1、12015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1）设函数 ()fx在 （ -,+） 连续，其 2 阶导函数 ()fx的图形如下图所示，则曲线yf的拐点个数为（）（A）0 （B）1 (C) 2 ( D) 3213xx xye yabce（ ） 设 是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 特 解 ，则 ：(A),.B321C,.(D)abc 1 133(A)BC.(D) nn naxax 若 级 数 条 件 收 敛 ， 则 与 依 次 为 幂 级 数 的 ：收 敛 点 ， 收 敛 点 .收 敛 点 ， 发 散 点发 散 点 ， 收 敛 点发 散 点
2、， 发 散 点（4）设 D 是第一象限中曲线 21,4xy与直线 ,3yx围成的平面区域，函数(,)fxy在 D 上连续，则 ()Dfd（A）13sin24(cos,in)dfrr（B）1sin234(cos,in)dfrrd2(C)13sin24(cos,in)dfrdr( D) 1sin234(cos,in)frdr（5）设矩阵 21Aa， 21bd，若集合 1,，则线性方程组 Axb有无穷多个解的充分必要条件为（A） ,ad（B） ,a（C） ,ad（D） ,ad（6）设二次型 123(,)fx在正交变换 xPy下的标准形为 2213y，其中123(,)Pe，若 2,Qe，则 123(,
3、)f在正交变换 xQ下的标准形为（A） 2y（B） 13y（C） 2y（D） 2213y（7）若 ,为任意两个随机事件，则（A） ()()PA（B） ()()PAB（C） 2（D） (2P(8)X,Y,1,3,2EXYDEXY设 随 机 变 量 不 相 关 ， 且 则A3B()5二、填空题（9）（10） 2-sin()1coxd（11）若函数由方程 +cos2xeyzx确定，则 (0,1)dz.（12）设 是由平面 1与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)xyzdx3（13） n 阶行列式202-10-2 （14）设二维随机变量服从正态分布，则.三、解答题（15）设函数 ()ln(1)si
4、nfxaxb， 3()gxk，若 ()fx与 g在0是等价无穷小，求 ， ， k值。（16）设函数 ()f在定义域 I上的导数大于零，若对任意的 0I，曲线 ()yfx在点 0(,x处的切线与直线 0x及 轴所围成的区域的面积为 4，且 2,求)f的表达式。（17）已知函数 xyyxf),(，曲线 3:2xyC，求 ),(yxf在曲线 C上的最大方向导数.（18） （本题满分 10 分）（）设函数 (),uxv可导，利用导数定义证明()=()xv（）设函数 12(),.n可导， 12()().,nfxux写出 ()fx的求导公式.（19） （本题满分 10 分）已知曲线 L的方程为2,zxy起
5、点为 (0,2)A，终点为 (0,2)B，计算曲线积分 2()()LIyddxydz（20） （本题满分 11 分）设向量组 123,是 3 维向量空间 3A的一个基， 132k， 2，3()k。4（）证明向量组 123,是 A的一个基；（）当 k 为何值时，存在非零向量 在基 123,与基 123,下的坐标相同，并求出所有的 。（21） （本题满分 11 分）设矩阵02-31Aa相似于矩阵1-203Bb.（）求 ,b的值.（）求可逆矩阵 P，使得 1A为对角阵.（22） （本题满分 11 分）设随机变量 X的概率密度为-2ln0()=xf对 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测
6、值出现时停止，记 Y为观测次数.（）求 Y的概率分布；（）求 E.（23） （本题满分 11 分）设总体 X的概率密度为 1(;)=0xfx其 他其中 为未知参数， 12.nX， 为来自该总体的简单随机样本.（）求 的矩估计.（）求 的最大似然估计.52016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若反常积分 收敛，则（ ）01badx11AabBCabDab且 且 且 且（2）已知函数 ，则 的一个原函数是（ ）21,lnxffx2 22 2
7、, 1,l1ln, ,lnl1AFxBFxxxCD（3）若 是微分方程 的22221,1yxyxypxq两个解，则 （ ）q222231311xxAxBxCD（4）已知函数 ，则（ ）,0,1fxnn（A） 是 的第一类间断点 （B） 是 的第二类间断点0xf 0fx（C） 在 处连续但不可导 （D） 在 处可导f（5）设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A） 与 相似 （B） 与 相似 T 1（C） 与 相似 （D） 与 相似T1（6）设二次型 ，则221231332, 44fxxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）123,fx（A）单叶双曲面 （B
8、）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面6（7）设随机变量 ，记 ，则（ ）0,2NX2XPp（A） 随着 的增加而增加 （B） 随着 的增加而增加p（C） 随着 的增加而减少 （D） 随着 的增加而减少（8）随机试验 有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的概率均为 ，将E321,A31试验 独立重复做 2 次， 表示 2 次试验中结果 发生的次数， 表示 2 次试验中结果X1Y发生的次数，则 与 的相关系数为（ ）2AY二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）_cos1inlim20xdttx（10）向量场 的旋度zkxyjizzyA,
