1、浙江师范大学 微分几何 考试卷（2005 -2006 学年第 一 学期）考试形式 闭卷 使用学生 数学 031-034 考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 12 月 20日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空题（每空 2 分，共 16 分 ）1、向量函数 是定长的充要条件是 .)(tX2、柱面 的第一基本形式为 。,vuGF3、若曲面 和曲面 等距，则 的高斯曲率 K= 。2,:1yx4、坐标网是渐近线网的充要条件是 。5、若曲面上的曲线 既是渐近线又是曲率线，则 是 。6、曲面 的切平面方程为 曲线；)1,(,),( vuvuvX在法线方程为 。7、
2、曲面上沿着一条非直线的曲线 ，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线是曲面上 曲线。二、是非题（每小题 2 分共 10 分）1、存在第一类基本量 E=1，F=3，G=3 的曲面。 （ ）2、球面上每一条曲线都是曲率线。 （ ）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。 （ ）4、高斯曲率不是内蕴量。 （ ）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线 是圆柱螺线。 （ ）三、综合题（1-8 每小题 8 分，第 9 小题 10 分，共 74 分）1、问是否存在曲面使得。为什么？,cos,0,221ugg 1,0,cos2121u2、求曲线 的曲率 k 和挠率 。3,ttX 3、求曲线 的切线曲面的主曲率，
3、平均曲率，曲率线方程。)(sY4、求曲面 的高斯曲率 K。221)(:udI5、求正螺面 上测地线的方程。,sin,coauX6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。7、设非直线曲线 和另一条曲线 之间建立的一一对应，使得在对应点，曲*线 的切线是 的主法线，证明 是平面曲线。*8、若两曲面 ， 相交于定角，且交线 是 的曲率线，则 也是 的曲12 12率线。9、证明：对曲面上的曲线有（1）若渐近曲线 同时为测地曲线，则它必是直线；（2）若曲率线 同时为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学微分几何考试卷参考答案（2005 -2006 学年第 一 学期）考试形式
4、 闭卷 使用学生 数学 031-034 考试时间 150 分钟 出卷时间 2005 年 12 月 20 日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空题（每格 2 分共 16 分）1、 )(tX0,2、 2,2,)(dvuGuF3、K=04、L=N=05、平面曲线6、 ，042zyx 213zyx7、测地二、是非题（每小题 2 分共 10 分）1-5：错，对，错，错，对。三、综合题（1-8 每小题 8 分，第 9 小题 10 分，共 74 分）1、答：不存在 （3 分）因为 不满足科达齐方程,cos,0,122ugg 1,0,cs2121LL=0uL)(2v)(21)(2
5、1)(gv左边= （5 分）0)cossin2u2、解：因为 321,ttX， ， （4 分）2,1tt,0, 2,0,X= （2 分）3,|Xk2341)(t（2 分）1)(,242,t3、解：设曲线 （s 为弧长参数）的切线曲面为)(Y，则有vsX，ksv， ， （2 分）ks)(.2 kXst0vE=1+ ，F=1，G=1kvL= M=0，N=0 （2 分）,（1 分）vkk210H= （1 分）曲率线方程为 =0，即 s=常数，或 v=-s+c （2 分）01122vkdsvd4、解：因为为正交网，所以（3 分）)()(vuGEEGK=- （2 分）)()(12vu= （3 分）)(l
6、n)(l2vu5、解：因为 uX,si,coE= （2 分）1,02GFv由测地线方程为 tanEdu（2 分）tanl21l21uGvtandvcos12，则测地线方程为22ctcvan（4 分）221du6、证：因为是极小曲面，所以 ，为非平面，即有 （2 分）021k ,01k则 K0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。 （2 分）设两族渐近曲线主方向的交角为 ，则由欧拉公式有2,1= （3 分）212,1tank,4,21两族渐近曲线正交 （1 分）7、设曲线 ： （s 为弧长参数）则 为)(X*（1 分）)(*sX两边对 s 求导有（1） （1k)1(*.,分）因为 ，上
7、式两边点积 有* *代入（1） （20.分）即有（2）再求导有 kX,*（3） （1 分）)()(, k（4） （1232,*,分）（4）再两边点积 有*由题意有 ，即证。 （2 分）02k08、证：设 ， 的单位法向量为 ，则由题意有 （1 分）1221,ncn21两边微分得 （1 分）0212dn由交线 是 的曲率线，则有 1Xdn1（1 分）022ndX因为 ，所以221又因为 为单位法向量，即有n02nd所以有 （2 分）|2d21， ，所以有 | （2Xn12Xd21n分）即 ，所以 也是 的曲率线。 （1 分）|2d29、 （1）由题意沿 有 （2 分）0,gnk又因为 ，即 k=
