1、二 综合法与分析法,综合法与分析法的概念1.综合法一般地，从_出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.,已知条件,2.分析法证明命题时，从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至所需条件为_(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种_的思考和证明方法.,要证的结论,已知条件或一个明显成立的事实,执果索因,充分,条件,1.如何理解分析法寻找的是充分条件?提示：用分析法证明,叙述格式是固定的,常用要证A只需证B表示,说明只要B成立,就一定有A成立,所以B必须是A的
2、充分条件才行.,2.若n为正整数，则 与 的大小关系是_.【解析】要比较 与 的大小，只需比较 与 的大小，即4n+4与 的大小.因为n为正整数，所以 故答案：,3.若acb0，则 的值的符号为_.【解析】= =因为acb0,所以abc0,a-b0,b-c0，所以原式小于0.答案：负,1.用综合法证明不等式的逻辑关系AB1B2BnB由已知逐步推演不等式成立的必要条件，从而得结论.2.用分析法证明不等式的逻辑关系由结论步步寻求不等式成立的充分条件，从而到已知.,3.综合法和分析法的比较(1)相同点：都是直接证明.(2)不同点：综合法：由因导果，形式简洁，易于表达； 分析法：执果索因， 利于思考，
3、易于探路.,类型 一 用综合法证明不等式【典型例题】1.已知a0,b0,c0,d0，求证：(ab+cd)(ac+bd)4abcd.2.若a,b,c都是正数，能确定 与 的大小吗？,【解题探究】1.ab+cd，ac+bd分别与 的大小关系是什么？2.基本不等式是什么？它使用的条件是什么？探究提示：1. 2. 条件是：一正，二定，三相等.,【解析】1.因为a0,b0,c0,d0，所以 ， ，相乘得 ，式中当且仅当ab=cd时，取等号，式中当且仅当ac=bd时，取等号.故式中当且仅当a=d且c=b时，取等号.所以(ab+cd)(ac+bd)4abcd.,2.因为a,b,c都是正数，所以所以,【拓展提
4、升】综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.,(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个：a20(aR)；(a-b)20(a,bR),其变形有a2+b22ab, 若a,b为正实数，则 特别 a2+b2+c2ab+bc+ca.,【变式训练】已知a0,b0,c0, 求证：【证明】因为a2+b22ab，a0,b0，所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b)，即a3+b3+a2b+ab22a2b+2ab2，所以a3+b3a2b+ab2.同
5、理可得b3+c3b2c+bc2，a3+c3a2c+ac2，将以上三式两边分别相加，得,2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，所以3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2)=(a+b+c)(a2+b2+c2)，所以,类型 二 用分析法证明不等式【典型例题】1.将下面用分析法证明 的步骤补充完整：要证， 只需证a2+b22ab，也就是证_,即证_,由于_显然成立，因此原不等式成立.2.当x4时，证明：,【解题探究】1.分析法证明不等式的实质是什么？2.题2的证明关键是什么？探究提示：1.分析法证明不等式的实质是
6、从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知正确的不等式或为已知条件.2.题2的证明关键是对要证的不等式进行适当变形，想办法去掉根号，能得到显然成立的条件.,【解析】1.要证 只需证a2+b22ab，也就是证a2+b22ab0,即证(ab)20,由于(ab)20显然成立，因此原不等式成立.答案：a2+b22ab0 (ab)20 (ab)20,2.欲证只需证即证展开整理，得只需证(x1)(x4)(x2)(x3),即x25x+4x25x+6，即46，显然成立.,【互动探究】题1改为，若a,b为正数，将下面用分析法证明 的步骤补充完整：要证 只需证 也就是证_,即证_,由于
7、_显然成立，因此原不等式成立.,【解析】要证 只需证也就是证即证由于 显然成立，因此原不等式成立.答案：,【拓展提升】用分析法证明不等式应注意的问题(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.,【变式训练】设ab0，求证：【解题指南】对不等式两边同时3次方化简，利用分析法证明.【证明】要证只需证展开得即证明 即在题设条件下，这一不等式显
8、然成立，所以原不等式成立.,【规范解答】利用综合法、分析法证明不等式【典例】 【规范解答】 要证 成立， 即证 成立， 即证 4分,【条件分析】,即即证又需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即c2+a2=b2+ac.8分,又ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以 ，10分由余弦定理所以 ，所以原命题成立.12分,【失分警示】,【防范措施】1.正确应用证明格式应用分析法证明时，必须有文字说明，不能写“因为”，而要用“欲证”“只需证”“即证”等词，如本例中的要证、即证、又需证等词语.,2.熟练掌握有关知识一些不等式的题目常和函数、三角、数列等知识交汇命题，所以应熟练掌握有关知
9、识，解题时才能得心应手，如本例中与等差数列、余弦定理等知识相结合命题.,【类题试解】已知a,b都是正实数，且a+b=2, 求证：【证明】方法一：因为a,b都是正实数，所以原不等式等价于a2(b+1)+b2(a+1)(a+1)(b+1),即a2b+a2+ab2+b2ab+a+b+1，等价于a2+b2+ab(a+b)ab+a+b+1,将a+b=2代入，只需要证明a2+b2+2ab=(a+b)2=4ab+3,即ab1.而由已知 可得ab1成立，所以原不等式成立.,方法二：因为a,b都是正实数，所以两式相加得因为a+b=2,所以,1.命题“对于任意角, ”的证明过程：“ ”应用了 ( )A.分析法 B
10、.综合法C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法【解析】选B.因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论.故选B.,2.要证明 可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ( )A综合法 B分析法C归纳法 D以上都可以【解析】选B.结合题目特点及分析法原理可知分析法最合理.,3.若x0,y0，且 则xy有 ( )A.最大值是64 B.最小值是C.最小值是64 D.最小值是【解析】选C.因为 所以xy64，选C.,4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且a+b+c=0，求证 ”,索的因应是 ( )A.a-b0 B.a-c0C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)0,【解析】选C.由abc，且a+b+c=0可得b=-a-c,a0,c0.要证 只要证(-a-c)2-ac3a2,即证a2-ac+a2-c20,即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0,即证a(a-c)-b(a-c)0，即证(a-c)(a-b)0.故求证 索的因应是(a-b)(a-c)0,故选C.,5.若a0,b0,则下列两式的大小关系为：【解析】因为所以所以答案：,6.求证：【证明】要证 成立，只需证 成立，即证(a+b+c)23(a2+b2+c2)成立，即证a2+b2+c2ab+bc+ac成立，需证而(ab)2+(bc)2+(ca)20显然成立，所以,
