1、 软饮料销售价格的确定的建模问题 一：问题摘要：在我们的社会生活中，销售价格与销售量之间的关系比比皆是，它蕴含了我们建模中的一类大问题，即最优解问题。在本模型中所提出的问题为1. 在每一种可能的价格下，确定每周的销售量，则需要建立价格和销量的函数关系式，用表中数据则可以大致的确定该函数关系式。2. 确定最优价格，即最优解问题，以生产总利润为目标函数建立一个模型，以价格为自变量，总利润为因变量，应用微分的知识进行最优值得求解。3. 在数据处理上，不同的处理方式，造成的结果会有所偏差。二：关键词：销售量 销售价格, 利润 销售价格曲线 最优化价格三：问题重述：一家公司在 22 个近似相等大小的城市
2、尝试销售一种新的软饮料，销售价格以及在这些城市中每周的销量如表所示：表一：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）城市 销售价格 销售|周 城市 销售价格 销售|周1 3.54 3980 12 2.94 60002 4.80 2200 13 6.54 11903 5.70 1850 14 5.70 19604 2.70 6100 15 4.74 27605 4.74 2100 16 3.90 43306 5.94 1700 17 2.70 69607 5.40 2000 18 3.60 41608 3.90 4200 19 5.34 19909 4.74 2440 20 4.74 2860
3、10 4.14 3300 21 5.94 192011 4.74 2300 22 5.10 2150问题：1：某公司想要找出理想的销售价格曲线，即在每一种可能的价格下，每周的销量是多少？2：在研究了试销结果后，公司将设置一个全国统一的销售价。已知每件产品的成本是 1.38元，公司定价是多少时，使公司获得的利润达到最大。3：对你的计算结果做可靠性分析。三：问题假设：1.在销售过程中，销售量和价格之间的函数关系表达式基本不变2.销售量与销售价格之间满足二次函数的函数关系3. 销售价格与城市无关 4.销售价格不受季节，时间的限制。 四符号表示：X：销售价格；Y：每周的销量；P：利润；五问题解答：（1
4、 ）将题目中的数据汇总，利用 excel 工具做成如下图所示的曲线：假设对数据不进行任何的变动 销售量与销售价格满足的函数关系式为y = 353.75x2 - 4556.4x + 16212自变量 x 的取值范围为 54.670.x将题目中的数据按价格递增顺序进行汇总，得到如下的图表：销售价格（单位：元）及每周的销量（单位：件）销售价格 销售量/周 销售价格 销售量/周 销售价格 销售量/周2.70 6960 4.74 2860 5.40 20002.70 6100 4.74 2760 5.70 19602.94 6000 4.74 2440 5.70 20003.54 3980 4.74 2
5、300 5.94 19603.60 4160 4.74 2100 5.94 17003.90 4330 4.80 2200 6.54 11903.90 4200 5.10 21504.14 3300 5.34 1990将表中的数据进行适当的处理，对某些数据进行处理：1 当销售价格为 5.94 元时，不同城市的销售量不一样，一个为每周销量 1960 件，另一个为 1700 件，取其平均值为 1830 件2 当销售价格为 5.70 元时，有两个城市的销售量分别为 1960 件和 2000 件，平均值为1980 件3 当销售价格为 4.74 元时有五个城市每周的销量分别为 2860 件，2760 件
6、，2440 件，2300 件， 2100 件，取其平均值为 2492 件4 当销售价格为 2.70 元时，有两个城市每周销量为 6960 件，6100 件取其平均值为 6530件。5 当销售价格为 3.90 元时，有两个城市每周销量为 4160 件，4330 件，取其平均值为4245 件。6 其余剩余所有数据基本相吻合，不需要再做处理。对数据进行处理之后，汇总如下：销售价格 销量|周 销售价格 销量|周 销售价格 销量|周2.70 6530 3.60 4160 4.74 24922.94 6000 3.90 4245 4,80 22003.54 3980 4.14 3300 5.10 2150
7、5.34 1990 5.40 2000 5.70 19805.94 1830 6.54 1190将数据用 excel 工具绘制图表如下：对数据进行处理后得到，销售价格和销售量的函数关系为：y = 345.8x2 - 4477.3x + 15992自变量销售价格的取值范围为： 54.670.2x（2 ） P 代表利润；X 代表销售价格Y 代表每周的销售量P=x(345.8x2 - 4477.3x + 15992)-1.38(345.8x2 - 4477.3x + 15992)要求利润最大，只需要求 p 的最大值利用 LINGO 软件得到Local optimal solution found.O
8、bjective value: 9669.402Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 5Total solver iterations: 337Elapsed runtime seconds: 0.78Model Class: NLPTotal variables: 1Nonlinear variables: 1Integer variables: 0Total constraints: 2Nonlinear constraints: 2Total nonzeros: 2Nonlinear nonzeros: 2Variable Val
9、ue Reduced CostX 3.576844 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 9669.402 1.0000002 0.000000 0.000000最优解为 x=3.58即定价为 3.58 元时，公司的利润最大。（3 ）根据以上建立的数学模型，可能会存在误差，对数据未进行舍去处理，保留原有所有的数据，只是在销售价格相同的销量进行了取平均的处理，能更好的反应数据的取向，能更好的对销售价格和销售量的关联程度进行很好的反应。在求解过程中，利用求导数的方式，找到最优解，也给我们在以后处理这类建模问题上一个很好的解题思路。六模型评价及改进：1在本次模拟中，我采用的是销售价格与销售量满足二次函数的关系，在图形对比中，可能三次函数也比较符合这组数据。2.在本次模拟中运用微分求导的方式很符合常规思维，在生活中能运用到很多地方。 、3.对于模拟中对数据的处理方式不同，可能得出的结果有些许偏差，但不改变整体的分布，在以后处理数据时应当对数据中偏差太大的进行舍去处理。4.在模型建立时要充分考虑各个因素的影响，但在假设中要注意忽略次要因素，找准主要因素。