9、_rotA（11）设函数 可微， 由方程 确定，则vuf,yzxfy,12_1,0dz（12）设函数 ，且 ，则21arctnxxf10f_a（13）行列式 _.04321（14）设 为来自总体 的简单随机样本，样本均值 ，参数12,.nx2,N9.5x的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则 的置信度为 0.95 的双侧置信 区间为_.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 10 分）已知平面区域 ，,21cos,2Dr计算二重积分 .Dxdy（16） （本题满分 10 分）设
10、函数 满足方程 其中 .()x20,yk1k7证明：反常积分 收敛；0()yxd若 求 的值.()1,y0（17） （本题满分 10 分）设函数 满足 且(,)fxy2(,)1),xyfxye是从点 到点 的光滑曲线，计算曲线积分(0,)1,tfyL0,1,t，并求 的最小值()()tLfxfxyId ()It（18）设有界区域 由平面 与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外22z侧，计算曲面积分 zdxyydxI 31（19） （本题满分 10 分）已知函数 可导，且 ， ，设数列()f(0)1f1()2fx满足 ，证明：nx1()1,2.nnfx（I）级数 绝对收敛；1n（II） 存在，且
11、 .limnx0li2nx（20） （本题满分 11 分）设矩阵12,1AaBa当 为何值时，方程 无解、有唯一解、有无穷多解？aXB（21） （本题满分 11 分）已知矩阵0123（I）求 9A（II）设 3 阶矩阵 满足 ，记 将 分别23(,)B2BA1023(,)123,表示为 的线性组合。12,（22） （本题满分 11 分）设二维随机变量 在区域(,)XY上服从均匀分布，令2,0,Dxyxy81,0XYU（I）写出 的概率密度；(,)（II）问 与 是否相互独立？并说明理由；（III）求 的分布函数 .ZX()Fz（23）设总体 的概率密度为 ，其中 为未知参数，其 他,03,2x
12、xf ，0为来自总体 的简单随机样本，令 。321,X 321,maXT（1）求 的概率密度T（2）确定 ，使得 为 的无偏估计a92017 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数 在 处连续，则1cos,0()xfxab(A) (B) (C) (D)2ab22ab（2）设函数 可导，且 则fx0fx(A) (B) 1f1f(C) (D)f（3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（）2,fxyzz1,201,2n(A)12 (B)6 (C)4 (D)2（4）甲乙两人赛跑，计时
13、开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线 （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的1vt 2vt数值依次为 10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位:s）,则0t(A) (B) (C) (D)0t052t025t50512053()ts(/)vms（5）设 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则(A) 不可逆 (B) 不可逆 TT(C) 不可逆 (D) 不可逆2210（6）已知矩阵 ，则201A210B02C(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，
14、B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 （7）设 为随机事件，若 ,则 的充分必,0()1,()PABPAB要条件是（）A. BPC. D. BAP（8）设 来自总体 的简单随机样本，记 12,.()nX(,1)N1niiX则下列结论中不正确的是：(A) 服从 分布2()i(B) 服从 分布1nX2(C) 服从 分布21()ii2(D) 服从 分布2nX2二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。（9） 已知函数 ,则 _21()fx(3)0f（10）微分方程 的通解为 _y y（11）若曲线积分 在区域 内与路径无关，则 2d1Lxa2D,1xya（1
15、2）幂级数 在区间（-1,1）内的和函数 1n()Sx（13）设矩阵 ， 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组02A123,11的秩为123,A（14）设随机变量 X 的分布函数为 ，其中 为标准40.5.2xFxx正态分布函数，则 EX=三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）设函数 具有 2 阶连续偏导数， ,求 ，,fuv,xyfecos0dy x20 x（16） （本题满分 10 分）求 21limlnnkk（17） （本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 得极值yx320yxyx（18） （本题满分
16、 10 分）在 上具有 2 阶导数， ()fx0,10()(1),limxff证（1） 方程 在区间 至少存在一个根()fx,（2） 方程 在区间 内至少存在两个不同的实根2()f(,1)（19） （本题满分 10 分）设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点S2Zxy2Zx弧度为 。记圆锥与柱面的交线为 2(,)9uxyzzC（1）求 在 平面上的投影曲线的方程CO（2）求 的质量 SM（20） （本题满分 11 分）三阶行列式 有 3 个不同的特征值，且 12(,)A312（1）证明 )r（2）如果 求方程组 的通解123Axb12（21） （本题满分 11 分） 设 在