8、0 （2 分）22gnk所以 为直线。 （1 分）（2）：由题意 为测地线，则沿 有 （1n分）又 为曲率线，则沿 的法线曲面是可展曲面，即有， （10),(n分）即有 ，因 （1 分）),(k代入有 0),(),(即证明了 是平面曲线 （2 分）浙江师范大学微分几何考试卷考试类别 使用学生数理学院数学专业本科考试时间 120 分钟表 出卷时间 2002 年 10 月 7 日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理二、 填空题（30 分 ）1、向量函数 是定长的充要条件是 .)(tX2、光滑曲线 ： ，tR，若对任何的 t 有 ，则称 为正则曲线。 3、空间曲线中，弧长、 和 是参
9、数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是 。5、若曲线为贝特朗曲线，则曲率 k 和挠率 满足的条件为 。6、若在 P 点有 ，则称 P 点为 。ijijg7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为 、 和 。9、坐标网是渐近线网的充要条件是 。10、若曲面上的曲线 既是渐近线又是测地线，则 是 。11、曲面 的切平面方程为 ，法线方)1,2(,),( vuvuvX在程为 。二、解答题1、 ，这样的曲面是否存在？（51,0,0, 2121212 uuegg分）2、求正螺面 上的测地曲线的方程。 （10 分）2121,sin,coaX
10、3、若固定向量 与曲线 的所有法面平行，证明 是平面曲线。 （7 分）L4、证明渐近曲线上的点的测地曲率的绝对值等于它的曲率。 （8 分）5、求曲线 的曲率 k 和挠率 。 （10 分）323,tt 6、求曲面 的高斯曲率 K。 （10 分）21)()(:udI7、求挠曲线 的切线曲面的曲率线。 （10 分）sY8、若曲面 上有两族测地线交角为定角，则曲面 为可展曲面。 （10 分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002 学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业 2000 本科考试时间 120 分钟表 出卷时间 2002 年 6 月 18 日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，
11、否则作无效处理三、填空题（24 分 ）1、向量函数 是定向的充要条件是 .)(tX2、光滑曲线 ： ，tR，若对任何的 t 有 ，则称 为 正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率 k 和挠率 满足的条件特殊曲线 曲率 k 和挠率 满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、若在 P 点有 ，则称 P 点为 。ijijg5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。6、若曲面为可展曲面的充要条件是曲面 的高斯曲率 K= 。7、坐标网是渐近线网的充要条件是 。8、若曲面上的曲线 既是渐近线又是测地线，则 是 。9、曲面 的切平面方程为 ，)1,2(,),( vuvuvX在法线方程为
12、 。10、欧拉公式为 。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得 。1,0,0,1 212122 uuegg（10 分）三、求正螺面 上测地线的方程。 （10 分）2121,sin,coauuX四、设曲线 ， 的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线 的切线* 是 的主法线，证明 是平面曲线。 （8 分）*五、证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。 （8 分）六、计算题（24 分）1、求曲线 的曲率 k 和挠率 。321,ttX 2、求曲面 的高斯曲率 K。221)()(:udI3、求曲线 的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。sY七、若两曲面 ， 相交
13、于定角，且交线 是 的曲率线，则 也是 的曲12 12率线。 （10 分）八、设曲线 为曲面 上一条曲率线，P 为 上一点，但不是抛物点。证明：在 P 点的测地曲率的绝对值等于 的高斯映射象 在对应点测地曲率和 在 P 点的法曲率之积的绝对值，即 。 （6 分）ngk浙江师范大学微分几何考试卷（20012002 学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业 2000 本科考试时间 120 分钟表 出卷时间 2002 年 6 月 18 日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理四、填空题（20 分 ）1、向量函数 是定向的充要条件是 .)(tX2、光滑曲线 ： ，tR，若对任何的
