对样本的情况有一个清楚、全面的认识.,祝同学们学习上天天有进步！,
