1、 |密|封|线|点集拓扑试题样卷 2一 二 三 四 总分代号 学院 专业 年级 学号 姓名 备注: 试卷首页必须用统一的考试命题专用纸,第二页以后用专用纸续页。 试卷必须打印成卷字迹要工整、清楚。各题留出答案空白。 试卷打印后应认真校对，避免卷面错误。得分 阅卷人 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题 3 分，共 18 分)1、已知 ,下列集族中， 是 上的拓扑. （ ）,XabcdeX ,acT ,be X ,acdeT2、已知 ，拓扑 ,则 是 （ ）bXaT b3、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,1(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集
2、 ,则 的商拓扑是 （ ）,3YY ,3,2Y 1,4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是 （ ）连通性 正则 正规2T规, （ ） 空间 以上都不对2T5、设 ， ，则 是 （ ）1,2X,2XT(,)T 空间 空间 空间 01236、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是 （ ） 连通性 紧致性 正则性 可分性得分 阅卷人二、简答题（每题 4 分，共 32 分）1、写出同胚映射的定义.2、什么是不连通空间?3、什么是正则空间？4、写出紧致空间的定义.5、写出可分空间的定义6、写出列紧空间的定义.共 6 页，第 1 页 共 6 页，第 2 页|密|封|线 线| | 7、写出导集的定义.8、写出 U
3、rysohn 引理的内容.得分 阅卷人 三 、判断下列各题的正误, 正确的打，错误的打，并说明理由 （每题 5 分，其中判断 2 分，理由3 分，本题共 10 分）1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射 （ ）2、若拓扑空间 中存在一个既开又闭的非空真子集，X则 是一个不连通空间 （ ） 河北师范大学考试命题专用纸试卷代号 A卷 学院 数信学院 专业 数 学 年级 姓名 学号 得分 阅卷人四、证明题（共 40 分).1、设 是拓扑空间 的一个连通子集, 证明: 如果 和 是 的两YXABX个无交的开集使得 ,则或者 ,或者 . (7 分)BAYY2、设 X 是一个含有不可数多个点的有限
4、补空间.证明 :X 不满足第一可数性公理.(7 分)共 6 页，第 3 页 共 6 页，第 4 页|密|封|线 线| | 3、设 是 空间 的一个收敛序列,证明： 的极限点唯一. (7 分)ix2TXix4、设 是 Hausdorff 空间， 是连续映射 .证明X:fX是 的闭子集. |()Axfx(7 分)河北师范大学考试命题专用纸试卷代号 A卷 学院 数信学院 专业 数 学年级 姓名 学号 5、设 是两个拓扑空间， 是一个连续映射.如果 是一个紧致空,XY:fXYX间，证明 是 的一个紧致子集. (7 分)()f6、设 为 Hausdorff 空间 , 是一个连续映射, 且 XXf: ff
5、证明: 是 的闭集 (5 分).)(f共 6 页，第 5 页 共 6 页，第 6 页点集拓扑试题样卷 2 卷参考答案一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题 3 分，共 18 分)1、 2、 3、 4、 5、 6、 二、简答题（每题 4 分，共 32 分）1、设 和 是两个拓扑空间.如果 是一个一一映射，并且 和XY:fXYf都是连续映射，则称 是一个同胚映射.:f2、设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得 ,则称 是一个不连通空间.ABX3、设 是一个拓扑空间，如果 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 是正则空间.XX
6、X4、设 是一个拓扑空间.如果 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间 是一个紧致空间.5、设 是一个拓扑空间，若 有一个可数稠密子集，则称 是一个可分空间。X6、设 是一个拓扑空间. 如果 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 是一个列紧空间.X7、设 是一个拓扑空间，集合 的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.AA8、设 X 是一个拓扑空间， 是一个闭区间 . 则 是一个正规空间当且仅当对于 中任意两个无交的闭集 和 ，存在一个连续映射 ,使得当 时 和当,ab AB:fXabxA()fa时 .xB()fb三 、判断下列各题的正误, 正确的打，错误的打，并说明理由（每题 5 分，
7、其中判断 2 分，理由 3 分， 本题共 10 分）1、答案: 理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有 ,由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以XY:fXYAY1)fAX（ 1()fA是连续的. :fY2、答案:理由：这是因为若设 是 中的一个既开又闭的非空真子集，令 ，则 都是 中的非空闭子集，它们满足 ，易见 是隔离子集，所以拓扑空间 是一个不连通空AXB, ABX,ABX间.四、证明题（共 40 分).1、证明：因为 是 的开集，从而 是子空间 的开集.B, YB,又因 中，故 4 分AY)()(AY由于 是 的连通子集,则 中必有一个是空
8、集. 若 ,则 ;若 ,则 7 分X, YBAYB2、证明：若 满足第一可数公理，则在 处,有一个可数的邻域基，XXx设为 V x ,因为 X 是有限补空间，因此对 , 是 的一个开邻域，从而 ,使得 . 4 分xyyxxyV yXy于是 , 由上面的讨论我们知道：y yXxXy 因为 是一个不可数集，而 是一个可数集，矛盾.xXxXyuV 从而 X 不满足第一可数性公理. 7 分3、证明：若极限点不唯一，不妨设 , ,其中 ，由于 是 空间，故 和 各自的开邻域 ，使得 . 4 分1lim2liy12yX2T1y2,UV因 ，故存在 ，使得当 时， ；同理存在 ，使得当 时， .令 ,则当
9、时， ，从而 ,矛盾，故 的极限点1limxy10NNixU0N2iNixV12maxNiNixUVix唯一. 7 分4、证明：对于 ，则 ，从而 有互不相交的开邻域 和 ，设 ， 4 分A()fx(),f V1()WfU则 是 的开邻域，并且 ,故 是开集，WxWA从而 是闭集. 7 分5、证明：设 C 是 的一个由 中的开集构成的覆盖.对于任意 ， 是 中的一个开集，由于 ,从而有：()fXYC1()fXcCX111()()()CCfff所以 是 的开覆盖.由于 是紧致空间，所以 A 有一个有限子覆盖，设为 . 4 分1()|fA=X 1,nff因为 ，从而 ，即 是 C 的一个子族并且覆盖 ，因此 是 的一个紧致子集. 111()()nnCffC 1()nCfX 1,n ()fX()fY7 分6、证明：对 ，则 ，由于 是 Hausdorff 空间，存在 和 的邻域 ，使得 .又因为 连续,故存在 的邻域 ,使得 ,令 ,则)(Xfxxf)(Xx)(fVU,11fx2UVf)(2 21U是 的邻域,且 . 3 分U事实上,若存在 使得 ,即 使得 .于是 ,而 ,Uz)(fzy)(yfz()()fzfyfzf)(这样, ,矛盾.所以 ,即 是闭集. 5 分Vz1 XU
