1、1,导数的应用,导数能指引我们注意函数的重要特性，,能帮助我们来分析函数族的特征，,现在用导数来研究函数的单调增减性、,凹凸性、极值点、拐点及找函数的最大,值与最小值。,2, 4. 函数单调性 与 曲线的凹凸性,3,一、 函数单调性的判定法,I . 函数的单调性,现在用导数来研究函数的单调性。,4,0,x,y,0,x,y,(上升),（下降）,从几何上看, y = f (x) 在 a, b 上单增(或单减)，,其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。,上升的曲线每点处的切线斜率均为正，,下降的曲线每点处的切线斜率均为负，,a,b,a,b,5, 函数增减性的判定法,定 理：,6,说 明,此
2、判定法的结论可推广到其他各种区间，包括无穷区间。,1.,2.,（这些点不组成一个区间）为 0 时定理仍成立。,但曲线仍单增，只在 x = 0 处有一条水平切线。,7,例1：,解：, y,解：,y,y, y 在(-,+)不单调。,8,有必要讨论函数在各个区间上的增减性。,例2：,解：,9,y,0,+,0,1,(-1,1), 1,x,10,y,+,不存在,0,x,解：,11,关于二阶导数,二阶导数是变化率的变化率，,即变化率,即变化率,设 p(t) 为时间 t 时某公司的股票价格，,请判断下列情况中 p(t) 的一阶与二阶导数的符号：,例：,(a) “ 股票价格上升得越来越快 ”；,(b) “ 股
3、票价格上升趋缓 ”。,答：,(a),(b),12,II . 函数单调性的一些应用,1 . 证明一类不等式,例1：,证：,13,例2：,证：,14,例2：,15,2. 证明方程根的唯一性,例3：,有唯一的实根。,证：,先证明根的存在性：,由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内至少有一根;,再证明根的唯一性：,有一根， f (x) 在 (-1,0) 内只有唯一实根。,( 则 f (x) 从负到正只穿过 x 轴一次), 即 f (x) 至多,16,例4：,证：,17,3. 证明某些函数的单调性,例5：,证：,18,二、 曲线的凹凸性与拐点,同样单增的函数，有时弯曲的方向不一样:,凹,
4、凸,x1,x2,x1,x2,弦上弧下，则曲线为向上凹（凹）；,弦下弧上，则曲线为向上凸（凸）。,19,1. 定义：,x1,x2,P,Q,(a),(b),取弦的中点 Q,与曲线弧上的相应点 P,设 f (x) 在区间 I 上连续，对 I 上任意两点 x1, x2 , 恒有,则称 f (x) 在 I 上的图形是 凹的 (凹弧)。如(a),x1,x2,P,Q,则称 f (x) 在 I 上的图形是 凸的 (凸弧)。如(b),(凹),(凸),20,除此之外，,x1,x2,(a),(b),x1,x2,(凹),(凸),还有可判别曲线凹凸的方法吗？,若在某区间内，,曲线弧位于其上任意一点切线的上方，,则曲线在
5、此区间内是凹的；,曲线弧位于其上任意一点切线的下方，,则曲线在此区间内是凸的。,21,2. 凹凸性的判定定理,定理：,设 f (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b)内 具有一阶与二阶导数。若在 (a, b)内,则 f (x) 在a, b上的图形是凹的；,则 f (x) 在a, b上的图形是凸的。,22,例题讨论,判别下列曲线的凹凸性：,1., y 处处 凸 。,2., y 处处 凹 。,3.,凸,凹,23,定义：,连续函数上凹弧与凸弧的分界点,称为这曲线的 拐点（或扭转点）。,说明：,(1),拐点的可疑点：,(2),拐点在曲线上，而不在 x 轴上，,其坐标为 ( x0, y0 )。,2
6、4,注意：,未必都是拐点。,例：,0,无拐点。,25,例题讨论,例1：,求下列函数的凹凸区间及拐点：,(1),( 正态分布曲线 ),解：,x,y,0,0,+,+,26,.,.,27,(2),解：,x,y,4,不存在,+,2,拐点: (4, 2) .,28,例2：,解：,分析：,此题不必判别凹凸，可用定理 2 。,29,例3：,求函数递增最快的点与递增最慢的点。,对应的横坐标为：,30, 5. 函数的极值与 最大值最小值,31,函数单调区间的分界点 x = -1, 1.,-2,2,一、 函数的极值及其求法,1. 极值的概念,对在 x = - 1 附近的点 x，有 f (x) f (-1)= -
7、2,对在 x = 1 附近的点 x, 有 f (x) f (1) = 2,32,定义：,若 f (x0) f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一个,极大值， x0 称为极大值点；,若 f (x0) f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一个,极小值， x0 称为极小值点。,极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。,例2 中，f (-1) = -2 为极小值，x = -1为极小值点，,f (1) = 2 为极大值，x = 1 为极大值点。,(P.152),33,1.函数的极值概念是局部性的，相对的，是在极值点的某邻域内与其它点处的函数值相比较而得的。而函数的最值概念是整体
