1、高中数学解析几何题型本文档主要包含高中数学解析几何常见的 10 类题型与基本方法和专题训练与高考预测：考点 1.求参数的 值考点 2. 求 线段的长考点 3. 曲 线的离心率考点 4. 求最大 (小)值考点 5 圆锥 曲线的基本概念和性 质考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关 问题考点 7 利用向量 处理 圆锥曲线中的最值问题考点 8 利用向量 处理 圆锥曲线中的取值 范围问题考点 9 利用向量 处理 圆锥曲线中的存在性 问题考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题专题训练与高考预测考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手, 构造方程解之.例
2、1若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（ ）2ypx216xypA B C D44考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，216xy2ypx4p故选 D.考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手, 找出点的坐标,利用距离公式解之.例 2已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.422考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：
3、设直线 的方程为 ，由 ，AByxb2212330yxxbxb进而可求出 的中点 ，又由 在直线 上可求出1(,)2M1(,)My，1b ，由弦长公式可求出 20x24()32AB故选 C例 3如图，把椭圆 的长轴2156xy分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部AB8分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，1234567,PF则 _.567FP考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆 的方程知21xy25,.a 1234567753.PFPFa故填 35.考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率 e
4、 (0,1) (e 越大则椭圆越扁);ac(2) 双曲线的离心率 e (1, ) (e 越大则双曲线开口越大 ).结合有关知识来解题.例 4已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ， ，则双曲线方程为(4,0),A B C D21xy1xy216xy2160xy考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程： 所以 故选(A).2,4cea2,1.ab小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例 5已知双曲线 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准
5、线的932yx距离之比等于（ ）A. B. C. 2 D.42考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和 离心率 e (1, ) 的有关知识的应用能力.ac解答过程：依题意可知 329,32bac考点 4.求最大(小)值求最大(小) 值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小) 值:特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大( 小)值的方法.解:
6、设过点 P(4,0)的直线为 24,8164,ykxx1221 28460,8163.kxyxkk故填 32.考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例 7 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象 限 、 半 径为 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.92yax（1）求圆 C 的方程；（2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF的长.若存在，请求出点
7、 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解答过程 (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)则 解得,2mn2,.mn所求的圆的方程为 22()8xy(2) 由已知可得 ， 10a5椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;259假设存在 Q 点 使 ,cos,2inQFO22cos4i4整理得 ， 代入 in32sco1得: , 210ss708210因此不存在符合题意的 Q 点 .例 8 如图,曲线 G 的方程为 .以原点为圆心，以 )0(2yx)0(t为半径的圆分别与曲线
8、G 和 y 轴的 正半轴相交于 A 与点 B. 直线 AB 与 x 轴相交于点 C.（）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；（）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 ,求证：直线 CD 的斜率为定值.2考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. 解答过程 （I）由题意知， ).2,(aA因为 .,|2tatOA所 以由于 （1）0故 有由点 B（0，t） ，C（c，0）的坐标知，直线 BC 的方程为 .1tycx又因点 A 在直线 BC 上，故
