1、1一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 30 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1设 1， 2 是非齐次方程组 Ax=b 的解， 是对应的齐次方程组 Ax=0 的解，则 Ax=b必有一个解是（ ）A 1+ 2 B 1- 2C+ 1+ 2 D+ 2答案：D2设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是（ ）AA 的列向量组线性相关 BA 的列向量组线性无关CA 的行向量组线性相关 DA 的行向量组线性无关答案：A3设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为 =（1，
2、0，2） T， =（1，-1，3） T，且系数矩阵 A 的秩 r(A)=2，则对于任意常数 k, k1, k2, 方程组的通解可表为（ ）Ak 1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)T B(1,0,2) T+k (1,-1,3)T C(1,0,2) T+k (0,1,-1)T D(1,0,2) T+k (2,-1,5)T答案：C4设 A 为 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是（ ）AA 的列向量组线性无关 BA 的列向量组线性相关CA 的行向量组线性无关 DA 的行向量组线性相关答案：A5.如果方程组 有非零解,则 k=（ ）043321xkA.-2 B.-1C
3、.1 D.2答案：B6.设 A 为 m 矩阵，方程 AX=0 仅有零解的充分必要条件是（ ）nA.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关答案；C7已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是其导出组 Ax=0的一个基础解系，C 1，C 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解可以表为（ ）A B)()(21 )()(212112CC D21112答案：A8.设 3 元线性方程组 Ax=b,A 的秩为 2， ， ， 为方程组的解， + =（2，0，4）1231T， + =（1 ，-2 ，1） T，
4、则对任意常数 k，方程组 Ax=b 的通解为（ ）A(1,0,2) T+k(1,-2,1)T B(1,-2,1) T+k(2,0,4)T C(2,0,4) T+k(1,-2,1)T D(1,0,2) T+k(1,2,3)T答案：D9.设 ， 是 Ax=b 的解， 是对应齐次方程 Ax=0 的解，则（ ）12A. + 是 Ax=0 的解 B. + （ - ）是 Ax=0 的解12C. + 是 Ax=b 的解 D. - 是 Ax=b 的解12答案：B10设 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为321,该方程组基础解系的是（ ）A B21, 1321,C D, ,答
5、案：B11.设 A 为 mn 矩阵，则 n 元齐次线性方程 Ax=0 存在非零解的充要条件是（ ）A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关答案：B12设 为 矩阵，则 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是（ nm0x）A Br)( mr)(C Dn A答案：C13已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，则矩阵 A 可为（ ）132,A （5，-3，-1） B 1235C D7123 3答案：A14设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=n-3(n3)， ， ， 是齐次线性方程组 Ax=0 的三个线性无关的解向量，则方程组
6、 Ax=0 的基础解系为（ ）A ， ， + B ， ， -C - ， - ， - D ， + ， + +答案：D15设 A 为 5 阶方阵，若秩（ A）=3，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A2 B3C4 D5答案：A16设 mn 矩阵 A 的秩为 n-1，且 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个不同的解，则Ax=0 的通解为（ ）Ak 1，kR Bk 2，kR Ck 1+ 2，k R Dk( 1- 2),kR答案：D17对非齐次线性方程组 Amnx=b，设秩（A）=r，则（ ）Ar=m 时，方程组 Ax=b 有解 Br=n 时，方程组 Ax=b 有
7、唯一解Cm=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解 Drn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解答案：A18设 A 是 46 矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1 B.2C.3 D.4答案：D19.设 A 是 mn 矩阵，已知 Ax=0 只有零解，则以下结论正确的是（ ）A.mn B.Ax=b（其中 b 是 m 维实向量）必有唯一解C.r（A ）=m D.Ax=0 存在基础解系答案：A20.设 A 为 mn 矩阵，mn,则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（ ）A.小于 m B.等于 mC.小于 n D.等于 n 答案：D5
8、.若 A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数为 2，则 r(A)=( )A.2 B.3C.4 D.54二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。21设非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵为，则该方程组的通解为_.64201答案： .,103为 任 意 常 数k22若齐次线性方程组 有非零解，则其系数行列式的值为0323121xaxa_.答案：023设 A 是 43 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)=_.答案：324已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax
9、=b 的增广矩阵 经初等行变换化为：，若方程组无解，则 a 的取值为_.1)(0221aA答案：025已知方程组 存在非零解，则常数 t=_.0221tx答案：-226已知 3 元齐次线性方程组 有非零解，则 a=_.0321xxa答案：227.设 A 为 3 矩阵,且方程组 A x=0 的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= _.答案：1528.设矩阵 A= ，若齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则数 t=_.54321t答案：229.设 A 为 45 的矩阵，且秩（ A）=2，则齐次方程 Ax=0 的基础解系所含向量的个数是_.答案：330.方程 x1+x2-x3=1 的通解是_.答案：
