1、材料力学小论文圆形薄板小挠度不同约束下的挠度计算分析12151196 梁桐1 背景在材料力学课程中，第七章主要内容是梁的弯曲变形，通过对梁进行有限元分析，导出了梁在不同约束、不同受力情况下的小挠度公式。但是在实际的工程应用中，还有另外一种比较常见的情况薄板的受力，书中没有讨论。本文将就一种特殊情况，即圆形薄板受均布载荷情况下的小挠度计算分析。2 建模计算分析2.1 圆形薄板的受力模型及其基本假设查阅相关资料，并结合书本知识，先讨论均布载荷为横向轴对称的情况，并做出如下基本变形假设：1) 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线 的挠度，只有横向力载荷；w2) 变形
2、前位于中性面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变；3) 平行于中性面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。则据此，使用有限元法可以推得受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程为：33+12212=或1()=其中 Fs 为距圆心距离为 r 处的横向剪力，对 D 有：= 312(12)其中 h 为圆形薄板的厚度， 为材料的泊松比。2.2 圆形薄板内力计算和挠度、转角方程将圆形薄板加上集度为 q 的均布载荷，如图所示：则由静力学平衡方程有：=2带入挠度微分方程有： 1()=2对上式中的变量 r 连续三次积分得：=464+124 +2ln+
3、3由于 r=0 处的 w 应该为有限值，则应该有 C2=0，最终得到：=464+124 +3并由此可以得到：=316+12其中 C1、C 3 需由边界调节确定。3 几种不同约束条件下的计算3.1 圆周处为固定支座由于圆周处的约束为固定支座，不允许有挠度和转角，则有边界条件= =0 =0则带入挠度、转角方程得积分常数：1=28 3=464所以有圆周固定支座的转角、挠度方程为：=16(22)=64(22)23.2 圆周处为简单支座（不约束转角）此时有约束条件：= =0因为22=则有全部约束条件为：= =0 22=0将边界条件带入得：=64(4622+54)=16(332)3.3 圆心处为固定或简单
4、支座若为固定支座，此时有约束条件：=0 =0 =0若为简单支座，有约束条件：=0 =0 22=0但是带入方程中无法解出积分常数，所以考虑特殊的方法。因为 3.2 中的圆周处为简单支座的情况下，圆周处不限制转角，这与圆心处有约束的情况相同，则用可以得到这两种圆心约束的情况下，挠度、转角方程的值与 3.2 中互为相反数。4 分析与总结4.1 受均布载荷的圆形薄板不同约束下的挠度因为圆心的约束情况可以等效于圆周简单支座约束，所以本部分只讨论前两种约束的挠度。固定支座时，最大挠度在中心，为：=464简单支座时，最大挠度在中心，为：=54644.2 结果分析1) 可见固定支座时的最大挠度要小于简单支座时的情况，所以若要减小变形，应采用固定支座的约束形式，工程中一般使用的都是介于固定和简单之间的约束。2) 在板材的材料和载荷都确定的情况下，减小半径和增加板的厚度都能够减小挠度，从而减小变形。4.3 总结本文通过查阅相关文献得到受均布载荷圆形薄板挠度的相关计算公式，再应用到两种简单的约束条件下，得到了挠度的计算公式。但是由于模型约束强度选取不同，简单支座的挠度计算公式与资料中的结果有差别，但误差并不大，在一定范围内可以得到好的结论。