17、正交变换 下的标准型为1322123132(,)8fxxaxxxQy求 的值及一个正交矩阵 .yQ（22） （本题满分 11 分）设随机变量 XY 互独立，且 的概率分布为 ，Y 概率密度为 1P02X2,01yf其 他(1)求 (2)求 的概率密度PYEZY（23） （本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体的质量是已知的，设 n 次测量结果 相互独立，且均服从正态分布 ，该工12,nx 2,N程师记录的是 n 次测量的绝对误差 ，利用 估计,12,iiz 12,nz(I)求 的概率密度1z(II)利用一阶矩求 的矩估计量(III)求 的
18、最大似然估计量132018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在 处不可导的是（ ）0x(A) (B)sinfxsinfxx(C)(D)coco（2）过点 ，且与曲面 相切的平面为（ ）1,0, 2zxy(A) (B) zxyz与 02z与(C) (D) 1与 xy与（3） （ ）0231!n(A) (B) sico2sin1co(C) (D) s3（4）设 则（ ）22221,s,xxMdNdKxde(A) (B) KMN(C) (D)（5）下列矩阵中与矩阵 相似
19、的为（ ）10(A) (B) 101014(C) (D) 1010（6） 则（ ）,ABnrXXY设 、 为 阶 矩 阵 ， 记 为 矩 阵 的 秩 ， 表 示 分 块 矩 阵 ，(A) (B) ,rr,rABr(C) (D) max,A,TABr（7） 设随机变量 的概率密度X（ ）201,.6,0fxfffxdPX满 足 且 则(A) (B) (C) (D)0.2.34.5（8）设总体 212,nXNX服 从 正 态 分 布 是 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本 ， 据 此 样 本 检 测 ：（ ）010=H假 设 ： ： ， ： ， 则(A) 0 0.5=0.1HH如 果 在
20、检 验 水 平 下 拒 绝 ， 那 么 在 检 验 水 平 下 必 拒 绝(B) 如 果 在 检 验 水 平 下 拒 绝 ， 那 么 在 检 验 水 平 必 接 受(C) 0 0=0. .如 果 在 检 验 水 平 下 接 受 ， 那 么 在 检 验 水 平 下 必 拒 绝(D) 5=01HH如 果 在 检 验 水 平 下 接 受 ， 那 么 在 检 验 水 平 下 必 接 受二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。（9） _.1sin0talim,kxxe若 则（10） 20,21,xf yfxy设 函 数 具 有 阶 连 续 导 数 ， 若 曲 线 过 点 且 与 曲 线
21、在 点 处_.10xfd相 切 ， 则（11） .(,),1,0FyziyzjxkrotF设 则（12） .22 LLxyzxydsA设 为 球 面 与 平 面 的 交 线 ， 则（13）15212 12122, =AAA设 阶 矩 阵 有 两 个 不 同 特 征 值 ， 是 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 且 满 足 ，.则（14） =ABACB设 随 机 事 件 与 相 互 独 立 ， 与 相 互 独 立 ， ， 若11, ,24PPAC.PC则三、解答题：1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）2arctn1.xx
22、ed求 不 定 积 分（16） （本题满分 10 分）2m将 长 为 的 铁 丝 分 成 三 段 ， 依 次 围 成 圆 、 正 方 形 与 正 三 角 形 .三 个 图 形 的 面 积 之 和 是 否 存 在 最 小 值 ？.若 存 在 ， 求 出 最 小 值（17） （本题满分 10 分） 23313=2.xyzIxdyzdzxy设 是 曲 面 的 前 侧 ， 计 算 曲 面 积 分（18） （本题满分 10 分） (),().yfxfR已 知 微 分 方 程 其 中 是 上 的 连 续 函 数16（I） (),fx若 求 方 程 的 通 解 ；（II） TT若 是 周 期 为 的 函 数
23、 ， 证 明 ： 方 程 存 在 唯 一 的 以 为 周 期 的 解 .（19） （本题满分 10 分）110,(1,2)lim.nnxn nnxexx 设 数 列 满 足 ： 证 明 收 敛 ， 并 求（20） （本题满分 11 分）22212313313(,)(,)()(),.fxxxax设 实 二 次 型 其 中 是 参 数(I) 0求 的 解 ；(II) 123(,)fx求 的 规 范 形 .（21） （本题满分 11 分） 12 12=30=0.7aaaAB 已 知 是 常 数 ， 且 矩 阵 可 经 初 等 列 变 换 化 为 矩 阵(I) ;求(II) .APBP求 满 足 的 可 逆 矩 阵（22） （本题满分 11 分）1711,2XYXPXY设 随 机 变 量 与 相 互 独 立 ， 的 概 率 分 布 为 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 Z令(I) ,;CovXZ求(II) .求 的 概 率 分 布（23） （本题满分 11 分） A12(,),(0,) . .xnXfxeXX 设 总 体 的 概 率 密 度 为其 中 为 未 知 参 数 ， 为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本 记 的 最 大 似 然 估 计 量 为(I) 求 ；(II) ().ED求 和182019 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题192021