10、 .,100221为 任 意 常 数kk31.已知 x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T 是 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解向量，则对应齐次线性方程组 Ax=0 有一个非零解向量 =_.答案： T）（ ,46232.设齐次线性方程 Ax=0 有解 ，而非齐次线性方程且 Ax=b 有解 ,则 是方程组_的解。答案：Ax=b33.方程组 的基础解系为_。0321x答案： 134已知 3 元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ，若该方程组无解，则01021a的取值为_.a答案：-135设 A= 为 3 阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组3211a的解为_.032312xaxa6答案：
11、 036.设 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解.则 A（5 2-4 1）=_.答案：b37.设 A 是 mn 实矩阵，若 r（A TA）=5 ，则 r（A ）=_.答案：538.设线性方程组 有无穷多个解，则 a=_.2113xa答案：-239.设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0的解，则|A |=_.答案：040.齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为_. 0321x答案：113.三元方程 x1+x2+x3=1 的通解是 _.17.若 A、B 为 5 阶方阵，且 Ax=0 只有零解，且 r(B)=3，则 r(AB
12、)=_.19.设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解 1= ， 2= 且 r(A)=2，则 Ax=b 的通解是3 1_.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）41设有非齐次线性方程组 123421xxa问 a 为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.解： 123140a1302a73021a时无解， 时有无穷解，通解为3a100122k.,2为 任 意 常 数42求齐次线性方程组 的基础解系及通解.054321xx 解： 101 1001基础解系为 通解为10,1021k.,2为 任 意 常 数43求线性方程组 的通解.362411xx解： 3620410
13、420231通解为 .10为 任 意 常 数， k44给定线性方程组82321ax（1）问 a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：（1） 213aaa1031，方程组有无穷多个解.),()bARa时（2） 011时 ，基础解系为 ，特解为10,2通解为 ，021021k.2为 任 意 常 数k45.求非齐次方程组 的通解.12x3x45623754125431解： 1234562071 23681027001500159通解为 ，0231610652k.2为 任 意 常 数k46.设 1， 2， 3 是齐次方
14、程组 A x =0 的基础解系.证明 1， 1+ 2， 1 + 2 + 3 也是 Ax =0 的基础解系证明：设 ，即0)()(321kk，321321 k由于 1， 2， 3 线性无关，故有解之得， 0321k1230k故 1， 1+ 2， 1 + 2 + 3 也线性无关且 1， 1+ 2， 1 + 2 + 3 仍然是 A x =0 的解故 1， 1+ 2， 1 + 2 + 3 也是 Ax =0 的基础解系47.已知线性方程组ax3215 （1）求当 a 为何值时，方程组无解、有解.（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.解： a51230210a301
15、21a（1） 时， ，方程组有解a),()bAR时， ，方程组无解3(（2）方程组有解时，通解为为任意常数。kk,011048当 a, b 为何值时，方程组 有无穷多解？并求出其通解.3bx)2a(3x211解： 32310ba10baba10时，方程组有无穷多组解且),(bA0102通解为 为任意常数.kk,1249设 为 Ax=0 的非零解， 为 Ax=b(b 0)的解，证明 与 线性无关.证明：设存在数 使得 （1）21,k021k即 代入（1）式，得021Ak,b 0,011kk从而 ，于是 与 线性无关.50已知线性方程组 ，3221x（1）讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无
16、穷多个解.（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.解：（1） 312),(bA 31002)2(10方程组无解,3,2bAR时 ，方程组有唯一解，时 ，且,11方程组有无穷多解时 ，且 1,2（2） 时 ，且方程组的通解为02),(bA，02121k.2为 任 意 常 数k51设 为非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， 2， r 是其导出组 Ax=0 的一个基础解系.证明 ， 1， 2， r 线性无关.证明：设存在数 使得 （1）21,rkk， 21 rrkk即 代入（1）式，得021 AAkrr 0,rrb因为 1， 2， r 线性无
17、关0rk从而 ，于是 ， 1， 2， r 线性无关.21rk52求齐次线性方程组 的一个基础解系.053241xx解： 00312305324,bA基础解系为 12,0153.设 3 元齐次线性方程组 ，0321ax（1）确定当 a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.解：（1）120)1(21)2(12aaaA时方程组有非零解或（2） 时 0101230121A基础解系为 ，通解为 为任意常数.1k,1时a01A基础解系为 ，通解为 为任意常数.， 2121,0kk，54.求 齐 次 方 程 组取 何 值 时 ,0543)(21xx13有非零解？并在
18、有非零解时求出方程组的通解。解： 15043A 0)1(314043，方程组有非零解.时或3时 ，13504A120301230124通解为 为任意常数k,124时 ，115043A140041通解为 为任意常数k,1455已知线性方程组 31322ax(1)讨论常数 满足什么条件时，方程组有解21,a(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解( 要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)解：（1） 32101, abA 3120a14当 时，方程组有解32101a0321a（2）当 时，方程组有无穷多解321abA, 0021通解为 为任意常数.kak,1256.求齐次线性方程组 的基础解系及其通解.0343214x解： 031A614352614032基础解系为 通解为 为任意常数.180518k,1857.问 a 为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时6324132xxa求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 。解： 632041),(abA2304a03021a00a时 ， 方 程 组 有 惟 一 解时 ， 方 程 组 有 无 穷 多 解315此时 通解为 为任意常数.0123,bAkk,0123
