1、1.2.2 基本不等式的应用,一、不等式定理及其重要变形：,（定理）重要不等式,（推论）基本不等式（又叫均值不等式）,如果把 看做是两正数a、b的等差中项, 看做是两正数a、b 的等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.,二、代数意义：,三、几何意义：,均值不等式的几何解释是: 半径不小于半弦.,结构特点： 均值不等式的左式为和结构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系, 运用该不等式可作和与积之间的不等变换.,a,b,四、公式的拓展,当且仅当a=b时“=”成立,公式的应用（一）证明不等式,公式的应用（二）求函数的最值,一正
2、、二定、三相等,和定积最大积定和最小,创造条件,注意取等号的条件,利用二次函数求某一区间的最值,分析一、,原函数式可化为：,y=-3x2+x，,分析二、,挖掘隐含条件,配凑成和成定值,即 的最小值为,错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。,解：,正解：,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,“1”代换法,用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“”（或者“”）中取“=”成立的诸条件是否相容。,4.阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。,错题辨析,正解：,当且仅当,即
3、:,时取“=”号,即此时,公式应用（三）解决实际问题,5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？,6.某种商品准备两次提价, 有三种方案:第一次提价 m, 第二次提价 n ;第一次提价 n, 第二次提价 m ;两次均提价 .试问哪种方案提价后的价格高?,解：设原价为M元, 令a = m, b = n, 则按三 种方案提价后的价格分别为:,A. (1+a)(1+b)M =(1+a+b+ab)M,C. (1+ )2 M =1+a+b+ M,只需比较 ab 与 的大小.,易知,B. (1+b)(1+a)M =(1+a+
4、b+ab)M,实际问题,抽象概括,引入变量,数学模型,数学模型的解,实际问题的解,还原说明,解应用题思路,1、设 且a+b=3,求ab的最小值_。,2、设则的最大值为_。,、设 满足 ，且 则的最大值是（ ）,A、40 B、10 C、4 D、2,（）各项或各因式为正（）和或积为定值（）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三相等”,、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将 “积式”转化为“和式”的放缩功能；设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；,、应用均值不等式须注意以下三点：,3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。,谢谢聆听,THANK YOU FOR YOUR,