9、有 ,12tac将（1）代入上式，得 解得 .)( )2(ac（II）因为 ，所以直线 CD 的斜率为2(aD，1)2()(2) acakC所以直线 CD 的斜率为定值.例 9已知椭圆 ，AB 是它的一条弦， 是弦 AB 的中点，若2xyE:1(ab0)M(2,1)以点 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点M(,1)，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率 之间满足 ，求：N41e1e（1）椭圆 E 的离心率；（2）双曲线 C 的方程.解答过程：（1）设 A、B 坐标分别为 ，12(x,y)B,则 ， ，二式相减得：21xyab21，2AB121(x)bkaMN()
10、k24所以 ， ， 则 ；ccea（2）椭圆 E 的右准线为 ，双曲线的离心率 ，22()x1e2设 是双曲线上任一点，则：P(x,y)，2(1)|Mc|c|两端平方且将 代入得： 或 ，N4,c3当 时，双曲线方程为： ，不合题意，舍去；122(x)y10当 时，双曲线方程为： ，即为所求 .c3小结：（1） “点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.典型例题：例 10双曲线 C 与椭圆 有相同的焦点，直线 y= 为 C 的一
11、条渐近线.2184xyx3(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（Q 点与 C 的顶点不重l合）.当 ，且 时，求 Q 点的坐标.12QAB321考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力 .解答过程：（）设双曲线方程为 , 21xyab由椭圆 ,求得两焦点为 ，2184xy(,0)对于双曲线 ，又 为双曲线 的一条渐近线:Cc3yxC解得 ，3ba2,ab双曲线 的方程为 13x（）解法一：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零.lk设
12、 的方程： ， ,则 .l14,()yxAy2()Bx4(,0)Qk, .1PQ,kk114()4xy在双曲线 上， .1(,)AxC216()0k221630.21630.k同理有： 2()36k若 则直线 过顶点，不合题意.260,l 26,k是二次方程 的两根.1,21(1)03kx, ，此时 .12386k24k0,2k所求 的坐标为 .Q(,0)解法二：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零lk设 的方程， ，则 .l124,(),ykxAyBx4(,0)Qk， 分 的比为 .1PP由定比分点坐标公式得 111144()0xkky下同解法一解法三：由题意知直线 的斜率 存在且不等于零l
13、k设 的方程： ，则 .l124,(),ykxAyBx4(,0)Qk， .12PQ1122,yxy， ， ，4y1y2又 ， ,即 .1283123112()y将 代入 得 .4ykx24830kk，否则 与渐近线平行.20l.211283,3ykk.24.(,0)Q解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设 的方程： ，l4ykx,则12(,)AxyB4(,0), .P11,)xykk.同理 .114kx124kx.1212483k即 . （*）215()0xx又 243yk消去 y 得 .2()8190kx当 时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， .20 230k
14、由韦达定理有： 12239kx代入（*）式得 .24,k所求 Q 点的坐标为 .(0)例 11 设动点 P 到点 A(l，0)和 B(1，0)的距离分别为 d1 和 d2，APB 2 ,且存在常数 (01,使得 d1d2 sin2 （1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；（2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定 的范围,使 0,其中点 O 为坐标原点OMN考查目的 本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解答过程 解法 1：（1 ）在 中， ，即 ，PAB 22112cosd，即
15、 （常数） ，2214()sind1214sind点 的轨迹 是以 为焦点，实轴长 的双曲线PC， a方程为： 21xy（2）设 ，()M， 2()N，当 垂直于 轴时， 的方程为 ， ， 在双曲线上x1x()M， 1)N，即 ，因为 ，所以 21510052当 不垂直于 轴时，设 的方程为 NxN()ykx由 得： ，21()xyk222(1)()10kx由题意知： ，所以 ， 20122()k21()kx于是： 2112()()kyx因为 ，且 在双曲线右支上，所以ONM，212 2()0(1)512301kx由知， 523解法 2：（1）同解法 1（2）设 ， ， 的中点为 ()Mxy，
16、 2()N， M0()Exy，当 时， ，1221B因为 ，所以 ；052当 时， 12x021yxkyxMN又 所以 ；0MNBEk20()由 得 ，由第二定义得2O 20xy221()exa200011()xCBAoyx所以 2 200(1)(1)()yx于是由 得2200,()(),x 20(1).3x因为 ，所以 ，又 ，01x213解得： 由知 5253考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 ，过点 的直3
17、C(1,0)线交椭圆 E 于 A、B 两点，且 ，求当 的面积达到最大值时直线和椭圆 EC2BA的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为 ，故可设椭圆方程为 ，直线方程为32x3yt(0)，myx1由 得： ，设 ，23t2(m)y42t012A(,)B(,)则 124又 ，故 ，即 CAB12(x,y)(x,y)12y由得： ， ，28m343则 ，AOB1S|6|62|m当 ，即 时， 面积取最大值，232AOB此时 ，即 ，12t3ym()t10所以，直线方程为 ，椭圆方程为 .6xy2x3y10小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例 13已知 ， ，且
