1、本 章 整 合,专题1,专题2,专题3,专题4,专题一导数的概念及其几何意义1.用定义求导数的一般步骤:(1)求函数值的改变量y=f(x+x)-f(x);(2)求平均变化率 = (+)() ;(3)取极限,得f(x)= lim 0 y x .2.导数的几何意义:由于函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.,专题1,专题2,专题3,专题4,应用1 已知f(x)在x=x0处可导,则 lim 0 () 2 ( 0 ) 2 0 =()A.f(
2、x0)B.f(x0)C.f(x0)2D.2f(x0)f(x0)提示:对所给式子进行变形,用导数的定义解题.解析: lim 0 y x = x x 0 ()( 0 ) 0 =(x0), lim 0 () 2 ( 0 ) 2 0 = lim 0 ()+( 0 )()( 0 ) 0,专题1,专题2,专题3,专题4,= lim 0 ()( 0 ) 0 lim 0 f(x)+f(x0)=f(x0)f(x0)+f(x0)=2f(x0)f(x0).答案:D应用2 设f(x)为可导函数,且满足条件 lim 0 f(1)f(1x) 2x =1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.提示:根据导数的
3、几何意义及已知条件可知,欲求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率,即求f(1).注意到所给条件的形式与导数的定义中f(x)= f( x 0 +x)f( x 0 ) x 的比较,由已知的极限式变形可求得f(1).,专题1,专题2,专题3,专题4,解:f(x)为可导函数,且 x0 (1)(1) 2 =1, 1 2 lim 0 (1)(1) =1, lim 0 (1)(1) =2,即f(1)=-2.y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为-2.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题二用导数求函数的单调区间、极值、最值1.求函数单调区间的步骤:(1)确定f(x)的定义域;(2)计算导数f
4、(x);(3)求出f(x)=0的根;(4)用f(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f(x)在各区间内的符号,进而确定f(x)的单调区间.2.求函数极值的步骤:(1)求导数f(x);(2)求f(x)=0或f(x)不存在的所有点;(3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极小值.,专题1,专题2,专题3,专题4,3.求函数最值的步骤:(1)求函数f(x)在a,b上的极值;(2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.应用 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x
5、)=f(x)+f(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值.提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,bR),g(x)=f(x)+f(x)是奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.,专题1,专题2,专题3,专题4,解:(1)f(x)=ax3+x2+bx,f(x)=3ax2+2x+b.故g(x)=f(x)+f(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.g(x)是奇函数,g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-ax3+(3
6、a+1)x2+(b+2)x+b,有3a+1=0,b=0,解得a= 1 3 ,b=0.f(x)= 1 3 3+x2.(2)由(1)知g(x)= 1 3 3+2x,则g(x)=-x2+2.令g(x)=0,解得,专题1,专题2,专题3,专题4,x1= 2 ,x2= 2 ,则当x 2 时,g(x)0,从而g(x)在区间( 2 , 2 )上是增函数.由前面讨论知,g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x=1, 2 ,2时取得,而g(1)= 5 3 ,g( 2 )= 4 2 3 ,g(2)= 4 3 ,因此g(x)在区间1,2上的最大值为g( 2 )= 4 2 3 ,最小值为g(2)= 4 3 .,
7、专题1,专题2,专题3,专题4,专题三利用求导法证明不等式、求参数范围等1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明.2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决.利用f(x)a恒成立f(x)mina的思想解题.3.解极值应用的问题一般分三个步骤:(1)建立函数关系式;(2)求所列函数关系式中可能取得极值的点;(3)具体作出判断,得出结果.其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一般就是要求的最大值(或最小值)点.,专题1,专题2,专题3,专题4,专题1,专题2,专题3,专题4,令f(x)=0,解得x1=1,x2= 1 2 .又x
8、0且在x=1附近f(x)由负到正,当x=1时,f(x)有极小值,这里也是最小值.当x0时,f(x)f(1)=1.即得证.应用2 已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 4 .(1)求m,n的值.(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)k-2 000对于x-1,3恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.,专题1,专题2,专题3,专题4,提示:(1)切线的倾斜角为 4 切线的斜率为1,即函数f(x)=mx3-x在N(1,n)的导数为1,从而求出m,进而求出n.(2)不等式f(x)k-2 000对于x-1,3恒成立f(x)最大值k
9、-2 000,解不等式即可求得k.解:(1)依题意,得f(1)=tan 4 ,即3m-1=1,m= 2 3 .因为f(1)=n,所以n= 1 3 .(2)令f(x)=2x2-1=0,得x= 2 2 .当-10,此时f(x)为增函数;当 2 2 2 2 时,f(x)=2x2-10,f(x)单调递增.故x=2为f(x)的极小值点.答案:D,1,2,3,4,5,6,7,8,3(福建高考)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9解析:由题意得f(x)=12x2-2ax-2b.函数f(x)在x=1处有极值,f(1)=0.12
10、-2a-2b=0,即a+b=6.又a0,b0,由均值不等式得a+b2 ,即ab + 2 2 = 6 2 2 =9,故ab的最大值是9.答案:D,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,5(辽宁高考)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)解析:由题意,令(x)=f(x)-2x-4,则(x)=f(x)-20.(x)在R上是增函数.又(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,当x-1时,(x)(-1)=0,即f(x)-2x-40,即f(x)2x+4.故选B.
11、答案:B,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,7(课标全国高考)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.分析:(1)由条件曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,这就说明要表示出切线方程,需要求函数f(x)的导数,求出f(0),从而得到切线斜率,表示出切线方程,把点(-2,0)代入可得关于a的方程,求得a的值.对于(2),欲证曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点,可构造函数g(x)=f(x)-kx+2,只需证明函数g(x)与x轴有唯一的交点,这就需要利用函数的单调性研究g(x)的图象来解决.,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,