14、 t 有 ，则称 为 正则曲线。3、空间曲线中，弧长、 和 是参数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是 。5、在下表中填上相应的曲线或曲率 k 和挠率 满足的条件特殊曲线 曲率 k 和挠率 满足的条件一般螺线贝特朗曲线k=06、若在 P 点有 ，则称 P 点为 。ijijg7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为 、 和 。其高斯曲率 K= 。9、坐标网是渐近线网的充要条件是 。10、若曲面上的曲线 既是渐近线又是测地线，则 是 。11、曲面 的切平面方程为 ，)1,2(,),( vuvuvX在法线方程为 。12、若曲面上的曲
15、线 在 P 点的测地曲率为 1， 在 P 点的法曲率为 2，则在 P 点的曲率为 。13、欧拉公式是 。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得 。1,0,0,1 212122 uuegg（10 分）三、1、曲面上沿着一条非直线的曲线 ，它的从切面与曲面的切平面重合，试问曲线 是曲面上的什么曲线。2、求正螺面 上这类曲线的方程。 （12 分）2121,sin,coauuX四、设曲线 ， 的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线 的切线* 是 的主法线，证明 是平面曲线。 （8 分）*五、证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。 （8 分）六、计算题（25
16、 分）4、求曲线 的曲率 k 和挠率 。321,ttX 5、求曲面 的高斯曲率 K。221)()(:udI6、求曲线 的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。sY七、若曲面 上有两族测地线交角为定角，则曲面 为可展曲面。 （10 分）八、设曲线 为曲面 上一条曲率线，P 为 上一点，但不是抛物点。证明：在 P 点的测地曲率的绝对值等于 的高斯映射象 在对应点测地曲率和 在 P 点的法曲率之积的绝对值，即 。 （7 分）ngk浙江师范大学微分几何考试卷（20012002 学年第二学期）考试类别 使用学生数理学院数学专业 2000 本科考试时间 150 分钟表 出卷时间 2002 年 6 月 18 日
17、说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理五、填空题（24 分 ）1、向量函数 为定向的充要条件是 .)(tX2、光滑曲线 ： ，tR，若对任何的 t 有 ，则称 为 正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率 k 和挠率 满足的条件特殊曲线 曲率 k 和挠率 满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、若在 P 点有 ，则称 P 点为 。ijijg5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是 。6、若曲面为可展曲面的充要条件是曲面 的高斯曲率 K= 。7、坐标网是渐近线网的充要条件是 。8、若曲面上的曲线 既是渐近线又是测地线，则 是 。9、曲面 的切平面方程为 ，)1,
18、2(,),( vuvuvX在法线方程为 。10、欧拉公式为 。二、计算题（36 分）7、求曲线 的曲率 k 和挠率 。 （8 分）321,ttX 8、求曲面 的高斯曲率 K。 （6 分）221)()(:udI9、求曲线 的切线曲面 ： （s0，t 0）的主曲率，sY)(TtYX平均曲率，第一，二基本形式，曲率线。 （12 分）10、 求正螺面 上测地线的方程。 （10 分）2121,sin,coauuX三、综合题（10 分）a) 叙述曲面论的基本定理b) 问是否存在曲面使得 ,1g,02,12ueg,12ue,012。12四、证明题（30 分）1、设曲线 ， 的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线 的切线是* 的主法线，证明 是平面曲线。 （8 分）*2、证明曲面是极小曲面（非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8 分）3、若曲面 上有两族测地线交角为定角，则曲面 为可展曲面。 （8 分）4、设曲线 为曲面 上一条曲率线，P 为 上一点，但不是抛物点。证明：在 P 点的测地曲率的绝对值等于 的高斯映射象 在对应点测地曲率和 在 P 点的法曲率之积的绝对值，即 。 （6 分）ngk