18、 ， 求 的最大PA(5,)PB(5,)|PA|B6|2x3y1|值和最小值.解答过程：设 ， ， ，P(x,y)A(5,0)B(,)因为 ，且 ，|6|26所以，动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为 ，令 ，2xy194x3cos,yin则 ，|3|6()2|当 时， 取最大值 ，cos()|162当 时， 取最小值 .14|x3y|小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例 14 （2006 年福建卷）
19、 已知椭圆 的左焦点为 F，21xyO 为坐标原点.（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程；l（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.x考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I） 2,1,(0),:2.abcFlx圆过点 O、F，圆心 M 在直线 上.2x设 则圆半径1(,)2t13().2r由 得r2(,t解得 .t所求圆的方程为2219().4xyxyl GABF OFEPDBAOyx（II
20、）设直线 AB 的方程为 (1)0,ykx代入 整理得21,xy224.直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根.记 中点12(,),AxB0(,)Nxy则 4k的垂直平分线 NG 的方程为001().yxk令 得0,y222.114,GGkxkkkx点 G 横坐标的取值范围为(,0).2例 15已知双曲线 C： ，B 是右顶点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴正y1a,b)半轴上，且满足 成等比数列，过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的|OA,|BF|垂线 ，垂足为 P，l（1）求证： ；（2）若 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E，求双曲线 C 的离心率
21、 e 的取值范l围.解答过程：（1）因 成等比数列，故 ，即 ，|OA,B|F2|OBa|AcF2(,0)直线 ： ，lay(xc)b由 ，2P(,)a故： ，22bababA(0,)O(,)FP(,)ccc则： ，即 ；2PAOAFP（或 ，即 ）PA(OF)P(O)PAF0POAFP（2）由 ，44422222ayxcaac(b)x(b)0bb由 得：4212a()x0b4222acae2.（或由 ）DFOka222bce小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例 16已知 ， ， ，a(x,0)b(1,y)a3b)(a)（1）求点
22、的轨迹 C 的方程；P（2）若直线 与曲线 C 交于 A、B 两点， ，且 ，ykm()D(0,1)|A|BD试求 m 的取值范围.解答过程：（1） ，a3b(x,0)3(1,y)x3,y) ，,因 ，故 ，(a)(a)(ab)()0即 ，2x3,yx3,yx3故 P 点的轨迹方程为 .21（2）由 得： ，2ykxm322(3k)x6m30设 ，A、B 的中点为12A(,), 0M(,y)则 ，2226k4(k)3)13k0， ， ，122mx3102xk02mx1PQCBAxyO即 A、B 的中点为 ，223km(,)1则线段 AB 的垂直平分线为： ，213kmy()x)3k将 的坐标代
23、入，化简得： ，D(0,) 24则由 得： ，解之得 或 ，22m13k042m004又 ，所以 ，214故 m 的取值范围是 .(,0)(,)小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例 17已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心 O，且 ， ，ACB0|2|C（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点 P,Q 使 的平分线垂
24、直于 OA，是否总存在实数 ，使得PQ？请说明理由；PQB解答过程：（1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 ，A(2,0)设椭圆方程为 ，不妨设 C 在 x 轴上方，2xy14b由椭圆的对称性， ，|B|2|O|A|C又 ，即 为等腰直角三角形，AC0由 得： ，代入椭圆方程得： ，(2,)(1,)24b3即，椭圆方程为 ；2x3y4（2）假设总存在实数 ，使得 ，即 ，PQAB/PQ由 得 ，则 ，C(1,)B(,1)0(1)k23若设 CP： ，则 CQ： ，yxyk(x)由 ，22231(3k)x6(1)36104k()由 得 是方程 的一个根，C,x22(
25、)()xk由韦达定理得： ，以 代 k 得 ，P23k611 2Q36k1故 ，故 ，QQPPy(x)kAB/P即总存在实数 ，使得 .评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例 18设 G、M 分别是 的重心和外心， ， ，且ABCA(0,a)B(,)a0，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）是否存在直线 m，使 m 过
26、点 并且与点 C 的轨迹交于 P、Q 两点，且(a,0)？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由.OPQ0解答过程：（1）设 ，则 ，C(x,y)yG(,)3因为 ，所以 ，则 ，GMAB/xM(,0由 M 为 的外心，则 ，即 ，ABC|MA|C|22xx()a()y33整理得： ；2xy1(0)3a（2）假设直线 m 存在，设方程为 ，yk(xa)由 得： ，2yk(xa)103222(13)63(k1)0设 ，则 ， ，12P(x,y)Q(,)21kax321a()x3k ，22211211k(a)()2由 得： ，OP012xy0即 ，解之得 ，223a(k)a13k3又点