8、性的，绝对的，是在函数的整个定义区间内与所有函数值相比较而得。所以极大（小）值不一定是函数的最大（小）值。,说明：,2.在某一区间上函数可有许多极大值与极小值，且某些极大值可比极小值还要小。,34,2. 极值的求法.,定理 1：（必要条件）,由上图可知，函数取到极值处，曲线的切线都是水平的，但有水平切线的点不一定都是函数的极值点。,设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，,则必有,即对可导函数，要在某点取到极值，,必须在该点有水平切线，即导数为 0 。,(P.153),35,说明：,可导函数的极值点必是驻点，,1.使导数 为 0 的点，称为 f (x) 的驻点，,驻点与导数不存
9、在的点。,考察这些可疑点后求得函数的极值点。,但 驻点不一定是极值点。,或临界点。,2. 极值点的可疑点:,x0,如何考察？,36,定理 2. ( 第一充分条件 ),连续函数 f (x)单调区间的分段点 x0 是极值点。,37,直观的观察：,x0,x ,x0,x0,x ,x ,x 从左向右变动,x 从左向右变动,x从左向右变动,不取极值。,38,求函数的极值点与极值的步骤：,39,例1：,y,+,0,不存在,+,0,x,解：,极大值,0,极小值,40,可利用驻点或附近二阶导数的符号判定极值，,有第二充分条件。,x0 有可能是拐点，,拐点处能取到极值吗？,不取极值,取到极值,41,定理 3. (
10、 第二充分条件 ),f (x) 在 x0 处取到极大值；,f (x) 在 x0 处取到极小值。,则,说明：,则本定理失效。需用第一充分条件判定。,(P.155),42,例2：,解：,不能判定，,只能利用第一充分条件判定。,43,0,1,+,(0,1),y,+,0,0,0,(-1,0),-1,x,-1,1,44,例4：,已知 y = f (x) 对一切 x 满足,若 f (x) 在某点 x0 ( 0 ) 处有极值，则它是极大值还是极小值？,解：, f (x) 在 x0 处有极值，,(*),由 (*) 式，, f (x0) 是极小值。,45,二、 最大值、最小值问题,1. 求函数的最大值与最小值,
11、函数取到最大值与最小值的几种情况：,(1) 函数 f (x) 在 a, b 单增时，,最小值 f (a),最大值 f (b);,(2) 函数 f (x) 在 a, b 单减时，,最大值 f (a),最小值 f (b),(3) f (x) 在 a, b 不单调时，,最大最小值只有在端点或极值点处才可能取到。,46,求函数最大值、最小值的步骤：,47,例题讨论,48,例1：,最大值与最小值。,解：,比较函数值的大小：,49,例2：,求 f (x) = x e x 在定义域内的,最大值与最小值。,解：,当 x 1 ，,当 x 1 ，,x :,+,y :,即 f (x) 在整个区间只有一个极大值，,显
12、然此极大值就是最大值。,= 0 ，,f (x) 没有最小值。,50,证明不等式：,证：, 0 ?, 0 ?,当 x 0 ,= 0,当 x 0 ,= 0 ,得证。,例3 ：,51,2. 最值的应用题,在最大值最小值的问题中，特别：,函数 f (x) 若有,（1）在某一区间内可导；,（2）在此一区间内只有唯一驻点；,（3）函数在此唯一驻点处取极大（小）值；,则函数在此驻点处必取最大（小）值。,52,函数 f (x) 在 a, b 只有一个极值f (x0) ，若f (x0)是极大值时，则f (x0)是最大值，若f (x0)是极小值时，则f (x0)是最小值。,说明：,(2)实际问题中如果 f (x)
13、 在定义区间内部只有一个驻点x0时，可根据问题的性质，断定f (x0)是最大值或最小值。(驻点唯一性）,53,例1：,问函数,在何处取得最小值？,解：,且在此处取得最小值。,54,上离原点距离,最近的点的坐标，并求出此最短距离。,解：,设曲线上点 ( x, y )., ( 0, 1 ) 为所求点，,最短距离 d min = 1.,例2：,求曲线,设 u =,55,在半径为R的球内嵌入一圆柱体，当圆柱体的底圆半径 为多少时，圆柱体的体积最大？,R,r,圆柱体体积:,h = ?,2,例3：,分析：,题中要求什么最大？, 圆柱体体积,圆柱体体积与什么有关？, 底半径与高, 设底半径为 r, 高为 h
14、 ., 目标函数,56,为( 0, R )上唯一驻点，,且此问题中存在最大值，,问题,目标函数可否设成,= 0,解：,设 底半径为 r .,答,O.K !,57,由 y = 0, x = 8, y = x 2 围成一曲边 三角形 OAB (如图)，在曲线 OB 上求一点，使过此点作 y = x 2 的切线与OA，AB 所围成的三角形面积为最大。,例4：,y = x 2,A,B,P,Q,S,解：,设曲线上的点 ( x0, y0 ), 该点处的,切线方程：,令 y = 0,令 x = 8,= OP,=AQ,PA = OA OP =,x0,58,为( 0, 8 )内的唯一驻点, 取最大值。,AQ =
15、 y =16 x x2,59,推动一渡船穿越某水域的燃料成本（元 / h）正比于船速的立方，某渡船以10 km / h 的速度航行时，每小时消耗100 元的燃料，此外，经营渡船的成本为 900 元/ h，问它以何速度航行时，可使每千米航行成本最小？,例5：,解：,设每千米总成本为 M, 燃料成本为 m .,则 m = k v 3 ,且有 100 = k 10 3, m = 0 . 1 v 3 .,则 M = 0 . 1 v 3 900 / v,( v 0 ),60,即渡船大致以 7. 4 km / h 的速度航行时，,可使单位成本最小。,则 M = 0 . 1 v 3 900 / v,( v 0 ),
