1、1I.基本函数的导数01. ；0C02. ；1x03. ；sincosx04. ；in05. ；2tansecxx06. ；2cot07. ；sesctanxx08. ；cot09. ；lnxxaa10. ；xxe11. ；1loglnaxa12. ；ln13. ；21arcsixx14. ；2ro115. ；21arctnx16. 。2rot1xII.和、差、积、商的导数01. ；uvv02. ；C03. ；uvuv04. 。2(0)vIII 复合函数的导数若 ，则,yfuxdyx或 。fux- 2 - 计算极限时常用的等价无穷小0limsnxx:0limtanxx:201lim1cosxx
2、:0li1xxe0li1x0linxn 两个重要极限: 0sinlmx1limxxe基本积分公式：kdxC1xdC 1lndxC21arctnx2arcsi1dx；cosixd sino221sectasxdxC 22cscotsidxxdxCectanx cotxxdClnxxadCshc chs* *tanlosdxxotlsinxdx* *secectanC cscotC* *21rtxdxa21ln2xadxa* *2rcsinax 22lx* 22ldxCa- 3 - 若 ，则 lim0, limfxAgxBlimgxBfA 罗尔定理： 若 在 上连续，在 内可导，且 ，则存在一Ff
3、,ab,abfafb，使 。,abf 拉格朗日中值定理：若 在 上连续，在 内可导，则存在一 ，使得fx, ,。ffba 柯西中值定理：若 、 在 上连续，在 内可导，且 则存在一xF,ab,ab0Fx，使得 ，则 。,ab0ffF 罗必达法则：若（1） ，（2） 及 在 （或()()limli0()xaxaf或 或 或 fx0x）处存在，且 ，（3） 存在（或 ），则 。xX0F()lixafF或 ()()limlixaxaffF或 或 泰勒公式： 200 0000 01!nnffxffxf R其中： , 。10!nnnfR0,x 马克劳林公式： 201!nnffffxf xxR其中： ,
4、。11!nnnfRx0,1. 23 1 01!nxx nee x2. 357211sin! !mx 3. 2462co1 !nxx 4. 23 1nxxx 5. 242211 1nxxx - 4 -6. 2341ln1 nxx 1x 驻点：导数为零的点拐点： ，则称 在 上是凸的，1212fxfxffx,ab，则称 在 上是凹的，1212ffff,若曲线在 两旁改变凹凸性，则称 为曲线的拐点。0x 0,xf 凹凸性判断（充分条件）：设 存在，若 时 ，则曲线是为凸的，若faxb0fx时 ，则曲线是为凹的。axbfx设曲线方程 ， 具有二阶导数，则函数 在 的曲率 为：yf yfx,yK（工程中
5、，若 时， ）。2/31K1yK 基本积分方法1 换元法：（1）设 具有原函数 ，而 可导，则有：fuFux；fxdxC（2）设 在区间 上单调可导，且 ，又设 具有原函数 ，则t,0tfxFt有： 。1fxftdtFt2 分布积分法： uvu3.有理函数积分： nAdxa2nMxNdPq4.万能代换（三角函数的有理式的积分）： 设 ，则 ，tau21xdu， 。2sin1ux21cosux 2 23126nn 。- 5 - 定积分中值定理： 。 bafxdfbab 定理：如果函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 f,在 上具有导数，并且它的导数是xatdb xaftfxaxb 定积分换元公
6、式： ， , b。bafxdfttd 2200sincosffx0 0i inxfdxfd 定积分的分步积分： bbaauvvu20131 ,24sin ,5n nnIxd : : 为 正 偶 数为 大 于 1的 奇 数 弧长计算公式： ;21basydx ， ; txty 22sttd ， 。cos inxry 22sr- 6 -向量代数 定比分点公式： 。121212, , xyz 数量积： ， 。cosab:xyzabab:。222csxyzzxyz 向量积： 。xyzijkabab 平面 平面的一般方程： （向量 为平面法向量）。0AxByCzD,nABC 平面点法式方程： 。0 0y
7、z 平面的截距式方程： （ 为平面在三个坐标轴上的截距）。1xyzabc,abc 两个平面的夹角：两个平面方程为： 平面： ，1110AxByCzD平面： ，则两平面的夹角 的余弦为：2220AxByCzD。11222cos 两平面平行的条件： 。1122ABCD 两平面垂直的条件： 。110 点到平面的距离：平面： ，平面外一点： ，则点 M 到平面的AxByz1,xyz距离： 。112AxByCzd 空间直线- 7 - 两个平面的交线： 。11220AxByCzD 点向式方程：直线上的一点 ，直线的一个向量 ，则直线方程为：00,Mx ,Smnp，参数方程为：000xyzmnp0mtynz
8、pt 两直线的夹角： ， ，则两直线的夹角余0101011:xLmn0202022:xyzLnp弦为： 。1212cosp两直线平行： ，1122nmp两直线垂直： ，110 两直线共面（平行或相交）：两直线： ，共面的条件： 。01010112222:xyzLmnp 2121210xyzmnp 直线与平面的夹角平面： ，直线：:0AxByCzD000:xyzLmnp若直 线与平面相交，夹角： ；222sinABC若直 线与平面平行： ；0ABCp若直 线与平面垂直： 。mn 多元函数微积分- 8 -1.方向导数： （ 为 轴到方向 的转角）sinffcolxyxl2.梯度： ,fffgrad
9、fyzijkz3.二元函数的极值： ， ， 。令 ， ，,fx0,xfy0,yfx0,xfyA0,xyfB。当 时具有极值，且当 时具有极大值，当 具有极小值；0,yfxC2ABA当 时没有极值；当 时可能有极值，也可能没有极值，还需令作讨2AB2ACB论。3.二重积分的计算 2 21 1, , ,bxdya cDfxydfyfxd,cos,inDfxydfrr2121cos,incos,in ,ifrdfrdrf 4.曲面的面积计算： 22221,1xyD DzAffxddxyx 平面薄片的重心： , , , ,DDy dMMxyxdxy平面薄片的转动惯量： 2 2, ,x yDIyId5.