27、 在椭圆的内部，直线 m 过点 ，(,0) (a,0)故存在直线 m，其方程为 .yx小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.专题训练与高考预测一、选择题1如果双曲线经过点 ，且它的两条渐近线方程是 ，那么双曲线方程是（）(6,3) 1yx3A B C D2xy13692xy1892xy12xy1832已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方2m5n2m3n程为（ ）A. B. C. D. 1xy1xy43x43已
28、知 为椭圆 的焦点，M 为椭圆上一点， 垂直于 x 轴，12F,2(ab0)1MF且 ，则椭圆的离心率为（ ）M60A. B. C. D.2324二次曲线 ，当 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）2xy1m,1A. B. C. D. 3,5,6,36,25直线 m 的方程为 ，双曲线 C 的方程为 ，若直线 m 与双曲线 C 的右ykxxy1支相交于不重合的两点，则实数 k 的取值范围是（ ）A. B. C. D.(2,)(1,2),2),)6已知圆的方程为 ，若抛物线过点 ， ，且以圆的切线为准线，xy4A(10B(则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ）A. B. 2xy1(0)342(y
29、)3C. D. x104二、填空题7已知 P 是以 、 为焦点的椭圆 上一点，若 1F2 )0(12bayx 021PF，则椭圆的离心率为 _ .tan28已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 ，点 A 的坐标是_ .3149P 是椭圆 上的点， 是椭圆的左右焦点，设 ，则 k 的最大值2y12F, 12|PF|与最小值之差是_ .F2F1 A2A1PNMoyx FQoyx10给出下列命题：圆 关于点 对称的圆的方程是 ；22(x)y1M(1,2)22(x3)y1双曲线 右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到
30、右焦点的距离为 ；69 29顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点 的抛物线方程只能是 ；(4,3)2yx4P、Q 是椭圆 上的两个动点，O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为 ，2x4y16 1则 等于定值 20 .2|O|把你认为正确的命题的序号填在横线上_ .三、解答题11已知两点 ， ，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q， ，A(2,0)B(,) 2PAB（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）设直线 m 过点 A，斜率为 k，当 时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到01直线 m 的距离为 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标.212如图， ， 是双曲线 C 的两焦点，直线
31、 是双曲线 C 的右准线，1F(3,0)2(,) 4x3是双曲线 C 的两个顶点，点 P 是双曲线 C 右支上异于 的一动点，直线 、12A, 21AP交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两P 点，（1）求双曲线 C 的方程；（2）求证： 是定值 .12FMN13已知 的面积为 S，且 ，建立如图所示坐标系，OFQOFQ1（1）若 ， ，求直线 FQ 的方程；S2|BA MQ ETHPoyx（2）设 ， ，若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆过点 Q，求当 取得|OFc(2)3Sc4 |O最小值时的椭圆方程.14已知点 ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ
32、 上，且满H(3,0)足 ， ，PM2（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；（2）过点 作直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点T(1,0)，使得 为等边三角形，求 的值.0E(x,ABE0x15已知椭圆 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x)0(12bayx轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，向量 与 是共线向量1FOM（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上任意一点， 、 分别是左、右焦点，求 的取值范围；12 21QF16已知两点 M（-1，0 ） ，N（1，0 ）且点 P 使 成公差小于零的NPM,等差数列，（）点
33、 P 的轨迹是什么曲线？（）若点 P 坐标为 ， 为 的夹角，求 tan),(0yxPNM与【参考答案】一. 1C .提示，设双曲线方程为 ，将点 代入求出 即可.1(xy)3(6,3)2D .因为双曲线的焦点在 x 轴上，故椭圆焦点为 ，双曲线焦点为2m5n,0，由 得 ，所以，双曲线的渐近线为2(m3n,0)225nm|n.6|yx43C .设 ，则 ， ，1|MF|d2|d12|F3d.12|c23ea|4.C .曲线为双曲线，且 ，故选 C；或用 ， 来计算.52a42bm5B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.
34、二.7解：设 c 为为椭圆半焦距， ， . 021PF21PF又 21tanFP21)(2ac解得： 选 D25()93,ccea8 解：设 A（x 0，0 ） （x 00） ，则直线 的方程为 y=x-x0，设直线 与椭圆相交于l lP（x 1，y 1） ，Q（x 2、y 2） ，由 y=x-x0 可得 3x2-4x0x+2x02-12=0，x2+2y2=12， ，则3402131012020212121 3648964)(| xxxx ，即 |343x 02=4，又 x00 ，x 0=2，A （2 ，0） 91； .212k|PF|(ae)xae10.三. 11解（1）设动点 P 的坐标为
35、 ，则点 ， ，(x,y)Q(0,y)P(x,0)，PA(2x,y)， ，B22ABx因为 ，所以 ，2PQy即动点 P 的轨迹方程为： ；2（2）设直线 m： ，yk(x)0k1)依题意，点 C 在与直线 m 平行，且与 m 之间的距离为 的直线上，2设此直线为 ，由 ，即 ，1:ykxb2|k1bk把 代入 ，整理得： ，222()x()0则 ，即 ，24kb(1)b0b由得： ， ，5此时，由方程组 .2yxC(2,10)12解：（1）依题意得： ， ，所以 ， ，c3a4a2b5所求双曲线 C 的方程为 ；2xy15（2）设 ， ， ，则 ， ，0P(x,y)1M(,)2N(,)1A(
36、2,0)2(,)， ， ， ，10AP(x2,y)20P(x,y)110AM(,y)322N(,y)3因为 与 共线，故 ， ，同理：101001(x)，02y3(x)则 ， ，11FM,225FN(,y)3所以 .1212692069(x4)205(x4)61913解：（1）因为 ，则 ， ，设 ，则|OF,OF,0Q(,y)，0FQ(x2,y)，解得 ，0(1 05x2由 ，得 ，故 ，01S|OF|21y51Q(,)2所以，PQ 所在直线方程为 或 ；（2）设 ，因为 ，则 ，0Q(x,y)|Fc()0F(xc,y)由 得： ，OFc101x又 ，则 ，013S|2432， ，Q(c,)
37、29|(c)4易知，当 时， 最小，此时 ，|OQ5(,)设椭圆方程为 ，则 ，解得 ，2xy1,(ab0)a22ab4912a10b6所以，椭圆方程为 .210614解：（1）设 ，由 得： ， ，M(x,y)3PQ2yP(0,)2x(,0)3由 得： ，即 ，HP3(,)24由点 Q 在 x 轴的正半轴上，故 ，x0即动点 M 的轨迹 C 是以 为顶点，以 为焦点的抛物线，除去原点；(,)(1,)（2）设 ，代入 得：m:yk12y422x()x0设 ， ，则 是方程的两个实根，1A,2B,12,x则 ， ，所以线段 AB 的中点为 ，122(k)x122k(,)线段 AB 的垂直平分线方
38、程为 ，2ky(x)k令 ， ，得 ，y02x1k2E(,0)因为 为正三角形，则点 E 到直线 AB 的距离等于 ，AB 3|AB2又 ，2211|(x)(y)24k1所以， ，解得： ， .4223k| 301x15解：（1） ， .abycxFM21,),0(则 acbkOM2 是共线向量， ，b=c,故 .ABOabkAB与,e（2）设 1212,QrFc2222111114()4cos 0()crarr当且仅当 时，cos=0， .21 2,016解：（）记 P（x,y） ，由 M（-1 ，0）N （1 ，0）得， . (,)Mxy ),(yx)0,2(NM所以 . ， .12N 2 1xP于是， 是公差小于零的等差数列等价于PP,即 . 0)1(2)(xxyx 032xy所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆.（）点 P 的坐标为 。 .),(0yx2102yxPNM22 20 0(1)(4)4MN x因为 0 ， 20cos.4x所 以 3x所以 ,30,1cs2,41cos1sin202x.4osinta0220yx