10、三重积分的计算： 2211, ,byxzxyaDfxyzdvdfzd- 9 - 曲线积分和曲面积分1.对弧长的曲线积分： xtty22, ,Lfxydsftttd 222, ,fzftttttd 2.对坐标的曲线积分： , xtyt2 2, , ,LPxydQydPtQttd 3.对曲面的积分： 22, ,1,xy xyDfxyzdSfzxyzzxdy4.对坐标的曲面积分： 无穷级数 收敛级数的基本性质：1.如果级数 收敛于和 ，则它的各项同乘以一个常数 所得的级数 也收敛，且其1nus k1nku和为 。ks2.如果级数 、 分别收敛于和 、 ，则级数 也收敛，且其和为 。1nvs1nuvs
11、3.在级数中去掉、加上或者改变有限项，不会改变级数的收敛性。4.如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号所成的级数1nu- 10 -仍收敛，且其和不变。11221 1knnnnuuu 5.（级数收敛的必要条件）如果级数 收敛，则它的一般项趋于零，即 。1nlim0nu 常数项级数的审敛法：定理 1.正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。1nuns定理 2（比较审敛法）.设 和 都是正项级数，且 。若级数 收敛，1n1nv 1,2nuv 1nv则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 发散。1nu 1nu1n推论 1.设 和 都是正项级数，如果级数 收敛，且存在自然数 ，使当 时
12、有n1nv 1nv Nn成立，则级数 收敛；如果级数 发散，且当 时有 成立，0nukv1nu 1nun0nukv则级数 发散。1n推论 2. 设 为正项级数，如果有 ，使 ，则级数 收敛；如果1nu1p1,2npu 1nu，则级数 发散。,nu 1nu定理 3（比较审敛法的极限形式）. 设 和 都是正项级数，如果 ，1nu1nv lim 0nullv则级数 和级数 同时收敛或同时发散。1nu1nv定理 4（比值审敛法，达朗贝尔（DAlembert）判别法）.若正项级数 的后项于前项之比1nu- 11 -值的极限等于 ： ，则当 时级数收敛； （或 ）时级数发散；1limnu111limnu时
13、级数可能收敛也可能发散。1定理 5（根值审敛法，柯西判别法）. 设 为正项级数，如果它的一般项 的 次根的极1nunu限等于 ： ，则当 时级数收敛； （或 ）时级数发散； 时级数limnulimnu1可能收敛也可能发散。定理 6（莱布尼茨定理）.如果交错级数 满足条件：（1） ，（2）1nu 1 ,3nu，则级数收敛 ，且其和 ，其余项 的绝对值 。lim0nusunr1nr定理 7.如果级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。1nu1n 幂级数定理 1（阿贝尔（Abel ）定理）.如果级数 当 时收敛，则适合不等式 的1nax0x0x一切 使这幂级数绝对收敛；反之，如果级数 当 时发散，则适合不
14、等式 的x 1n0 0一切 使这幂级数发散。推论：如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个1nax0x完全确定的正数 存在，使得：当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；当RRxR与 时，幂级数可能收敛也可能发散。xR定理 2.如果 ，其中 、 是幂级数 的相邻两项的系数，则这幂级数的收1limna1na1nax敛半径 0 R- 12 -性质 1. 设幂级数 的收敛半径 ，则其和函数 在区间 内连续。如果幂1nax0Rsx,R级数在 （或 ）也收敛，则和函数 在 （或 ）连续。xRsx,R,性质 2.设幂级数 的收敛半径 ，则其和函数 在区间 内是可导的，且1n
15、ax0sx,有逐项求导公式 ，其中 ，逐项求导后得到的幂级 111nnnsaxR数和原级数有相同的收敛半径。性质 3.设幂级数 的收敛半径 ，则其和函数 在区间 内是可积的，且1nax0Rsx,有逐项积分公式 ,其中 ，逐项积分后得 1000111xxxnnnasdadadxR到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 欧拉公式： cosinixex 傅立叶级数cos0 n=1,23nxd sin0 n=1,23xdi ,k s ,xk co0 n=1,23kndn 函数展开成傅里叶级数 （ 是周期为 的周期函数）fx2 01cossin2kkafxbx- 13 -其中：01cos n=0,121i
16、 ,3nnafxdfbfxd 定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）：设 是周期为 的周期函数，如果它fx2满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则 的傅里叶级数收敛，并且：fx当 是 的连续点时，级数收敛于 ；fx fx当 是 的间断点时，级数收敛于 。f 102ffx定理. 设 是周期为 的函数，在一个周期上可积，则fx2（1）当 为奇函数时，它的傅里叶系数为： 0 n=,123,2si n,nabfxd （2）当 为偶函数时，它的傅里叶系数为：fx02cos n=0,123, n=1,3nafxdb 周期为 的周期函数的傅里叶 级数l定理：设周期为 的周期函数 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为 ：2fx01cosinkkafxxb- 14 -其中系数 为：,nab1cos n=0,12in ,3lnln xfdlfl 当 为奇函数时，fx1sinxfxbl其中系数 为：nb 02i n=1,23lfdl 当 为偶函数时，fx1cos2naxfxl其中系数 为：na 0 =0,12lnfdl 微分方程： 齐次方程： dyxyduuyuxd duxx
